Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам
0 1 0
z z z z
0 1 0
z z z z
1
lim | |
n
n
n
R
a
1
lim
n
n
n
a
R
a
0
!
n
n
n
n
z
n
!
n
n
n
an
1
1
11
!1
lim lim lim lim 1
1!
nn
n
n
nn
n n n n
n
nn
an
Re
a n n n n
ze
0
(1 )
nn
n
iz
22
| | (1 ) 1 1 1 2
n
n
n
n
n
a i i
11
2
lim 2
n
n
nR
1
2
z
0
z z r
Коши или Даламбера:
, (6.2) . (6.3)
Из теоремы Коши-Адамара вытекает
Теорема 6.2 (Абеля). Если ряд (6.1) сходится в точке z
лютно сходится в круге
Если ряд (6.1) расходится в точке z
ках z, таких что
.
.
z
, то он расходится и во всех точ-
1
0
z
, то он абсо-
1
0
Пример 6.1. Найти круг сходимости степенного ряда: .
Δ Ряд является степенным, с центром z0=0 и коэффициентом .
Для вычисления радиуса сходимости ряда используем формулу Далам-
бера (6.3):
Следовательно, данный ряд сходится в круге .Δ
Пример 6.2. Найти круг сходимости степенного ряда: .
.
Δ Ряд является степенным, с центром z0=0 и коэффициентом an=(1+i)n.
Для вычисления радиуса сходимости ряда используем формулу Коши (6.2).
Найдем модуль коэффициента:
.
Тогда
.
Следовательно, данный ряд сходится в круге .Δ
Свойства степенного ряда:
1. Степенной ряд (6.1) равномерно сходится в каждом замкнутом круге
, лежащем внутри круга сходимости. Это означает, что степенной
ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.
51
2. Сумма степного ряда есть функция аналитическая внутри круга схо-
1
00
11
( ) ( )
nn
nn
nn
a z z a n z z
1
00
11
( ) ( )
1
nn
n
n
nn
a
a z z dz z z
n
0
0
0
()
( ) ( )
!
n
n
n
fz
f z z z
n
0
, | |
!
n
z
n
z
ez
n
21
1
1
sin ( 1) , | |
(2 1)!
n
n
n
z
zz
n
2
0
cos ( 1) , | |
(2 )!
n
n
n
z
zz
n
21
1
sh , | |
(2 1)!
n
n
z
zz
n
димости.
3. Степенной ряд можно интегрировать любое число раз внутри круга
сходимости. Это означает, что ряд:
,
полученный дифференцированием ряда (6.1), и ряд:
,
полученный интегрированием ряда (6.1), сходятся внутри круга сходимости
исходного ряда. Радиус сходимости при дифференцировании и интегрирова-
нии не меняется.
6.2. Ряд Тейлора в комплексной области
Теорема 6.3. Если функция f(z) разлагается в степенной ряд (6.1) в круге
|z-z0|<R, то это разложение единственно и имеет вид
. (6.4)
Ряд (6.4) называется рядом Тейлора функции f(z).
Теорема 6.4. Пусть функция f(z) – однозначная и аналитическая в обла-
сти G. Если z0G и r - расстояние от точки z0 до границы области G, то в круге |z-z0|<r функция f(z) разлагается в степенной ряд, расположенный по степе-
ням (z-z0).
Из этой теоремы следует еще одно определение аналитической функции.
Функция f(z) называется аналитической в точке z
, если она разлагается
0
в степенной ряд в некоторой окрестности точки z0.
Функция f(z) называется аналитической в области D, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки z0D.
