Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
Пример 2.5. Исследовать ряд на сходимость
2
1
ln !nn
nnnnnnn lnlnlnlnln2ln1ln!ln
11
ln ! lnn n n
2
ln
1
n
nn
1
()
ln
fx
xx
2x
2
ln
1
n
nn
2
lndxxx
2lnlnlnlnlimlnlnlim
ln
ln
ln
2
22
Ax
x
xd
xx
dx
A
A
A
1nn
u
1
4
4
0
1
n
n
u x dx
n
u
22
1
2
0
2
00
4
4
nx
xdxdxx
n
n
2
2
0nun
1
2
2
n
n
21
а)
.
Δ Заметим, что
Тогда
Сравним данный ряд с рядом
Функция
Значит, ряд
и несобственный интеграл
положительна, непрерывна и убывает при
Исследуем интеграл на сходимость:
.
.
. (2.5)
.
ведут себя одинаково.
,
он расходится. Следовательно, ряд (2.5) также расходится. По общему признаку
сравнения исходный ряд также расходится. Δ
б)
Δ Оценим
, где
. Так как
,
то
.
Так как ряд
сходится как гармонический с
, то и данный ряд
сходится по общему признаку сравнения. Δ
21
Пример 2.6. Доказать, что
100
lim 0
!
n
nn
1
2
100
n
n
n
!
100
n
a
n
n
!
100
n
a
n
n
!1
100
1
1
n
a
n
n
1
100
100!1
!100
!
100
:
!1
100
4
11
1
n
n
n
nna
a
nnn
n
n
10
1
100
limlim
1
na
a
n
n
n
n
100
lim 0
!
n
nn
1
2
51
5
n
n
n
2
ln
1
n
n
1
2
6
1
n
n
1
3
22
4
1
n
nn
1
tg
4nn
1
3
2
sin
n
n
n
1
1
1
1
sin)1(
n
n
n
e
2
1
ln 1 sin 1/
ln
n
n
nn
1
2
2
3
4
ln
n
n
n
1
5
5
n
n
n
1
!
n
n
n
n
2
1
2!
!
n
n
n
1
1
2 1 !!
1
2 !! 2
n
n
n
nn
1
34951
13852
n
n
n
1
1
!
n
n
n
n
ne
n
n
n
n
1
24
15
2
2
1
1
3
n
nn
n
n
n
1
1
аrcsin
n
n
n
.
Δ Рассмотрим ряд
с общим членом
. Применим к нему
признак Даламбера:
,
Тогда
,
, по признаку Даламбера ряд сходится.
Значит, для него выполняется необходимое условие сходимости, т.е.
. Δ
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
№ 2.1. С помощью признаков сравнения исследовать ряды на сходимость
а)
;
г)
;
ж)
.
;
б)
в)
;
д)
;
е)
;
;
з)
и)
№ 2.2. Установить сходимость или расходимость указанных рядов по при-
знаку Даламбера:
а)
б)
;
;
г)
в)
;
д)
е)
№ 2.3. Установить сходимость или расходимость указанных рядов с по-
мощью признака Коши:
;
.
;
.
а)
;
б)
;
в)
;
22
г)
2
1
ln
n
n
n
2
1
2
1
n
n
n
n
n
2
1
45
1
1
n
nn
n
n
2
ln
1
n
nn
1
1
,0
1 ln 1
n
nn
1
22
1
n
an
1
2
2
n
n
n
lim 0
!
n
n
а
n
!
lim 0
n
n
n
n
lim 0
2!
n
n
n
n
2
lim 0
!
n
n
n
n
1
3
12
n
n
n
11n
nn
1
3
23
!
n
n
nn
1
1
2
1
n
n
ne
1
22
2
sin
n
n
n
1cos1
n
n
1
1
1
2
n
n
n
e
3
lnlnln
1
n
nnn
2
ln
1
n
n
n
1
!
1
cos3
n
n
n
1
3 6 ... 3
1
sin
1 ! 2
n
n
n
n
3
3
1
1
arcsin
32
n
n
nn
dx
x
x
aa
n
n
n
n
/1
0
2
1
1
,
2222222222
1n
n
а
1n
n
b
;min
1
,
n
nn
ba
1
,max
n
nn
ba
;
д)
; е)
№ 2.4. Исследовать ряды на сходимость с помощью интегрального при-
знака:
.
а)
б)
;
в)
;
г)
№ 2.5. Доказать равенства:
а)
б)
;
;
в)
г)
№ 2.6. Исследовать числовые ряды на сходимость:
а)
б)
;
е)
;
ж)
;
л)
;
м)
;
.
;
.
;
;
в)
;
з)
г)
д)
;
;
и)
к)
;
;
№ 2.7*. Исследовать числовой ряд на сходимость:
№ 2.8. Пусть даны два сходящихся ряда
членами. Что можно сказать о сходимости рядов
а)
б)
?
