Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
0
cos
2
sin
2
cos
12
sin
2
32
2
0
2
nx
n
nxx
n
nxx
n
nxdxxb
n
)1)1((
2
)1(
2
3
2
nn
nn
1
1
2
3
2
sin)1()1)1((
22
n
nn
nx
nn
x
[ , ]
0, 0
()
1, 0 .
x
fx
x
f x x
[ , ]
fx
2
)( xxf
[ , ].
,
0,
2
0,
2
)(
xx
xx
xf
[ , ]
,
0,sin
0,0
)(
xx
x
xf
[ , ]
.
2,0
0,
)(
lxl
lxa
xf
.
10,
01,0
)(
xx
x
xf
f x x
[0, ].
f x x
[0, ).
xxf cos)(
[0, ].
Тогда
.Δ
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
№ 7.1. Найти разложение в ряд Фурье прямоугольной функции с периодом
2π, определенной на отрезке
:
№ 7.2. Найти разложение в ряд Фурье для пилообразной функции
определенной на отрезке
№ 7.3. Предположим, что
дом 2π.Пусть
,
и имеющей период 2π.
является периодической функцией с перио-
Найти разложение Фурье для заданной парабо-
лической функции.
№ 7.4. Найти ряд Фурье для треугольной волны
,
определенной в интервале
№ 7.5. Найти разложение в ряд Фурье для функции
заданной в интервале
№ 7.6. Найти разложение в ряд Фурье функции
№ 7.7. Найти разложение в ряд Фурье функции
№ 7.8. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
на отрезке
№ 7.9. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
отрезке
№ 7.10. Построить нечетное продолжение функции
на отрезке
.
.
, заданную
, заданную на
, заданной
61
Ответы к задачам
1
5
3
7
4
4
3
4
1
4
1
121с
2
1
2
cos
1 2 cos
q
q
qq
2
sin
1 2 cos
q
q
qq
2
1
ln
;11;
;0
;1
;e
;13;
);0(0;
);0(0;
;
3
4
2;
2
1
;
2
1
;00;
;2e
[ 7;3)
2;4
4
1
;
4
1
2x
6;4
3;1
6;4
0;2
1;1
2R
2R
5
| 2 |
3
zi
1 2 1
2
1
( 1) 2
(2 )!
nn
n
n
z
n
1
2
3 5 ( 1)
9
24
2
n
n
n
n
zz
0
( 1)
n
n
nz
0
3
!
n
n
n
z
n
1
1
( 1)
ln3
3
n
n
n
n
z
n
11
0
1 1 1
2
(1 ) (1 )
n
nn
n
z
ii
| | 2z
1
1
0
1 ( 1)
65
9
2
n
n
n
n
nz
2
0
( 1)
4
n
n
n
n
z
1
1
0
15
( 1)
4
3
nn
n
n
z
1
3
0
1
( 1) 5 ( 1)
2
nn
n
n
z
№ 1.1. а)
№ 1.2. а)
№ 1.4. в)
, б)
, в) расходится, д)
, б)
, г) 3, д)
, в)
, г)
, е) расходится
, е)
,ж)
№ 2.1. а), в), г), е), ж), з), и) сходится; б), д) расходится.
№ 2.2. а), б), в) расходится; г),д),е) сходится.
№ 2.3. а) расходится; б), в), г), д), е) сходится.
№ 2.4. а), г) расходится; в) сходится;
б) сходится при α>1, расходится при 0<α<1 и при α=1.
№ 2.6. а), е), ж), м) сходится; б), в), г), д), з), и), к), л), н) расходится
№ 3.1. а), в), ж), з), о) абсолютно сходится; б) при α>1 абсолютно сходится,
при 0<α<1 и при α=1 условно сходится; при α<0 расходится; д), е), и), к), л), н)
условно сходится; г), м) расходится.
№ 4.1. а)
е)
, б)
,в)
, ж)
; г)
, д)
, з) расходится
№ 4.2. б)
№ 5.1. а)
№ 5.2. а)
, б)
; г)
№ 6.1. а)
№ 6.2. а) |z|<; б)
№ 6.3. а)
в)
, |z|<1;г)
ж)
и)
, |z|<2.
; б)
, д)
; г)
, ж)
, д)
, е)
, з)
, ж)
; в) R=0; г) R=1; д) R=; е) R=1.
; в) |z+1|<1; г) |z|<; д) |z+1-i|<2; e) z=-1-i.
, |z|<; б)
, |z|<; д)
,
; з)
, |z|<2;
, |z|<3;
, и)
, |z|<1;
№ 6.4. а)
, |z|<1; б)
62
, |z|<2.