Все основные разложения естественным образом переносятся на ком-
плексную плоскость:
Разложение некоторых функций в ряд Тейлора:
, (6.5)
, (6.6)
, (6.7)
, (6.8)
52
, (6.9)
2
0
ch , | |
(2 )!
n
n
z
zz
n
0
1
, | | 1
1
n
n
zz
z
0
1
( 1) , | | 1
1
nn
n
zz
z
1
1
ln(1 ) ( 1) , | | 1
n
n
n
z
zz
n
1
ln(1 ) , | | 1
n
n
z
zz
n
1
()
32
fzz
1 1 1 1 1 1
2
3 2 3 2( 3 3) 3 2( 3) 6 3 2( 3) 3
1 ( 3)
3
z z z z
z
2
0
1
1 ... ( 1) ... ( 1)
1
n n n n
n
1
2
( 3)
3
z
23
23
23
1 1 2 2 2
1 ( 3) ( 3) ( 3) ...
3 2 3 3
33
z z z
z
21
23
2 3 1
0
1 2 2 ( 1) 2
( 3) ( 3) ... ( 3)
3
3 3 3
nn
n
n
n
z z z
23
( 3) 1 | 3|
32
zz
1
0
1 ( 1) 2
( 3)
32
3
nn
n
n
n
z
z
3
| 3|
2
z
2
3
1
()
1
fzz
2
1
()
(1 )
f
2
11
1
(1 )
, (6.12)
, (6.10)
. (6.13)
, (6.11)
Пример 6.3. Разложить функцию по степеням (z-3) и найти
круг сходимости ряда.
Δ Преобразуем функцию (выделим в знаменателе выражение z-3):
Используем разложение (6.11):
, .
Положим , получим:
.
Этот ряд сходится при условии: .
Ответ: , . Δ
Пример 6.4. Разложить функцию по степеням z и найти
круг сходимости ряда.
Δ Положим =z3 и рассмотрим функцию .
.
Так как , то разложение функции f(
дифференцируя почленно ряд (6.11):
53
) можно получить,
Полученный ряд, как и ряд (6.11), сходится в круге ||<1.
1
()
1
n
n
zi
ni
i
2
2
1
( 1)
(2 1) 2
n
n
n
z
n
1
nn
n
nz
1
i
n
n
n
ez
1nn
z
in
1
cos
nn
n
i
z
n
1
ln
n
n
z
in
11
1
( 2 )
53
n
nn
n
zi
1
( 1)
n
n
i
ch z
n
1
()
(1 )
n
n
n
zi
sh in
1
1
3
n
n
zi
i
2
1
(2 )!( 1 )
(2 1)
n
n
n z i
n
2
3
2
zz
z
2
1
(1 )z
21
2
zz
2
2
22zz
2
1
( 1) ( 2)
z
zz
2
4
4 z
2
2
23
z
zz
2 3 1 1
2
11
1 ... ( 1) ...
1
(1 )
nn
2 1 2
1 2 3 ... ( 1) ( 1) ... 1 2 3 ... ( 1) ( 1) ...
n n n n
nn
2
3
1
1 z
3 6 3 3
0
1 2 3 ... ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1)
n n n n
n
z z n z n z
Подставляя
=z3, окончательно получим:
, |z3|<1|z|<1. Δ
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
№ 6.1. Найти радиусы сходимости рядов:
а)
б)
в)
;
;
;
г)
д)
е)
;
;
.
№ 6.2. Найти круг сходимости каждого из данных степенных рядов:
а)
б)
;
;
в)
г)
№ 6.3. Разложить по степеням z функции:
а) sin2z;
б)
в)
;
д) ln(z+3);
е)
ж)
г) exp(3z);
№ 6.4. Функцию
разложить в ряд Тейлора в окрестности точки:
а) z0=0; б) z0=1.
;
;
д)
е)
з)
;
.
;
;
и)
.
54
№ 6.5. Разложить указанные функции в ряд Тейлора по степеням (z-z0):
1
31z
z
e
0
4
z
2
ln 2 zz
1
zi
2
z
z
а)
б)
, z0=-2;
, z0= –1;
в) ln(1+z), z0=2;
г) cosz,
;
д) sinz, z0=1;
е)
ж)
з)
, z0=0;
,z0=i;
, z0=1.
