Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа. Учебное пособие
.pdf
Пример 10. Представить рядом Фурье функцию общего вида
f
2
33 ; [0, 1],
xx
2
13 ; [1, 0).
xx
()
fx
Введем вспомогательную нечетную функцию
2
23; [0, 1],
xx
2
23 ; [1, 0),
xx
() () 1
fx fx
1
которая имеет разложение в ряд Фурье по синусам. Решение и ответ
для функции
()
x из примера 9. Итого получаем
() () 1 1 2(1) 1 1 3(1)
fx f x
1
()fx совпадают с решением и ответом для функции
1
23sin
k
1
11
kk
22
k
kx
.
k
Далеко не всегда удается упростить решение задачи за счет приведения к вспомогательной функции, обладающей симметрией, т. е. четностью либо нечетностью. В большинстве случаев приходится пользоваться общими формулами.
41
f
f
§ 3. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
i
Из формулы Эйлера cos sin
ei
следует, что
1
ii
ee
, sin ( )
cos ( )
2
Пусть период
11 1
a ib kx i kxfxdx fxe dx c
() (cossin)() ()
kk k
22 2
2T , тогда
a
0
() sin cos
xbkxakx
a
0
22 2
k
aaib aib
0
22 2
2
ee ee
aib
kk
1
1
k
kk
1
k
ikx ikx ikx ikx
kk kk
ikx ikx
ee
1, 2 , . . .k
11 1
aib kxikxfxdx fxedxc
() (cossin)() ()
kk k
22 2
()
1, 2, ...k
xce
k
ikx
,
cfxedx
k
k
i
ii
.
ee
2
.
1
2
()
ikx
ikx
ikx
,
,
. (1)
42
Следует обратить внимание, что суммирование в формуле ведется
L
f
L
L
f
не от единицы до бесконечности, как в рядах в действительной форме,
а от минус бесконечности.
Аналогично для периода 2TL
получаем
()
fx ce
Если значения
фициента
c использовать формулу
k
,
ab уже известны, то удобнее для нахождения коэф-
kk
k
Можно также, посчитав
kx
i
,
cfxedx
k
caib. (3)
kkk
c по формуле (2), использовать форму-
k
1
()
2
k
L
1
2
()
L
L
kx
i
L
. (2)
лу (3) для проверки.
1
Для четных функций
ca , для нечетных функций
kk
2
cb
kk
Замечание. 1. В формулах (1), (2) упрощений для четных и нечет-
kx
i
ных функций ()
x нет, так как ()
fxe
– функция общего вида.
2. Ряд Фурье в комплексной форме иногда записывается как
()
fx ce
k
Пример. Представить функцию
kx
i
,
k
cfxedx
k
fx x
Фурье в комплексной форме на интервале (, ]
L
1
L
2
L
() sin
.
i
()
sin , 0,
kx
L
.
xx
xx
sin , 0
i
.
2
рядом
xce
()
k
11
c f x e dx x e dx xe dx
k
22
ikx ikx ikx
() sin sin
43
ikx
,
k
0
0
x
f
ikx ikx
1
2
ee
ik ik
()1 ()1
ik x x ik x x
sin cos sin cos
22
0
0
11 2(1(1))
2
22
12(1)
kk
ik ik
(1 1) , 1, 1
ee kk
k
.
Здесь учтено соотношение
ik ik k
ee
,
(1)
часто используемое в задачах. Эту формулу следует знать.
При значениях 1, 1
kk
знаменатель в выражении
c обраща-
k
ется в ноль, т. е. пользоваться этой общей формулой нельзя, поэтому
коэффициенты
ли же знаменатель не обращается в нуль ни при каких значениях
, cc нужно вычислять отдельно по формуле (1). Ес-
11
k, то
дополнительных вычислений не требуется.
0
1
cxedxxedx
1
0
1
2
1 sin 1 sin 2 1 sin 1 sin 2
22 24 22 24
sin (cos sin ) sin (cos sin )
22
xx xx
ix ix
2
xi xdx x xi xdx
sin sin
0
ix ix
0
0
0
.
0
0c
Аналогично показывается, что
1(1(1))
()
xe
k
(1)
k
. Итого получаем, что
1
1
k
ikx
2
1
k
.
Следует обратить внимание на запись ответа: в суммировании указано, что исключены слагаемые при значениях
44
1, 1kk
(записыва-
ется в границах суммирования либо ниже под выражением). Если бы
x
коэффициенты
, cc
(или один из них) оказались ненулевыми, то
11
нужно было бы добавить вне суммы одно либо два соответствующих
слагаемых.
Замечание. В этом примере при вычислении интегралов вида
sin
edx
можно использовать формулу
ikx
лучить два интеграла вида
iax
edx.
sin ( )
1
ix ix
xee
и по-
2
45
f
x
f
f
x
§ 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Пусть теперь функция ()fx задана на всей числовой оси и не является периодической.
Определение. Функция ()
мой, если сходится несобственный интеграл
Из определения следует, что для абсолютно интегрируемых функций () 0fx при
.