;
н)
.
и
с неотрицательными
23
№ 2.9. Можно ли что-нибудь сказать о сходимости последних двух рядов
1n
n
a
1n
n
b
1n
n
a
1n
n
b
1
,min
n
nn
ba
1
,max
n
nn
ba
предыдущей задачи, если ряд
сходится, а ряд
№ 2.10. Пусть даны два расходящихся ряда
ными членами. Что можно сказать о сходимости рядов
а)
; б)
?
расходится?
и
с неотрицатель-
24
§ 3. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
12
1
,
n n n
n
a a a a a
......)1(
2124321
1
1
nn
n
n
n
aaaaaaa
Nna
n
,0
1n
n
a
121n
nn
aaaa
1n
n
a
1nn
a
1nn
a
1n
n
a
S
n
a
3.1. Абсолютная и условная сходимость
Определение 3.1. Знакопеременным называется числовой ряд, членами ко-
торого являются действительные числа любого знака
.
(то есть в знакопеременном ряду – бесконечное число как положительных, так
и отрицательных членов).
Определение 3.2. Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, то есть ряд
, (3.1)
где
Наряду с рядом
нов:
Определение 3.3. Ряд
дится ряд
Теорема 3.1.Если сходится ряд из модулей
, называется знакочередующимся.
рассмотрим ряд, составленный из модулей его чле-
.
называется абсолютно сходящимся, если схо-
, составленный из модулей его членов.
, то сходится и ряд
.
Запомни! Абсолютная сходимость сильнее сходимости, а значит, исследова-
ние знакопеременных рядов на сходимость следует начинать с проверки теоремы
3.1.
Теорема 3.2. Если ряд сходится абсолютно к сумме S, то члены ряда
можно переставлять в любом порядке и сумма переставленного ряда также будет равна
.
Теорема 3.3. (Римана). Если ряд сходится условно, то путем соответству-
ющей перестановки его членов можно получить ряд с наперед заданным значением суммы (при этом не исключается
В дальнейшем будем рассматривать знакочередующиеся ряды, то есть
дем считать абсолютными величинами членов ряда. Изучение более общих знакопеременных рядов выходит за рамки данного пособия.
).
бу-
25
Определение 3.4. Ряд
1n
n
a
0lim
nn
a
1,nn
a a n
n
R
1nn
aR
3
1
( 1)
( 1)!
n
n
n
n
называется условно (неабсолютно) сходящим-
ся, когда он сходится, а ряд из модулей его членов расходится.
Для исследования на условную сходимость ряда (3.1) применяется следующая теорема.
Теорема 3.4. (признак Лейбница). Если для ряда (3.1) выполнены условия
1)
2)
;
,
то ряд (3.1) сходится.
Для остатка такого ряда
в этом случае справедлива оценка:
, (3.2)
то есть при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой его n
первых членов погрешность не превышает модуля первого из отброшенных
членов.
При исследовании знакочередующегося ряда на сходимость можно поль-
зоваться следующим алгоритмом:
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩЕГОСЯ
РЯДА НА СХОДИМОСТЬ
1. Исследовать исходный ряд на абсолютную сходимость: составить ряд
из модулей и исследовать его на сходимость с помощью известных признаков
для положительных рядов.
а) если ряд из модулей сходится, то пишем ответ: данный ряд абсолютно
сходится;
б) если ряд из модулей расходится, то ряд не сходится абсолютно, см. п. 2
алгоритма.
2. Исследовать исходный ряд на условную сходимость. Для этого приме-
нить признак Лейбница:
а) если оба условия признака Лейбница выполняются, пишем ответ: ряд
условно сходится;
б) если хотя бы одно условие признака Лейбница не выполняется, то пи-
шем ответ: ряд расходится.
Пример 3.1. Исследовать знакочередующиеся ряды на сходимость:
а)
.
26
Δ Составим ряд из модулей членов данного ряда:
1
3
)!1(nn
n
10
)2(
)1(
lim
)!1(
)!2(
)1(
limlim
3
3
3
3
1
nn
n
n
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
1
1
( 1)
n
n
n
11n
n
1
0
1
lim
nn
Nnaa
nn
,1
,
1
n
an
1
1
1
n
a
n
1 nn
Nnnn
,
1
11
Nnaa
nn
,1
3
( 1)
( 1)ln
n
n
nn
3
ln)1(
1
n
nn
3
ln
1
n
nn
xxxfln
1
)(
3x
)3lnln)(ln(lnlim)ln(lnlim
ln
)(ln
ln
3
33
Ax
x
xd
xx
dx
A
A
n
. Исследуем его
на сходимость с помощью признака Даламбера.
Так как
,
то по признаку Даламбера последний ряд сходится. Следовательно, данный ряд
сходится абсолютно. Δ
б)
Δ Составим ряд из модулей членов данного ряда
ряд с
. Он расходится. Значит, исходный ряд не сходится абсолютно. Ис-
.