55
§ 7. Тригонометрические ряды Фурье
0
1
cos sin ,
2
nn
n
a
a nx b nx
:f
x
0
1
cos sin .
2
nn
n
a
f x a nx b nx
,x
:,f
0
1
( ) cos sin
nn
n
f x dx a a nxdx b nxdx
0
0
22
cos 2 cos sin sin( ) sin0 0nxdx nxdx nx n
nn
sin 0nxdx
0
1
()a f x dx
cosmx
7.1. Ряд Фурье для 2π-периодической функции
Важной разновидностью функциональных рядов (в том числе и для физи-
ческих приложений) является тригонометрический ряд, который будем записывать в виде
(7.1)
где an и bn – вещественные числа.
Начнем с вопроса о том можно ли данную функцию
представить
в виде тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты an и bn
такие, что для всех
имеет место равенство
(7.2)
Сумма ряда, стоящего справа в формуле (7.2), есть, очевидно, 2π-
периодическая функция. Значит, разлагать в тригонометрический ряд можно
только 2π-периодические функции f. Кроме того, ясно, что если две периодиче-
ские функции совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они
совпадают всюду. Поэтому равенство (7.2) достаточно проверить на некотором
промежутке длины 2π, например, [-;].
Предположим, что равенство (7.2) имеет место для всех
функция
и коэффициенты an, bn таковы, что все совершаемые
, а
действия законны. Найдем формулы для вычисления an, bn.
Чтобы найти a0, проинтегрируем равенство (7.2) почленно:
Однако для n>0 справедливы равенства
Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями и мы получим
Для того чтобы найти am при m>0, умножим обе части равенства (7.2) на
и проинтегрируем почленно:
56
,
(7.3)
(7.4)
0
1
( )cos cos cos cos cos sin
2
nn
n
a
f x mxdx mxdx a mx nxdx b mx nxdx
Первый член справа исчезнет ввиду (7.3), а в соответствии с известными
sin cos 0nx mxdx
0
1
cos cos 2 cos( ) cos( )
2
mx nxdx m n x m n x dx
00
11
sin( ) sin( ) 0
( ) ( )
m n x m n x
m n m n
2
0 0 0
1 cos2
cos cos cos 2 cos2
2
mx
mx nxdx mxdx dx dx mxdx
0
1
sin22mx
m
1
( )cos , 1,2,
m
a f x mxdx m
sinmx
1
( )sin , 1,2,
m
b f x mxdx m
x
fx
x
формулами тригонометрии мы получим
, пусть nm:
.
Пусть n=m. Тогда получим
.
.
Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кро-
ме того, при котором множителем стоит именно коэффициент a
. Отсюда этот
m
коэффициент и определяется:
(7.5)
Аналогично, умножая разложение (7.2) на
и затем интегрируя
почленно, получим формулу для коэффициента при синусе:
(7.6)
Определение 7.1. Формулы (7.4) - (7.6) часто называют формулами Эйле-
ра - Фурье; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэф-
фициентами Фурье функции f, а составленный с их помощью ряд (7.1) - рядом
Фурье функции f.
Справедлива теорема о представимости функции в точке своим рядом
Фурье:
Теорема 7.1. Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f
сходится в каждой точке
, а его сумма равна числу
57
, если
- точка
непрерывности функции
fx
1
00
2
f x f x
x
fx
ly
x
y
ly
g y f
0
1
cos sin
2
nn
n
ly a
f g y a ny b ny
1
cos
n
ly
a f nydy
1
sin
n
ly
b f nydy
,
x
y
l
0
1
( ) cos sin ,
2
nn
n
a
n x n x
f x a b
ll
1
( )cos , 0,1, ,
l
n
l
nx
a f x dx n
ll
1
( )sin , 0,1,
l
n
l
nx
b f x dx n
ll
и равна
, если
- точка
разрыва функции
.
