Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
§ 4. Функциональные последовательности и ряды
,),(,),(),(:)(
21
xSxSxSxS
nn
D
Dxx
0
,),(,),(),(:)(
002010
xSxSxSxS
nn
)(0xS
n
)(xS
n
0
xx
)(xS
n
)(xS
n
Ex
ExxSxS
n
n
)()(lim
)(xS
E
)()( xSxS
E
n
SS
E
n
1
21
)()()()(
n
nn
xfxfxfxf
D
)(xS
n
)()()()(
21
xfxfxfxS
nn
)(xS
n
E
)(xS
E
)(xS
)(xS
n
x
Dxx
0
4.1. Функциональная последовательность и функциональный ряд
Область сходимости
Пусть дана последовательность
(4.1)
все члены которой являются функциями, определенными на множестве
Возьмем
(фиксированное число). Получим последовательность
которая является числовой. Она может
как сходиться, так и расходиться. Если последовательность
(расходится), то последовательность
сходится (расходится) в точке
сходится
.
Определение 4.1. Множество всех точек области D, в которых функцио-
нальная последовательность
сти последовательности
сходится, называется областью сходимо-
.
Пусть последовательность (4.1) сходится на множестве E. Тогда в любой
точке
существует предел последовательности (4.1), то есть
. Очевидно,
- функция, определенная на
. Она
называется предельной функцией последовательности (4.1).
Обозначение:
или
.
.
Рассмотрим теперь ряд
, (4.2)
членами которого являются функции, определенные на множестве
Определение 4.2. Ряд вида (4.2) называется функциональным рядом.
Составим последовательность частичных сумм ряда (4.2)
.
Последовательность
предельной функции
, то и ряд (4.2) сходится на
Сходимость последовательности
т.е. как сходимость в любой точке
- функциональная. Если она сходится на
и его сумма равна
на E определяется как поточечная,
множества E.
Определение 4.3. Скажем, что функциональный ряд (4.2) сходится в точке
, если сходится числовой ряд
.
, где
к
31
1
0
)(
n
n
xf
. (4.3)
ED
D
12
1
( ) ( ) ... ( )
n n k
kn
f x f x f x
1
( ) ( )
nk
kn
r x f x
( ) ( ) ( ),
nn
S x S x r x x E
12n
xn
x
,0
1
n
00
,0xx
0
2
10n
x
nx
0lim
1
:lim
0
2
0
0
2
0
0
x
xn
xn
n
xn
x
nn
11n
n
3
1
sin
n
n
nx
0
x
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (4.3)
можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, счи-
тая х фиксированным.
Определение 4.4. Скажем, что функциональный ряд (4.2) сходится на
множестве
, если он сходится в каждой точке этого множества.
Определение 4.5. Областью сходимости ряда (4.2) называется множество
всех точек из области
Ряд
, в каждой из которых ряд (4.2) сходится.
называется n–ым остатком ряда
(4.2). Т.к. в любой точке множества Е ряд и любой из его остатков эквивалент-
ны по сходимости, то если ряд (4.2) сходится на Е, то и любой из его остатков
сходится на Е. В этом случае, обозначим его сумму
, тогда
.
Пример 4.1. Найти область сходимости следующих функциональных
рядов:
а)
Δ Все члены ряда определены на . Пусть х=0, тогда получим ряд
.
он
сходится.
Фиксируем
. Получим числовой ряд
(4.4)
Так как
то ряд (4.4) ведет себя так же, как ряд
(4.4) расходится всюду на , кроме х=0. Δ
б)
.
