Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа. Учебное пособие
.pdf
/2
F
f
x
x
x
1
2
/2
() sin
ix
xe dx
,
для взятия интеграла применена табличная формула
ax
ax
ebxdx abxbbx
sin ( sin cos )
1
2
e
22
ab
ix
e
1
ix x
(sincos)
2
2
2
2cos
i
ii
11 1
22
11
22
() ()
eiei
22
2
.
Тогда
ix
2
2
.
11
()
xed
22
2cos
i
1
Преобразование Фурье широко применяется и для обобщенных
функций, и в случае функций многих переменных.
Замечание 1. В физике рассматривают предельный случай им-
пульса, называемый мгновенным импульсом:
0, 0,
x
x
()
,0.
Функция ()
называется δ-функцией Дирака. Смысл δ-функции,
которая является обобщенной функцией, в том, что () 1
x
dx
. Ма-
тематически δ-функция определяется так:
.
()() (0)xxdx
О свойствах функции ()
говорить в рамках пособия не будем.
51
Для δ-функции Дирака фурье-образ равен
x
F
R; x
(()) () ( 0)
Fx xe dxe x
11
22
ix ix
.
Замечание 2. Если функция
пространстве,
(, , )
xx x , то преобразование Фурье задается фор-
123
()fxR, т. е. задана в трехмерном
3
мулой
() ()
Здесь ω – вектор пространства
1
(2 )
3
R
3
– скалярное произведение век-
3
ix
fxe dx
.
торов. Интегрирование ведется по всему пространству, интеграл получается тройным.
Аналогично вводится и обратное преобразование Фурье. В настоя-
щее время многие интересующие исследователей задачи трехмерны.
5. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Основное приложение преобразования Фурье заключается в решении различных задач, описываемых дифференциальными уравнениями, в том числе и уравнениями в частных производных. Применение к
решению дифференциальных уравнений основано на том, что преобразование переводит операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
() ( 1)
nn
yay ayayx
11
nn
()
преобразование Фурье переводит в алгебраическое уравнение
nn
() () ()
izai z aizaz
11
где ()zFy , ( )F есть преобразования Фурье функций y и
1
nn
,
.
При этом обыкновенные дифференциальные уравнения можно также
52
решить стандартными методами, рассматриваемыми в соответствую-
x
щем курсе.
Более существенна возможность применения преобразования
Фурье к решению уравнений в частных производных.
Применение преобразования Фурье проиллюстрируем на примере
решения задачи о колебании струны.
Рассмотрим свободные колебания (, )uuxt бесконечной струны:
22
uu
22
tx
2
a
(1)
с начальными условиями
ufx
0()t
,
u
t
0
. (2)
0
t
Находим преобразование Фурье по переменной x, а t является
параметром: ( , ) ( , )ux t U t
Ut uxtedx
,
(, ) (, )
1
2
ix
.
Тогда
u
iU t
(, )
,
2
u
.
2
x
22
() (, ) (, )
iU t U t
В фурье-пространстве уравнение (1) имеет вид
2
U
2
t
22
aU t
. (3)
(, )
Начальные условия (2) в фурье-пространстве переходят в условия
(, 0) (),
UF
U
(, 0) 0,
t
(4)
где () ( )fx F.
53
Решаем задачу (3), (4). Уравнение
f
2
U
22
aU t
2
t
(, ) 0
есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной t;
здесь выступает параметром.
Для дифференциального уравнения характеристическим уравнением будет
222
0a
, ia
.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения при таких характеристических числах λ есть
(, ) ()cos ()sinUtc atc at
.
12
Функции
()c , 2()c
1
(, 0) ()Uc
(, 0) ()
Uc
t
Поэтому решение в фурье-пространстве имеет вид (, ) ()cosUtF at
находим из начальных условий:
() ()cF
, следовательно,
1
, следовательно, 2() 0c
2
1
;
.
.