7.2. Ряд Фурье функции с произвольным периодом
Предположим, что функция f задана в промежутке [-l, l], где l - некоторое
положительное число. Сделав подстановку
цию
, определенную в промежутке [-;]. В соответствии с п. 7.1
(
) получим функ-
функции g соответствует (формальный) ряд Фурье
,
коэффициенты которого находятся по формулам Эйлера - Фурье:
, n=0,1,2,…,
, n=1,2,…
Возвращаясь к старой переменной, т.е. полагая в выписанных формулах
получим для функции f тригонометрический ряд несколько измененно-
го вида:
где
(7.7)
(7.8)
58
7.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
,
,x
( ) 0f x dx
0
( ) 2 ( )f x dx f x dx
,
( )sinf x nx
1
( )sin 0
n
b f x nxdx
0
1
( ) cos
2
n
n
a
f x a nx
0
2
( )cos
n
a f x nxdx
( )cosf x nx
1
( ) sin
n
n
f x b nx
0
2
( )sin
n
b f x nxdx
,
Начнем со следующего простого замечания: если заданная в промежутке
интегрируемая функция f нечетна, т.е. для всех
равенство f(-x)=-f(x), то
, а если f(x) – четная функция, то
.
Пусть теперь f является интегрируемой в промежутке
цией. Тогда произведение
будет нечетной функцией и, по сказанному
выше,
, n=1,2,…
Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:
,
справедливо
четной функ-
причем коэффициенты an могут быть найдены по формуле
, n=0,1,2,…
поскольку функция
в рассматриваемом случае является четной.
Аналогично, ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
,
а его коэффициенты могут быть записаны в виде
, n=1,2,…
Предположим далее, что функция f задана лишь в промежутке [0;]. Желая
разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, сначала продолжим f в промежу-
ток
произвольным образом, а затем воспользуемся формулами Эйлера -
Фурье. Свобода в продолжении функции приводит к тому, что для одной и той
же функции
использовать эту свободу так, чтобы получить разложение только по синусам
или только по косинусам: в первом случае достаточно продолжить f нечетным
образом, а во втором - четным.
можем получать различные ряды Фурье. Но можно
59
Пример 7.1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию:
xxx0,
0,0
22
11
)(
1
0
2
0
0
x
xdxdxxfa
0
2
0
cos
1
sin
11
cos
1
cos)(
1
nx
n
nxx
n
nxdxxnxdxxfa
n
)1)1((
1
)1(cos
1
22
n
n
n
n
0
2
0
sin
1
cos
11
sin
1
sin)(
1
nx
n
nxx
n
nxdxxnxdxxfb
n
1
)1(
1
cos
1
n
n
n
n
)sin)1(
1
cos)1)1((
1
(
4
)(
1
1
2
nx
n
nx
n
xf
nn
n
f
,
2
||)( xxf
1,1
f
1l
;12
1
0
0
xdxa
)1(cos
1
2|]cos
1
sin
1
[2cos2
22
1
0
22
1
0
n
n
xn
n
xnx
n
xdxnxa
n
Nkkn
k
kn
n
n
,12,
)12(
4
,2,0
)1)1((
2
22
22
0;
n
bn
xk
k
x
k
)12cos(
)12(
14
2
1
||
1
22
2
)( xxf
],0[
Δ Используя формулы (7.4), (7.5), (7.6), найдем коэффициенты Фурье:
;
.
Следовательно, ряд Фурье имеет вид:
Ряд Фурье сходится к
сумма равна
. Δ
поточечно на интервале
Пример 7.2. Разложить
Δ Функция
является четной. Положив
ми (7.7),(7.8), получим
, а в точках
в ряд Фурье на отрезке
и воспользовавшись формула-
его
.
Ряд Фурье имеет вид:
Пример 7.3. Разложить функцию
Δ Коэффициенты Фурье найдем по формуле:
60
.
.Δ
на отрезке
по синусам.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]