Δ Члены ряда определены на . Зафиксируем
ряд
,
, который расходится. Значит, ряд
, получим числовой
32
3
0
1
sin
n
n
nx
3
0
1
sin
n
n
nx
3
1
001
3
00
|sin|)1(|)(|,|sin||)(|
n
n
n
n
xnxfxnxf
3
0
3
0
3
0
3
1
0
0
01
|sin|
1
lim|s in|
|sin|
|sin|)1(
lim
)(
)(
lim x
n
n
x
xn
xn
xf
xf
n
n
n
n
n
n
n
,
2
k
x k k
0
2,
2
x m m
1n
n
0
2,
2
x m m
1
1
n
n
n
,
2
k
x k k
2
1
1
34
n
n
x
n
n
0
0x
2
0
1
1
34
n
n
x
n
n
2
0 0 0
0
0
0, 0;
11
lim 3 4 lim 3 4 3 lim 4
,0
n n n
n
x x x
n
n n n
если x
если x
nn
0,
1
1
1
n
n
x
nx
. (4.5)
Это знакопеременный ряд. Исследуем его на абсолютную сходимость. Со-
ставим ряд из модулей:
. (4.6)
Применим к нему признак Даламбера:
,
Этот предел будет меньше единицы, а ряд (4.6) будет сходящимся для всех
значений х, кроме
, получим ряд
, в которых предел равен 1. При
, при
, получим ряд
, которые расходятся, так как не выполняется необходимое условие
сходимости числового ряда.
Значит, функциональный ряд (4.5) сходится на всей числовой прямой,
.
кроме точек
в)
Δ Зафиксируем
.
. Δ
, получим числовой ряд с положительными членами
Применим к нему признак Коши:
Значит, область сходимость данного ряда – луч
г)
.
.
.
. Δ
33
Δ Найдем область абсолютной сходимости ряда. Для этого зафиксируем
0
1x
1
1
1
n
n
x
nx
111
lim
1
1
11
1
lim
0
0
0
0
0
0
1
0
0
x
x
x
x
n
n
xxnx
x
n
n
nn
n
1
1
0
0
x
x
1
1
1
0
0
x
x
0
00
00
0
00
00
1 0,
1,
1;
1 0,
1,
1.
x
xx
xx
x
xx
xx
0
0,5x
0,5,
0
0,5x
0
0,5x
1
( 1)
n
n
n
;
2
1
и применим признак Даламбера к ряду
.
Так как:
то по признаку Даламбера данный ряд будет сходящимся, когда:
.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
.
Оно, в свою очередь, равносильно совокупности двух систем:
,
Решением первой системы является множество всех точек
, вто-
рая система не имеет решений. Поэтому ряд абсолютно сходится на луче
.
Исследуем ряд на сходимость в граничной точке
Подставляя
в общий член данного ряда, получаем знакочередую-
.
щийся ряд
,
который условно сходится по признаку Лейбница. Следовательно, обла-
стью сходимости данного ряда является луч
. Δ
34
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
11n
n
x
1n
nx
e
11n
x
n
1
2
ln
n
n
n
x
1
2
1
n
n
xn
1
2
2
n
nx
en
1
!
1
n
n
xn
1!n
n
x
n
1
12
1
n
n
xn
1
2
64
3
1
n
n
n
xx
n
n
n
xx
n
n
9103
1
2
2
2
1
3
3
11n
x
xn
n
1
4
cos
3
n
n
n
nxx
n
1
5
arcsin32
n
nn
n
x
x
2
2
1
sin
1
x
n
n
n
e
1
2
3
5
1
n
x
n
n
n
1
2ln
1
n
n
x
2
ln 1
1
13
x
n
n
n
n
)(xS
n
0
nN
)(xS
n
()
n
Sx
()Sx
0 ( ) :NN
n N x E
( ) ( )
n
S x S x
1
21
)()()()(
n
nn
xfxfxfxf
xE
№ 4.1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:
а)
б)
в)
;
;
;
г)
д)
е)
;
;
ж)
;
з)
и)
№ 4.2. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:
а)
б)
в)
;
;
г)
д)
;
е)
;
;
;
ж)
з)
и)
;
;
.
;
;
.
4.2. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей и рядов
Определение 4.6. Если последовательность
предельную функцию S(x),и
N, что при любых
неравенство |Sn(x)-S(x)|<ε выполнено одновременно для
, существует такой, не зависящий от х номер
всех хЕ, то говорят, что последовательность
имеет на множестве Е
сходится к функции S(x)
равномерно на Е.
Таким образом,
, если
выполнено
. (4.7)
Определение 4.7. Ряд
, (4.2)
называется равномерно сходящимся на Е к сумме S(x), если последовательность
его частичных сумм равномерно сходится к S(x) на Е, то есть если:
Sn(x)S(x),
35
.