Находим исходное решение задачи (возвращаемся в x-пространство), применив обратное преобразование Фурье:
(, ) ( )cos
ux t F a te d
11
2
2
1
2
(() () )
Fe Fe d
1
()()
() ()
i x at i x at
xat fxat.
ix
2
В итоге получаем следующее:
(, ) ( ) ( )
ux t f x at f x at
1
– формула Даламбера.
2
54
Смысл формулы Даламбера в том, что все время наблюдается ре-
x
зультат сложения двух волн, распространяющихся по струне в разные
стороны со скоростью a без изменения формы. Каждая из волн представляет собой половину начального отклонения.
Преобразование Фурье не существует для функций, растущих при
или при x. Но такие функции могут возникнуть при ре-
шении дифференциальных уравнений. Преобразование Фурье тогда
требуется распространить на обобщенные функции (что относится к
курсу функционального анализа).
55
§ 5. УСЛОВИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
ЗАДАНИЯ
Задача I
1. Построить график заданной функции (сигнала) и график суммы
ряда Фурье (с учетом теоремы Дирихле).
2. Представить функцию рядом Фурье (в действительной форме).
3. Найти амплитудный спектр
4. Найти энергию первой гармоники в разложении (по желанию
можно определить число гармоник разложения функции, содержащих
в сумме не менее 90 % энергии).
5. Представить функцию рядом Фурье в комплексной форме.
6. Найти преобразование Фурье в комплексной форме для функ-
ции, заданной на интервале
(, )LL . Представить функцию интегралом Фурье в комплексной
форме.
Задача II
Функция задана на интервале (, )LL одним или двумя отрезками
прямых, для которых в условии даны координаты начальной и конеч-
ной точки этих отрезков. Записать функцию аналитически и выполнить пункты 1, 2 из задачи I.
A .
k
(, )LL
и равной нулю вне интервала
Задача III
Функция задана на полупериоде
1. Разложить функцию по синусам или косинусам, продолжив не-
четным или четным образом на интервал
2. Выполнить задания 1, 4 и 5 из задачи I.
Задача IV
1. Построить график функции.
2. Найти преобразование Фурье в комплексной форме.
3. Представить функцию интегралом Фурье в комплексной форме.
0, L .
(, 0)L .
56
x
f
f
f
x
x
f
x
f
x
f
f
x
f
f
x
,1 1
xx
0, вне [1, 1]
()
fx
x
1, 0 2
()
fx
2
0, вне [0, 2]
xxe
()
() sign
fx xe
xe
()
0, вне [0, 2 ]
()
fx
,0
x
2
ex
xx
cos 2 , 0 2
0, x 0
()
fx
5
()
fx e
, [0, ]x
xx
() ch2
по синусам
по косинусам
, [0, ]x
xe
()
по косинусам
[0, 3]x
,
2
xx
()
по косинусам
() cos
fx , (0, )x
4
, (0, )x
() 2fx
по синусам
, [0, ]x
2
xx
()
по синусам
, ( , 0)x
xx
()
по косинусам
по косинусам
, (0, )x
xe
()
57
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
((–π; π); (0; 0))
[(–1; 1); (0; 0); (1; 2)]