. Это гармонический
следуем его на условную сходимость. Применим к данному ряду признак Лей-
бница. Проверим выполнимость условий 1 и 2 теоремы 3.4:
1)
2)
Так как
.
,
, то
.
, то есть
.
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, данный ряд
сходится условно. Δ
ятельно). К последнему ряду применим интегральный признак. Функция
в)
.
Δ Составим ряд из модулей членов данного ряда:
Ясно, что ряд (3.3) ведет себя так же, как ряд
положительна, непрерывна и убывает при
27
. (3.3)
(проверьте самосто-
. Так как
,
то ряд (3.3) расходится, то есть данный ряд не сходится абсолютно. Проверим
0
ln)1(
1
lim
nnn
3,,
1
nNnaa
nn
21 nn
)1ln(ln nn
)1ln()2(ln)!( nnnn
3,,
)1ln()2(
1
ln)1(
1
nNn
nnnn
3,,
1
nNnaa
nn
1
21
( 1)
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
12
)1(lim
n
n
5
11
3
1
5
1
2
1
5
1
1
2
"'
2 nnn
SSS
,
5
1
5
1
5
1
,
1
3
1
2
1
1
2
"'
n
nn
S
n
S
'
lim
n
n
S
'
n
S
"
1
lim
4
n
nS
"
n
S
nn
S
2
lim
выполнимость условий 1-2 признака Лейбница:
1)
2)
Так как
Таким образом,
,
и
.
, то
,
.
.
Значит, по признаку Лейбница данный ряд сходится условно. Δ
г)
Δ Поскольку предел
.
го члена данного ряда
.
не существует, то необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходится. Δ
Замечание. Для сходимости знакочередующегося ряда недостаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает, что знакочередующийся ряд сходится, если модуль общего члена ряда стремится к нулю монотонно. Рассмотрим ряд
Его общий член стремится к нулю, но монотонность изменения модуля
общего члена нарушена. Покажем, что данный ряд расходится. Действительно,
здесь
, где
Причем
ряда), в то время как
(
- частичная сумма расходящегося гармонического
существует и конечен (
частичная сумма
сходящейся геометрической прогрессии). Следовательно,
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение
признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться,
если модуль его общего члена стремится к нулю не монотонно.
.
28
Так, ряд
23232
2
1
12
1
4
1
3
1
2
1
1
nn
32
1
( 1)
(1 )
n
n
n
n
0,001
0
1
limlim
2
3
n
n
a
n
n
n
1
,.
nn
a a n
.1,
1
2
3
x
x
x
xf
'fx
3
3
3
15
'0
1
x
fx
x
,1x
xf
[1, )
2
3
1
11
1
n
n
aR
nn
001,0
,001,0
n
R
001,0
11
1
2
3
n
n
,001,0
81
2
1 n
.001,0
4225
4
3
,001,0
784
3
2
n
n
157,0
784
3
81
2
4
1
3
SS
сходится и притом аб-
солютно, хотя признак Лейбница к нему не применим: модуль общего члена
стремится к нулю не монотонно.
Пример 3.2. Вычислить сумму ряда
с точностью
Δ Данный ряд – знакочередующийся. Покажем, что для него выполняются
условия 1-2 признака Лейбница.
1)
2)
Действительно, рассмотрим функцию
при
,
то есть функция
Найдем
убывает на
условие 2) выполняется.
Так как условия признака Лейбница выполняются, то справедлива оценка
(3.2):
.
:
, т.е.
.
Для вычисления суммы данного ряда с точностью
вать, чтобы
При
или
.
надо потребо-
Итак, для вычисления суммы ряда с указанной точностью нужно взять 3
члена ряда и тогда
. Δ
29
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1
1
1
3
n
n
n
1
1
1
n
n
n
1
10
1
1
n
n
n
n
e
1
1
1
11
n
n
n
n
1
1
1
10 1
n
n
n
1
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
1
cos
1
n
n
nn
1
2
sin
n
n
n
1
)1(
n
n
n
n
n
n
n
ln
)1(
1
2
ln
)1(
n
n
n
0
1
1
10
)1(
n
n
n
2
1
sin
2
n
n
n
2
1
1
( 1)
4
nn
n
n
1
1
!
)1(
n
n
n
1
1
2
)1(
n
n
n
n
1
2
)1(
n
n
n
1
)1(
n
n
n
1
3
)1(
n
n
n
1
2
)!(
)1(
n
n
n
№ 3.1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие
ряды:
а)
б)
в)
г)
д)
;
;
;
е)
ж)
з)
;
;
;
л)
м)
н)
;
и)
;
о)
;
к)
;
;
№ 3.2. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы с точностью до 0,001 вы-
числить его сумму:
;
;
.
a)
г)
; б)
; д)
; в)
; е)
;
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]