1
()
n
n
fx
S(x) на Е, если
0 ( ) :NN
n N x E
( ) ( )
n
S x S x
( ) ( ) ( )
nn
R x S x S x
()
n
Rx
xE
1
()
n
n
fx
1nn
c
nxE
()
nn
f x c
)(xS
)(xS
))(( xf
n
]1;1[,)(
22
2
E
xn
n
xf
n
1lim)(
22
2
xn
n
xf
n
1|| x
11
1|)()(|
22
2
22
2
22
2
n
nn
x
xn
x
xn
n
xfxf
n
|)()(|:]1;1[
1
0 xfxfxNnN
n
.
Но
. Следовательно, получаем эквивалентное опреде-
ление.
Определение 4.8. Ряд (4.2) называется равномерно сходящимся на Е, если
последовательность {Rn(x)} равномерно сходится к 0 на Е, т.е.
0,
Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость
применяют признак Вейерштрасса.
Теорема 4.1.(признак Вейерштрасса). Пусть дан функциональный ряд
. Если существует положительный сходящийся числовой ряд
кой, что
имеет место неравенство
, то ряд (4.2) схо-
дится абсолютно и равномерно на Е.
Теорема 4.2. Если все члены ряда (4.2) непрерывны на множестве Е и ряд
сходится равномерно на Е к сумме
, то функция
непрерывна на мно-
жестве Е.
Из теоремы 4.2 следует, что если функциональный ряд непрерывных на
.
, та-
отрезке функций сходится на этом отрезке к разрывной функции, то ряд схо-
дится неравномерно на этом отрезке.
Пример 4.2. Доказать по определению равномерную сходимость функци-
ональной последовательности
а)
и ряда:
.
Найдем предельную функцию последовательности:
.
Так как
, то
.
Следовательно,
,
а значит, данная последовательность сходится равномерно на [-1; 1] по определению.
36
б)
1
1
11
,;
22
n
n
xE
1
1
1
( ) ;
1
n
n
n
n
x
S x x
x
11
( ) lim
11
n
n
x
Sx
xx
2
1
|| x
2
1
1 x
1
1
log
2
1
1
||
1
1
1
1
)()(
2
1
n
x
x
xx
x
xSxS
n
nn
n
|)()(|:1
1
log0
2
xSxSExNnN
n
x
xS
1
1
)(
2
1
( 1)
, [ 2;0].
( 1)ln ( 1)
n
n
x
E
nn
]0;2[x
111 x
1|1| x
NnEx
nnnn
x
xf
n
n
,,
)1(ln)1(
1
)1(ln)1(
)1(
|)(|
22
2
1
1
( 1)ln ( 1)
n
nn
)1(ln)1(
1
)(
2
nn
xf
1x
,
2ln
1
2ln
1
)1ln(
1
lim
1
)1ln(
1
lim
)1(ln
))1(ln(
)1(ln)1(
1
2
1
2
A
A
x
x
xd
xx
dx
A
A
Найдем сумму ряда:
.
.
Так как
, то
и поэтому
Следовательно,
то есть ряд сходится равномерно на множестве E к функции
Пример 4.3. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать абсолютную и
равномерную сходимость ряда на множестве Е:
а)
Δ Так как
, то
, т.е.
. Следовательно,
.
,
.
.
Рассмотрим числовой ряд
Исследуем его на сходимость, используя интегральный признак. Функция
(4.8)
положительна, непрерывна и не убывает при
и
37
то есть несобственный интеграл сходится. Следовательно, числовой ряд (4.8)
2
1
( )cos
,
n
arctg n x nx
E
nn
x
Nn
2
|)(|
2
xnarctg
1|cos| nx
2
3/2
( )cos
| ( )|
2
n
arctg n x nx
fx
nn
n
3/2
11n
n
2
( sin )
1
, [1; )
n x x
n
e Е
xxx sin)(
2
0cos2
xx
2
1
x
)(x
1x
01sin1)1(
22
( sin ) ( sin ) (1)
( ) , 1,
n x x n x x n
n
f x e e e x n
(1)
1nn
e
(1) 1 sin1
1 1 1
| | 1qq
e
ee
тоже сходится, а значит, по признаку Вейерштрасса данный функциональный
ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве Е. Δ
б)
Δ Так как для всех
.
