Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
2
1
2 ... ...
bb
x x nx nx
n
aa
e e ne dx ne dx
1 1 1
b
nx nx b na nb
a
n n n
a
ne dx e e e
.
)(xS
n
)(xS
n
[ ; ]c a b
()Sx
()x
[ ; ]ab
()
n
Sx
()Sx
()Sx
)(xS
n
()Sx
( ) ( )x S x
lim ( ) lim ( ) ( )
nn
nn
S x S x S x
[ ; ]ab
1
()
n
n
fx
n
1
( ) [ ; ]
n
f x C a b
n
[ ; ]с a b
1
()
n
n
fx
()x
1
()
n
n
fx
( ),x
1
()
n
n
fx
()Sx
()Sx
1
( ) [ ; ]S x C a b
( ) ( )S x x
[ ; ]x a b
11
( ) ( )
nn
nn
f x f x
1
[ ; ]C a b
[ ; ]ab
3
1
sinnnx
n
x
Теорема 4.5. Пусть функциональная последовательность
творяет следующим условиям:
1) члены последовательности непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b];
2) последовательность
3) последовательность
сходится хотя бы в одной из точек
равномерно сходится к
на
Тогда
1)
, где
– предельная функция последовательности
;
2)
3)
Теорема 4.6. Пусть ряд
непрерывно дифференцируема на отрезке [a;b];
(т. е.
на
(4.2) удовлетворяет условиям:
).
1) члены ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b]
(
);
удовле-
;
.
2) ряд (5) сходится хотя бы в одной точке
3) ряд
равномерно сходится к
тогда:
где
резке
1)
2)
3)
– множество всех непрерывно дифференцируемых функций на от-
.
на [a;b], где
;
(или
Пример 4.5. Доказать, что ряд
;
на отрезке [a;b]:
- сумма ряда (4.2);
),
,
, (4.10)
можно почленно дифференцировать на любом отрезке.
Δ
1) Члены ряда (4.10) непрерывно дифференцируемы на [a;b]:
41
32
sin cosnx nx
nn
;
2
1
cosnnx
n
3 3 2
1 1 1
sin sin cos
n n n
nx nx nx
n n n
3
1
( 1)
n
n
x
nn
31
22
11
( ).
( 1) ( 1)
nn
nn
xx
x x S x
n n n n
1
1
( 1)
n
n
x
nn
1
;
n
n
dS x
dx n
2
1
2
11
1 1 1
1.
11
nn
nn
d S x
x x x
x x x x
dx
.1ln
1xx
dx
dx
dS
.1ln)1(1ln1ln
1
1
1)1ln(
1
1ln)1ln()(
xxxxxxx
dx
x
xxdx
x
x
xxdxxxS
3
3 2 3
1
( )ln(1 )
( 1)
n
n
x
x x x x
nn
.1x
6
0
( 1)
n
n
nx
2) Ряд (4.10) сходится равномерно на (докажите это самостоятельно,
используя признак Вейерштрасса равномерной сходимости).
3) Ряд
также сходится равномерно на
по признаку Вейер-
штрасса (проверьте это самостоятельно), следовательно, ряд (4.10) можно
почленно дифференцировать на любом отрезке по теореме 4.6, причем
.Δ
Пример 4.6. Найти сумму ряда
.
Δ Преобразуем ряд следующим образом
Дифференцируя ряд
почленно дважды (в интервале сходимо-
сти функциональный ряд можно почленно дифференцировать любое число
раз), находим:
Отсюда последовательным интегрированием по x дважды получаем
Таким образом,
Δ
Пример 4.7. Найти сумму ряда
.
42
Δ Преобразуем ряд следующим образом
6 5 6 5 5
00
( 1) ( 1) ( ).
nn
nn
n x x n x x S x
6 5 6 6 6 6 6
6
0 0 0
1 1 1 1
( ) ( ) ( 1) .
6 6 6
1
n n n
n n n
F x S x dx n x dx x x x x
x
5 6 5 6 5
6 2 6 2
1 6 (1 ) 6
( ) .