№ 6.5. а)
2 1 2 1
01
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
sin1 cos1
(2 )! (2 1)!
n n n n
nn
zz
nn
0
1 ( 1)
!
n
n
z
en
1
1
( 1)
ln3 ( 2)
3
n
n
n
n
z
n
( 1)
2
0
1 ( 1)
!4
2
nn
n
n
z
n
0
13
( 2)
55
n
n
n
z
5
| 2|
3
z
1
2
( 1) (2 1)
ln2
2
2
n
n
n
n
zn
z
n
0
1 ( 1)
()
2
(2 )
n
n
n
n
zi
i
i
0
21
1
33
n
n
z
1
11
1
sin .
2
n
n
f x nx
n
1
1
2
1 sin .
n
n
x nx
n
2
2
2
1
4
1 cos .
3
n
n
x nx
n
2
0
cos 2 1
4
.
21
k
kx
fx
k
2
1
1 1 2 1
sin cos 2 .
2
41
k
f x x kx
k
1
2 1 2 1
sin .
2 2 1
k
a a k
f x x
kL
1
22
1
11
1
1
cos sin .
4
n
n
n
f x n x n x
n
n
2
1
4
cos 2 1
2
21
n
x n x
n
1
1
2
1 sin
n
n
x nx
n
2
1
8
cos sin 2
41
n
n
x nx
n
, |z|<;
б)
г)
д)
ж)
№ 7.1.
№ 7.2.
, |z|<; в)
,
, |z-i|<2; з)
, |z|<;
; е)
, |z-2|<3,
, |z|<1;
, |z-1|<3.
№ 7.3.
№ 7.4.
№ 7.5.
№ 7.6.
№ 7.7.
№ 7.8.
№ 7.9.
№ 7.10.
63
Список использованной литературы
1. Андреева, И. Ю. Основы математического анализа. Функция нескольких
переменнных, дифференциальные уравнения, кратные интегралы [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ И.Ю. Андреева, О.И. Вдовина, Н.В. Гредасов — Электрон. текстовые данные.— Екатеринбург: Уральский федеральный университет,
2013. — 99 c. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/69869.html. — ЭБС
«IPRbooks».
2. Виленкин, Н. Я., Бохан, К. А. Задачник по курсу математического ана-
лиза. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1971. – 336 с.
3. Гурьянова, К. Н. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ К.Н. Гурьянова, У.А. Алексеева, В.В. Бояршинов — Электрон. текстовые
данные. — Екатеринбург: Уральский федеральный университет, 2014. — 332 c. —
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/66542.html. — ЭБС «IPRbooks».
4. Гусак, А. А. Основы высшей математики [Электронный ресурс]: пособие
для студентов вузов/ А.А. Гусак, Е.А. Бричикова — Электрон. текстовые данные. — Минск: ТетраСистемс, 2012. — 205 c. — Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/28166.htm l. — ЭБС «IPRbooks».
5. Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анали-
зу, 2009.
6. Кипень, И. С., Беднаж, В. А. Функции комплексного переменного. Ме-
тодическое пособие для студентов физико-математических факультетов. –
Брянск , 2011. – 104 с.
7. Кудрявцев, Л. Д., Кутасов, А. Д., Чехлов, В. И., Шабунин, М. И. Сбор-
ник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды: Учебное пособие для
вузов / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 1986 г. – 528 с.
8. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расче-
ты). – М.: Высшая школа, 2000 г.
9. Ляшко, И. И., Боярчук, А. Н. Справочное пособие по высшей математике.
Том 2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. – Либроком,
2016 г.
10. Мараховский, А. С. Математический анализ. Интегральное исчисление
[Электронный ресурс]: практикум/ А.С. Мараховский, А.Н. Белаш — Электрон.
текстовые данные. — Ставрополь: Северо-Кавказский федеральный университет, 2015. — 160 c. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/62846.html. —
ЭБС «IPRbooks».
64
11. http://www.math24.ru/ – Сайт содержит более 2000 задач с подробным ре-
шением по математическому анализу и обыкновенным дифференциальным уравнениям.
12. http://www.exponenta.ru – «Образовательный математический сайт Expo-
nenta.ru».
13. http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и
производные, дифференцирование, электронные учебники.
14. http://www.math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».
15. http://www. mathelp.spb.ru – «Высшая математика» (помощь студентам) –
Лекции, электронные учебники, решение контрольных работ.
16. http://www.fismat.ru – Высшая математика для студентов и абитуриентов –
интегралы и производные, ряды, ТФКП, дифференцирование, лекции, задачи,
учебники.
65
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]