и
[(0; –π); (π; 0)]
[(–π; –π); (π; 0)]
x
x
3, 0 2
Задача I Задача II Задача III Задача IV
()
fx
3, 2 0
xx x
() 2, 1 1
() , 5 5fx x x
[(–2; 2); (0; 2))
x
() , 2 2
fx x
[(–π; 0); (0; π); (π; π)]
и
[(0; –1); (2; 1)]
1, 0 1
xx
3
[(–π; 0); (0; –π); (π; –π)]
[(–1; 0); (1; 2)]
x
x
1, 1 0
xx
()
fx
2, 0 1
()
fx
2, 1 0
() 1 ,fx x x
[(–2; –1); (2; 1)]
xx
xx
21,0 2
21,2 0
()
fx
1
№
п/п
2
3
4
5
6
7
8
57
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
,0
,0
x
x
3
3
ex
3
()
fx e
Продолжение таблицы
ex
2
()
fx
()
fx e
,0
x
ex
[0, ]x
, (0, )x
3
, [0, 3]x
()
fx
, (0, )x
2
1
xx
() ( )
по синусам
2
() cos
fx ,
по синусам
xx
() sh2
по косинусам
x
0, 0
()
fx
по синусам
xxe
() sign
, (0, )x
() 1fx
по синусам
,0
,0
x
x
2
2
ex
ex
()
fx
[0, ]x
2
() sin
fx ,
по косинусам
,4 4
xx
0, вне [4, 4]
()
fx
3
() cos
fx , [0, ]x
по косинусам
58
((–4; 2); (0; 2))
и
[(–2; 1); (0; –1); (2; 1)]
[(0; 4); (4; 0)]
[(–3; 6); (0; 0); (3; 0)]
[(–2; 1); (2; –1)]
[(–2; 1); (0; 1))
и
[(0; 0); (2; –1)]
[(–3; –1); (0; –1))
и
[(0; 0); (3; 1)]
[(–2; 0); (0; 0))
и
[(0; –2); (2; 0)]
x
x
Задача I Задача II Задача III Задача IV
2
xx x
() 3 , 1 1
9
№
п/п
() 5 , 4 4fx x x
10
1, 0 3
11
1, 3 0
()
fx
() 4, 3 3fx x x
12
() 3 , 1 1fx x x
13
2
14
() , 2 2fx x x
() , 1 1fx x x
15
58
x
f
x
x
f
f
f
f
x
f
xx
0, вне [2, 2]
ch 2 , 2 2
()
fx
,0
x
3
ex
x
0, 0
()
fx
x
2, 1 1
()
fx
0, вне [1, 1]
x
0, 0
x
()
fx
x
,0
ex
1, 0 3
() 1, 3 0
fx x
0, вне [3, 3]
x
0, 0
x
2
()
fx
x
,0
1, 0 2
ex
() 1, 2 0
fx x
0, вне (2, 2]
Продолжение таблицы
2
xe , [0, 1]x
()
3
() cos
fx , (0, )x
по косинусам
(0, )x
,
3
xe
()
по синусам
по косинусам
, [0, ]x
xx
()
(0, )x
,
xx
()
по косинусам
[0, ]x
,
, [0, 1]x
xx
()
по синусам
xe
()
по косинусам
по синусам
59
и
[(0; 0); (π; π)]
[(–π; 0); (0; π))
[(–1; 0); (1; 2)]
[(–1; –1); (0; 0))
[(–4; 0); (0; 4); (4; 0)]
и
[(0; 1); (1; 0)]
[(–2; 1); (0; –1))
и
x
x
4, 2 0
4, 0 2
2
Задача I Задача II Задача III Задача IV
[(–2; 1); (0; 2);
[(0; 0); (2; 4)]
(2; 0)]
,0
,0
xx
xx
[(–π; 0); (0; 0))
и
[(0; 2); (π; 2)]
x
3
()
fx
№
16
п/п
() , 3 3fx x x
17
() 5, 5 5fx x x
18
() 4 , 1 1fx x x
19
() , 2 2fx x x
20
21
()
fx
22
() , 3 3
fx x
59
f
f
x
f
,0
,0
x
x
3
3
ex
ex
,0
,0
x
x
3
3
xe x
xe x
xx
2, 1 1
0, вне [1, 1]
()
fx
()
fx
()
fx
Окончание таблицы
2
, [0, 3]x
xx
()
, [0, 1]x
xx
() 1
по синусам
, [0, 1]x
xe
()
по косинусам
по косинусам
60
[(–2; 1); (0; –1))
и
[(0; 0); (2; 0)]
[(–6; 6); (6; 0)]
x
Задача I Задача II Задача III Задача IV
2
5, 0
x
5, 0
[(–π; π), (0; 0))
и
[(0; π); (π; 2π)]
xx
xx
2,2 0
2,0 2
() 2 ,fx x x
№
23
п/п
24
()
fx
25
()
fx
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]