6
(1 ) (1 )
dF x x x x x
Sx
dx
xx
6
2
6
0
1
( 1) 1 .
1
n
n
n x x
x
2 6 4 2n
x x x
,q x q
3 7 4 1
.
3 7 4 1
n
x x x
n
2
1
1 , 1,
1
n
x x x x
x
2
1 2 3 1 ,
n
x x n x
2
1 2 2 3 3 4 1 2
n
x x n n x
5 9 4 3
1 1 1
. ln .
5 9 4 3 2 4 1
n
x x x x
x arctgx
nx
sin2 sin 4 sin 2
24
2
n
n
x x x
2
1
xn
n
e
1,1
Интегрируя почленно, получаем
Дифференцируя по x обе части последнего равенства, находим:
Таким образом,
Δ
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
№ 4.5. Показать, что ряд
отрезке
где q- любое положительное число, меньшее 1. Интегриро-
ванием данного ряда найти сумму ряда
равномерно сходится на
№ 4.6. Исходя из формулы для суммы бесконечной геометрической про-
грессии
а)
б)
найти сумму ряда:
№ 4.7. Доказать равенство:
№ 4.8. Убедиться, что ряд
равномерно
сходится на всей числовой оси. Показать, что этот ряд нельзя почленно диффе-
ренцировать ни в каком промежутке.
№ 4.9. Доказать, что ряд
равномерно сходится на отрезке
и допускает на этом отрезке дифференцирование любого порядка.
43
§ 5. Степенные ряды
0
xx
12
2
0 0 0 0 0
0
( ) ( ) ... ( ) ... ( )
nn
nn
n
c c x x c x x c x x c x x
0
x x t
0
n
n
n
ct
2
0 1 2
0
... ...
nn
nn
n
c x c c x c x c x
0
.
n
n
n
cx
0
0xx
x
0
xx
1
xx
x
1
xx
0 R
0
x x R
0
x x R
R
0
xx
0.R
00
,x R x R
5.1. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда
Определение 5.1. Степенным рядом с центром в точке
функциональный ряд вида
cn – коэффициенты степенного ряда.
называется
, (5.1)
Обозначим
, из (5.1) получим ряд:
. (5.2)
Очевидно, что исследование сходимости ряда (5.1) равносильно исследо-
ванию ряда (5.2). Поэтому далее будем рассматривать ряд
(5.3)
Члены ряда (5.3) определены и непрерывно дифференцируемы на . Ряд
(1) всегда сходится в точке x=0 и S(0)=c
го ряда (1)
. Выясним вид (структуру) области сходимости степенного ряда.
Теорема 5.1(Абеля). Пусть дан степенной ряд (5.3)
1) если ряд (5.3) сходится для некоторого значения
дится абсолютно
, такого что
, то есть область сходимости степенно-
0
, то он схо-
;
2) если ряд (5.3) расходится для некоторого значения
дится и
Определение 5.2. Число
, такого что
.
называется радиусом сходимости ряда
(5.1), если ряд (5.1) сходится во всех точках х, таких что
ся во всех точках х, таких что
.
Если ряд (5.1) сходится на , то полагают
Если ряд (5.1) сходится только в точке
Множество
называется интервалом (абсолютной) сходи-
мости степенного ряда. На границе интервала сходимости степенной ряд мо-
жет как сходиться, так и расходиться, поэтому в граничных точках степенной
ряд нужно исследовать на сходимость отдельно.
Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по одной из следу-
ющих формул:
44
, то
, то он расхо-
, и расходит-
.
