Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»
В. А. Беднаж, Е. Г. Родикова
РЯДЫ
Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов
Ай Пи Эр Медиа
Саратов • 2018
УДК 517.52
ББК 22.1
Б46
Рецензенты:
Антоненкова О. Е. — кандидат физико-математических наук, доцент БГИТУ;
Часова Н. А. — кандидат физико-математических наук, доцент БГИТУ.
Беднаж, В. А.
Б46 Ряды [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие для студен-
тов физико-математических факультетов / В. А. Бендаж, Е. Г. Родикова. —
Электрон. дан. и прогр. (7 Мб). — Саратов: Ай Пи Эр Медиа, 2018. — 65 с.
ISBN 978-5-4486-0039-5
Учебно-методическое пособие «Ряды» предназначено для студентов физи-
ко-математических факультетов университетов. Пособие может быть использо-
вано для организации аудиторной и самостоятельной работы студентов при
изучении раздела «Ряды» дисциплины «Кратные интегралы и ряды» модуля
«Математический анализ».
Учебное электронное издание
© Беднаж В. А., Родикова Е. Г., 2017
© ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2017
Технический редактор А.Д. Матлахова
Компьютерная верстка, обложка С.С. Сизиумовой
Для создания электронного издания использовано:
Приложение pdf2swf из ПО Swftools, ПО IPRbooks Reader,
разработанное на основе Adobe Air
Подписано к использованию 02.08.2017. Объем данных 7 Мб.
Издание представлено в электронно-библиотечных системах
IPRbooks (www.iprbookshop.ru),
Библиокомплектатор (www.bibliocomplectator.ru)
Бесплатный звонок по России: 8-800-555-22-35
Тел.: 8 (8452) 24-77-97, 8 (8452) 24-77-96
Отдел продаж и внедрения ЭБС:
доб. 206, 213, 144, 145
E-mail: sale@iprmedia.ru
Отдел комплектования ЭБС:
доб. 224, 227, 208
E-mail: mail@iprbookshop.ru
По вопросам приобретения издания обращаться:
доб. 208, 201, 222, 224
E-mail: izdat@iprmedia.ru, author@iprmedia.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ...................................................................................................................... 6
§ 1. Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости
числового ряда. .......................................................................................................... 7
1.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды ...................... 7
1.2. Остаток сходящегося ряда ................................................................................ 9
1.3. Свойства сходящихся рядов ........................................................................... 10
1.4. Необходимое условие сходимости ряда ....................................................... 11
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 13
§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
с неотрицательными членами .............................................................................. 14
2.1. Признаки сравнения ........................................................................................ 14
2.2. Признаки Даламбера и Коши ......................................................................... 17
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 22
§ 3. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды ................................. 25
3.1. Абсолютная и условная сходимость ............................................................. 25
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 30
§ 4. Функциональные последовательности и ряды .......................................... 31
4.1.Функциональная последовательность и функциональный ряд.
Область сходимости ............................................................................................... 31
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 35
4.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей
и рядов ..................................................................................................................... 35
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 39
4.3. Интегрирование и дифференцирование функциональных
последовательностей и рядов ................................................................................ 39
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 43
§ 5. Степенные ряды ............................................................................................... 44
5.1. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда ................................. 44
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 48
5.2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора ................................... 48
4
§ 6. Степенные ряды на комплексной плоскости ............................................. 50
6.1. Степенной ряд в комплексной области ......................................................... 50
6.2. Ряд Тейлора в комплексной области ............................................................. 52
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 54
§ 7. Тригонометрические ряды Фурье ................................................................ 56
7.1. Ряд Фурье для 2π-периодической функции .................................................. 56
7.2. Ряд Фурье функции с произвольным периодом ........................................... 58
7.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций ............................... 59
Задачи и упражнения для самостоятельного решения ....................................... 61
Ответы к задачам .................................................................................................... 62
Список использованной литературы .................................................................. 64
5
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи в математике приводят к формулам, содержащим бесконечные суммы чисел или функций. Такие суммы называются рядами. Решения
сложных математических задач нередко представляются в виде рядов. Методы
теории рядов позволяют оценить, сколько членов ряда необходимо взять для
конкретных вычислений или как записать ответ в наиболее удобном виде. Ряды
представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений диффе-
ренциальных уравнений. Изучение числовых и функциональных рядов является
важной частью математического анализа.
Предлагаемое Вашему вниманию учебно-методическое пособие посвяще-
но рассмотрению основных вопросов теории числовых и функциональных рядов. Оно способствует усвоению данной темы посредством решения большого
количества практических задач.
Пособие охватывает все основные разделы учебных программ по число-
вым и функциональным рядам для всех специальностей физико-
математического факультета. Каждый из 7 параграфов снабжён необходимым
минимумом теоретических фактов, используемых при решении примеров, приведены упражнения для самостоятельной работы. Задания дифференцированы
по уровню сложности. Задачи после черты – повышенной сложности.
Нумерация определений, утверждений, примеров, задач – сквозная внутри
одного параграфа. Первая цифра указывает на номер параграфа, вторая цифра -
порядковый номер определения, утверждения, примера, задачи. Например, запись «Теорема 1.4» обозначает, что перед читателем четвертая теорема первого
параграфа.
Символом Δ будем обозначать начало и конец решений задач.
Авторы данного пособия выражают благодарность своим коллегам
д.ф.-м.н., профессору Ф.А. Шамояну, к.ф.-м.н., доценту О.В. Ярославцевой за
помощь в написании данного пособия.