ТЕОРЕМА. Если функция ()
бом конечном промежутке представима рядом Фурье, то она предста-
вима в виде интеграла Фурье и в комплексной форме имеет вид
1
() ()
xftedted
2
x называется абсолютно интегрируе-
()fxdx Q
.
x абсолютно интегрируема и на лю-
it ix
. (1)
Замечание. Интегралы в (1) понимаются в смысле главного значе-
a
a
.
a
(0)(0)
fx fx
00
.
ния по Коши, т. е. ( ) lim ( )
Замечание. Если
tdt tdt
есть точка разрыва функции ()fx , то левую
0
часть формулы следует понимать как
2
Схема доказательства теоремы. На интервале (, )LL
kx kt kx
() ()
fx ce fte dte
kk
iii
k
1
LLL
2
L
L
46
,
L
что и дает (1), поскольку
f
B
f
F
, а при L будет 0
. Сумму
L
можно рассматривать как интегральную, но на бесконечном проме-
жутке, который разбивается точками
.
kL
k
Переход от суммы к интегралу дает искомое представление (1).
2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ
i
Используя формулу Эйлера cos sin
ei
, можно (1) предста-
вить в действительной форме:
() ( )cos ( )sin
xA xB xd
,
0
где
1
() ()cosAfttdt
() ()sin
,
1
ft tdt
. (2)
Замечание. Для нечетных функций () 0A , для четных функций
() 0B .
Замечание. В качестве теоретического упражнения читателю
предоставляется возможность самостоятельно получить формулу (2).
При выводе учесть, что все несобственные интегралы надо понимать в
смысле главного значения по Коши.
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ)
Перепишем (1) в виде
() ( )
() ()
1
xFed
2
1
2
47
ix
fxe dx
, (3)
ix
. (4)
()F называется преобразованием Фурье (интегральным преобра-
f
R
f
зованием Фурье) или фурье-образом. Формула (3) представляет собой
обратное преобразование Фурье. Формулы (3) и (4) можно трактовать
как представление функции ()
x в разных пространствах: в физиче-
ском x-пространстве и абстрактном фурье-пространстве.
4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Пусть запись () ( )fx F означает, что функции ()fx соответствует ее фурье-образ ()F
1.
Свойство линейности
() ( )fx F,
.
() () () ()fx f x F F
,
12 1 2
.
Свойство следует из определения преобразования Фурье и свойств интегралов.
2.
Свойство смещения (частотного сдвига)
x
() ( )
efx F i
R .
Доказательство
xxix
efx fxee dx
() ()
1
2
1
2
()
iix
xe dx F i
() ( )
по определению.
3. Свойство запаздывания
ia
() ()
fx a e F
.
Это свойство также проверяется непосредственным вычислением
фурье-образа.
4.
Свойство интегральной свертки
2()()fg F G
.
48
Дадим сначала определение интегральной свертки, рассмотрим
f
f
f
f
f
R
f
x
x
f
свойства свертки, а затем докажем свойство 4.
Определение. Интегральной сверткой функций ()
x и ()gx
называется функция
gfygxydy
.
()( )
Свойства свертки:
ggf
а) коммутативность
б) линейность
( ) ( ) ( )
()
12 1 2
gfgfg
;
fgfgfg
;
.
Докажем теперь свойство 4, т. е. что при фурье-преобразовании
свертка функций переходит в произведение фурье-образов этих функций.
Действительно,
() ()()
Ff g F fygx ydy
1
2
ygx ydy e dx
()( )
ix
Внутренний интеграл зависит только от .
Cделаем замену ,
11
22
y g t e dy dt f y e dy
()() 2 ()
()
iyt iy
y t dx dt
1
2
it
gte dt F G
() 2 ( ) ( ).
Это свойство часто применяется в математической физике, где одна из
функций в свертке часто есть функция Грина.
49
5.
F
f
Преобразование Фурье от производной
df
iF
,
dx
()
2
df
2
dx
2
() ()
iF
, …, () ()
n
df
n
dx
n
iF
.
Это свойство является самым важным среди свойств преобразования
Фурье. Оно означает, что дифференцированию в x-пространстве (реальном физическом пространстве) соответствует умножение фурьеобраза в виртуальном математическом фурье-пространстве на переменную. Дифференцирование заменяется алгебраическими операциями, что существенно облегчает решение многих задач математической
физики.
Но, получив таким способом решение
в фурье-пространстве, нужно
вернуться в x-пространство. Чтобы интерпретировать реальное решение задачи, надо применить обратное преобразование Фурье. Это, как
правило, наиболее сложная часть задачи.
Доказательство. Пусть () ( )fx F
буется найти
. В указанных границах
ix ix
() ( ) ()
xe i f xe dx
() 0fx , функция
1
()F.
e
()
1
ix
ограничена, поэтому первое слагаемое стре-
11
22
, тогда
df
ix ix
edx edf
dx
df
dx
()
F
. Тре-
1
мится к нулю. Следовательно,
( ) ( ) () () ( )
F ifxedxi fxedxiF
1
ix ix
,
что и требовалось доказать. По доказанному получаем соотношение
для второй производной и так далее.
Пример. Найти преобразование Фурье и представить интегралом
xx
Фурье в комплексной форме функцию
50
sin , ,
y
0, .
x
2
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]