1) формула Коши-Адамара:
1
lim | |
n
n
n
R
c
1
lim
n
n
n
c
R
c
0
xx
0
x
n
c
00
,x R x R
0
x x R
0
x x R
2
1
3
4
n
n
n
x
n
0
2
1
3,
4
n
n
xc
n
n
n
nc4
1
2
12
1
4)1(
1
n
n
n
c
2
2
2
12
1
)1(
4
4
4)1(
n
n
n
n
c
c
n
n
n
n
, (5.4)
2) формула Даламбера:
, (5.5)
Замечание. Пользоваться формулами (5.4) и (5.5) следует весьма осторож-
но, так как пределы, стоящие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например, если бесконечное множество коэффициентов с
обращается
n
в нуль (это, в частности, имеет место, если ряд содержит члены только с чет-
ными или только с нечетными степенями
), то пользоваться указанными
формулами нельзя. В таких случаях нужно исследовать степенные ряды на схо-
димость как функциональные ряды общего вида.
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ
СТЕПЕННОГО РЯДА:
1) Определить центр
степенного ряда и его коэффициенты
.
2) Найти радиус сходимости R степенного ряда по формулам (5.4) или
(5.5) и интервал сходимости (если это сделать невозможно, то исследовать ряд
как функциональный).
3) Выписать интервал абсолютной сходимости степенного ряда
.
4) Исследовать сходимость в граничных точках
.
формуле Даламбера:
5) Указать область сходимости степенного ряда.
Пример 5.1. Найти область сходимости степенного ряда:
а)
Δ Согласно алгоритму,
. Найдем радиус сходимости по
,
,
;
45
4
)1(4
limlim
2
2
1
n
n
c
c
n
n
Следовательно, радиус сходимости R=4.
0
0
3 4 7,
3 4 1.
xR
xR
7,1
22
11
41
4
n
n
nn
nn
22
11
( 4) ( 1)
4
nn
n
nn
nn
22
1
3
nn
n
x
3
1
||,
,
3
1
||,1
,
3
1
||,0
3lim3lim3lim
2
2
2
2
xесли
xесли
xесли
xxx
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Rx
3
1
||
3
1
x
2
2
11
1
31
3
n
n
nn
3
1
x
2
1
( 1)
n
n
Найдем интервал сходимости:
.
Значит,
– интервал сходимости степенного ряда.
Исследуем ряд на сходимость в граничных точках x=-7 и x=1.
Если x=1, то получаем числовой ряд
Если x=-7, то получаем знакочередующийся ряд
– сходится.
– схо-
дится абсолютно.
Значит, область сходимости данного ряда – отрезок [-7, 1]. Δ
б)
Δ Данный ряд – лакунарный (содержит не все степени х), поэтому пользоваться формулами (5.4) и (5.5) нельзя. Считая х фиксированным, применим
признак Коши к ряду, составленному из модулей членов данного ряда:
Следовательно, ряд сходится при
При
получим ряд
няется необходимое условие сходимости.
При
получим ряд
необходимое условие сходимости.
.
.
– расходится, так как не выпол-
– расходится, так как не выполняется
46
Значит, область сходимости данного ряда – интервал
3
1
;
3
1
1
, 0, 0
n
nn
n
x
ab
ab
0
1
0,
n
nn
xc
ab
R
),max(1),max(limlim bacbabaR
n
n
n
n
nn
n
1
),max(
),min(
ba
ba
c
)),max();,max(( baba
),max( bax
),max( bax
max ( , ) max ( , )
1
max ( , )(1 ) 1
1 1 1
nn
n n n n n
a b a b
a b a b c c
n n n
1, 1,
1
lim 0,
1
,1
1
2
n
n
если с
если c
c
),max( bax
1
1
,
1
n
n
n
c
)),max(),,max(( babax
. Δ
е)
Δ
.
.
Найдем радиус сходимости
где
. Следовательно, ряд сходится в интервале
.
Исследуем сходимость ряда в точках
При
получаем ряд
Tак как
по формуле Коши:
,
.
. (5.6)
то ряд (5.6) расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости. При
получаем ряд:
который также расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.
Таким образом, область сходимости данного степенного ряда – интервал
. Δ
47
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1
15
2
n
n
n
n
x
1
2
3
n
n
n
x
1
12
7
2
n
n
n
n
x
1
2
21
n
nn
n
xn
12!n
n
xn
1
2
2
5
n
n
n
x
1
1
2
n
n
nn
x
1
2
2
1
1
2
n
n
n
n
x
n
1
4ln4
5
n
n
nn
x
1
11sin
n
n
xnn
1
2
1
2
n
n
n
n
x
n
n
1
2
2
3
13
3
n
n
n
x
n
n
arctg
1
!