6
§ 1. Понятие числового ряда
.,,,,,
321
naaaa
1
321
n
nn
aaaaa
.,,,,,
321
naaaa
n
a
,
,,,,
321
321321211
nn
aaaaS
aaaSaaSaS
12
: , ,
nn
S S S S
n
S
.lim SS
n
n
Sa
n
n
1
(lim или lim )
nn
nn
SS
11n
n
aq
a
0
qa,
1,
1
12
q
q
aqa
aqaqaqaS
n
n
n
.1q
.0lim
nn
q
q
a
S
n
n
1
lim
Необходимое условие сходимости числового ряда
1.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды
Пусть дана числовая последовательность
вида:
Выражение
(1.1)
называется числовым рядом. Числа
ряда, число
- общим членом ряда. Суммы конечного числа первых членов
называются членами
ряда, идущих в порядке возрастания номеров, начиная с первого:
называются частичными суммами ряда (1.1). Так как число членов ряда бес-
конечно, то частичные суммы ряда образуют последовательность:
(1.2)
Определение 1.1. Ряд (1) называется сходящимся, если существует конеч-
ный предел последовательности
его частичных сумм, то есть:
При этом число S называют суммой ряда (1.1)и пишут
В противном случае
ряд (1.1) называется расхо-
.
дящимся. Для расходящегося ряда понятие суммы не определено.
Пример 1.1. Исследовать ряд
Δ Данный ряд называется геометрическим. (
числа). Геометрический ряд является суммой членов геометрической прогрес-
сии. Как известно,
Рассмотрим 4 случая:
1)
Тогда
на сходимость.
,
– фиксированные
Следовательно,
7
Значит, при
1q
11n
n
aq
q
a
S
n
1
1q
nn
qlim
nn
Slim
1q
1n
a a a a a
.
n
n
S a a a na
lim
n
nS
1q
1
1
( 1)
n
n
a a a a a
11n
n
aq
)0a
1q
1q
1
38
( 1)( 2)
n
n
n n n
.
2
1
1
1
1
11
4
2
1
1
1
1
44
2
1
1
54
21)2)(1(
83
nnnnnn
nnnnnn
C
n
B
n
A
nnn
n
a
n
n
.
2
1
2
1
1
4
4
2
1
2
1
1
1
14
2
1
1
1
1
11
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
1
111
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
14
2
1
1
1
1
11
4
1
111
1
1
4
5
1
4
1
4
1
3
1
4
4
1
3
1
3
1
2
1
4
3
1
2
1
2
1
14
nnnn
nnnn
nnnn
nnnnnnnn
S
n
ряд
сходится и его сумма
.
2)
. Тогда
и, значит,
. Следовательно, ряд при
расходится.
3) q=1. Тогда данный ряд имеет вид
,
. Значит, ряд при
расходится.
4) q= –1. Ряд примет вид
И в этом случае ряд расходится.
Итак, геометрический ряд
(
сходится при
расходится при
Пример 1.2. Найти сумму ряда
;
,
. Δ
.
Δ Преобразуем выражение для общего члена:
Составим
ю частичную сумму:
8
Найдем предел (
n
S
.
2
7
2
1
4
2
1
2
1
1
4
4limlim
nn
S
n
n
n
1
)122(
n
nnn
n
a
nnnna
n
112
n
.12211122
11342312
121453423
11211
344523341223
nnnn
nnnn
nnnn
nnnnnnnn
S
n
n
S
( 2) ( 1)
lim lim(1 2 2 1) lim 1 2
21
1
lim 1 2 1 2.
21
n
n n n
n
nn
S S n n
nn
nn
,
321
1
kkk
kn
n
aaaa
n
1nk
kn
ar
1k
k
a
1nk
k
a
1kk
Sa
1
n
nk
n
Sa
1nk
kn
ar
nn
S S r
):
Пример 1.3. Найти сумму ряда
Δ
.
Δ Выражение для
Составим
ю частичную сумму:
Найдем предел (
можно записать в виде
.
):
1.2. Остаток сходящегося ряда
Если в ряде (1.1) отбросить первые k членов, то получится ряд
(1.3)
называемый остатком ряда (1.1).
Если
-й остаток (1.3) ряда (1.1) сходится, то его сумму обозначают
.
Теорема 1.1. Ряд (1.1)
из его остатков (1.3)
. При этом если
сходится тогда и только тогда, когда сходится любой
,
9
.
,
, то
Из теоремы 1.1 следует, что отбрасывание или добавление любого конечного
n
r
0lim
nn
r
p
,n
Nn
pn
nk
k
a
1n
n
a
1n
n
b
1
( ).
nn
n
ab
1n
n
a
1
.
n
n
a
111
)(
n
n
n
n
n
nn
baba
11 n
n
n
n
aa
1 1
,
n n
nn
11
0))((
nn
nn
числа первых членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.
Теорема 1.2. Если ряд (1.1) сходится, то его остаток
ный 0:
.
имеет предел, рав-
Теорема 1.3. (критерий Коши сходимости числового ряда). Ряд (1.1) схо-
дится тогда и только тогда, когда для любого положительного числа
такой номер N, что для любых натуральных чисел
и
, справедливо
неравенство
.
1.3. Свойства сходящихся рядов
Определение 1.2. Суммой рядов
(A) и
(B) называется ряд
(A+B)
найдётся
Произведением ряда
на число
называется ряд
(A)
Теорема 1.4. Если ряды (А) и (В) сходятся, то сходится и их сумма,
причем
Теорема 1.5. Если ряд (А) сходится, то ряд (A),
.
, сходится и
.
Замечание. Сумма двух расходящихся рядов не обязательно является рас-
ходящимся рядом. Например, ряды
расходятся, а их сумма
- сходится.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]