и для всех
выполняются неравенства
,
,
то:
.
Но ряд:
сходится, откуда по признаку Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная
сходимость функционального ряда на . Δ
в)
.
Δ Рассмотрим функцию
при
Так как
, то:
и поэтому
- возрастающая функция при
. Ее производная
Ряд:
сходится (геометрический ряд,
).
Следовательно, данный функциональный ряд сходится абсолютно и рав-
номерно на множестве Е. Δ
.
.
38
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1
2
3
1
n
n
x
x
12n
n
n
n
x
2
3
;
2
3
x
1
3
sin
n
nn
kx
x
1
2
2
1
n
n
n
x
1;1x
1!n
n
n
x
3;3x
1
2
9
1
n
n
n
n
x
3;1x
1
22
cos
n
nx
nx
x
1
112
31
n
nn
nn
x
4;2x
2
86
1
n
n
n
n
x
1;0x
2
3
3
218
1
n
n
n
n
x
1;0x
)(xS
n
n
)(xS
n
()
x
n
c
S t dt
()
x
c
S t dt
lim ( ) lim ( )
xx
nn
nn
cc
S t dt S t dt
()
x
c
S t dt
1
()
n
n
fx
[ ; ]c a b
1
()
x
n
n
c
f t dt
()
x
c
S t dt
11
( ) ( )
xx
nn
nn
cc
f t dt f t dt
()
x
c
S t dt
[ ; ]x a b
№ 4.3. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходи-
мость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:
а)
б)
в)
,
,
,
;
;
г)
;
д)
,
е)
,
;
,
ж)
;
,
з)
;
№ 4.4. Доказать равномерную сходимость в указанных промежутках сле-
дующих функциональных рядов, используя определение:
а)
,
; б)
,
.
4.3. Интегрирование и дифференцирование
функциональных последовательностей и рядов
Теорема 4.3. Если члены последовательности
непрерывны на от-
;
,
.
резке [a;b]
, и
равномерно сходится к функции S(x) на [a;b], то
с[a;b] последовательность интегралов
на отрезке [a;b]. В частности имеет место обычная сходимость:
Теорема 4.4. Если члены ряда
равномерно сходится на [a;b] к S(x), то
дится на [a;b] к
. В частности, имеет место обычная сходимость:
равномерно сходится к
=
x[a;b].
(4.2) непрерывны на [a;b] и ряд (4.2)
ряд
равномерно схо-
39
=
.
Следствие. Если члены ряда (4.2) непрерывны на [a;b], и ряд (4.2) равно-
()Sx
11
( ) ( )
bb
nn
nn
aa
f x dx f x dx
2
1
2 ... ...
nx x x nx
n
ne e e ne
x
, :0a b a b
x
1
11
lim lim
nx
xx
nx
nn
n e n
e e d
ne n
1
1
x
de
1
1
x
de
1n
n
0;
, :0a b a b
n
[ ; ]x a b
nx na
nx na
nn
ne ne
ee
1nan
ne
1
1 1 1
lim lim 1
na
a
na a
nn
n e n
e
n
ne e
0a
1nan
ne
1nxn
ne
мерно сходятся к
[a;b], то есть
на [a;b], то ряд (4.2) можно почленно интегрировать на
.
Пример 4.4. Докажите, что ряд
,
можно почленно интегрировать на [a;b] при любых
, (4.9)
.
Δ Найдем область сходимости ряда. Ряд является положительным для
каждого фиксированного
. Используем признак Даламбера
.
1) x>0
2) x<0
ряд сходится;
ряд сходится;
3) x=0получаем ряд
Итак, область сходимости ряда
Возьмем
- расходится.
.
. На отрезке [a;b] ряд (4.9) сходится. Докажем,
что на отрезке [a;b] ряд (4.9) сходится равномерно, пользуясь признаком Вейерштрасса.
Рассмотрим ряд
Значит, ряд
признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно к S(x)=
и
имеет место неравенство:
.
– положительный.
, т. к.
.
сходится по признаку Даламбера. Следовательно, по
.
Так как члены этого ряда непрерывны на [a;b], и он равномерно сходится
на [a;b], то по теореме 4.4 его можно почленно интегрировать на отрезке [a;b],
то есть:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]