1
n
n
e
nx
n
00
,x R x R
()
0
0
0
()
( ) ( )
!
n
n
n
fx
f x x x
n
0
xx
0
0x
()
0
(0)
()
!
n
n
n
f
f x x
n
0
, | |
!
n
x
n
x
ex
n
21
0
sin ( 1) , | |
(2 1)!
n
n
n
x
xx
n
2
0
cos ( 1) , | |
(2 )!
n
n
n
x
xx
n
21
1
sh , | |
(2 1)!
n
n
x
xx
n
2
0
ch , | |
(2 )!
n
n
x
xx
n
0
1
, | | 1
1
n
n
xx
x
№ 5.1. Найти область сходимости следующих степенных рядов:
а)
б)
в)
г)
;
д)
;
;
;
е)
ж)
;
;
;
з)
и)
№ 5.2. Найти интервал сходимости следующих степенных рядов:
а)
б)
;
;
в)
г)
.
5.2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
;
.
;
Определение 5.3. Если функция f(x) на каком-либо промежутке является
суммой какого-либо степенного ряда, то говорят, что функция на этом про-
межутке разлагается в степенной ряд.
Теорема 5.2. Если f(x) на
разлагается в степенной ряд (5.1)
то это разложение единственно и имеет вид:
. (5.7)
Ряд (5.7) называется рядом Тейлора с центром в точке
. Если
, то ряд (5.7) называется рядом Маклорена и имеет вид:
. (5.8)
Разложение некоторых функций в ряд Тейлора (Маклорена)
, (5.9)
, (5.12)
, (5.10)
, (5.11)
48
, (5.13)
, (5.14)
0
1
( 1) , | | 1
1
nn
n
xx
x
, (5.15)
1
1
ln(1 ) ( 1) , | | 1
n
n
n
x
xx
n
1
ln(1 ) , | | 1
n
n
x
xx
n
1
1 ... 1
11
!
n
n
n
xx
n
1x
,
, (5.16)
, (5.17)
(5.18)
49
§ 6. Степенные ряды на комплексной плоскости
0
1
:K z z
1
R
0
0
()
n
n
n
a z z
lim
n
n
na
1
0
z z R
6.1. Степенной ряд в комплексной области
Отметим, что теория рядов может быть естественным образом перенесе-
на на комплексную плоскость. Напомним, что комплексной плоскостью
называется плоскость, точками которой являются комплексные числа. В этом
параграфе вопрос переноса теории решается на примере степенных рядов.
Определение 6.1. Степенным рядом (на комплексной плоскости) назы-
вается функциональный ряд вида
, (6.1)
где an (n=0,1,2,…), zn - комплексные числа, z-комплексная переменная.
Числа an называются коэффициентами ряда, z0 - его центром.
Область определения степенного ряда - вся комплексная плоскость.
Очевидно, что в точке z=z0 ряд (6.1) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.
Теорема 6.1 (Коши-Адамара). Пусть дaн степенной ряд (6.1) и
. Тогда
1) при =0 ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости;
2) при = ряд сходится только в точке z=z0 и расходится zz0;
3) если 0<<, то ряд абсолютно сходится в круге
и рас-
ходится вне этого круга.
Определение 6.2. Круг с центром z0 и радиусом , внутри которого
степенной ряд сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется
кругом сходимости степенного ряда, а число
– радиусом сходимости.
Если =0 (R=), то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.
Если = (R=0), то круг вырождается в точку z
, а в его внешности, т.е.
0
во всей комплексной плоскости, кроме точки z0, ряд расходится.
На окружности ряд (6.1) может вести себя по-разному: может
сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в
одних сходиться, а в других расходиться. Поэтому сходимость степенного
ряда на границе исследуют отдельно.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]