Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Методические указания
.pdf
Федеральное агентство связи
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
М.М. Капшанинова
В.П. Максимов
РЯДЫ ФУРЬЕ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Методические указания
Новосибирск 2006 г.
УДК 517.9,
517.52
Ассистент М.М. Капшанинова, кф-мн, доцент В.П.Максимов.
Ряды Фурье. Интеграл Фурье: Методические указания / СибГУТИ – Новоси-
бирск, 2006 г. – 44 стр.
Методические указания рекомендуются студентам всех форм обучения технических специальностей СибГУТИ.
Кафедра высшей математики
Ил. 14, список лит. – 7 наим.
Рецензент: М.Ю. Галкина
Для студентов направлений 210300 – «Радиотехника», 210400 – «Телекоммуникации»
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве методических указаний
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2006
ОГЛАВЛЕНИЕ
РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Ряды и коэффициенты Фурье………………………………………………
2. Условия разложимости функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле………
3. Разложение 2-периодических функций в ряд Фурье……………………
4. Ряд Фурье функции с произвольным периодом…………………………..
5. Четные и нечетные функции……………………………………………
5.1 Разложение четной функции в ряд Фурье…….……………………...
5.2 Разложение нечетной функции в ряд Фурье….……………………...
6. Примеры разложения функции в ряд Фурье и суммирования
числового ряда с помощью ряда Фурье………………………………..
7. Комплексная форма ряда Фурье………………………………………..
8. Характер сходимости рядов Фурье……………………………………..
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
9. Представление функции интегралом Фурье…………………………
10. Достаточные условия представления функции интегралом Фурье…
11. Интеграл Фурье для четных функций…………………………………
12. Интеграл Фурье для нечетных функций………………………………
13. Комплексная форма интеграла Фурье…………………………………
14. Преобразование Фурье…………………………………………………
14.1. Косинус–преобразование Фурье………………..…………………
14.2. Синус–преобразование Фурье…………………..…………………
15. Спектральная функция………………………………………………….
Литература……………………………………………………………….
О т в е ты……………………...…………………………………………
4
4
6
7
11
14
15
16
18
21
23
28
28
29
32
33
35
37
39
39
41
41
42
- 3 -
РЯДЫ ФУРЬЕ
321
e,e,e
,1
321
eee
)e,(e
21
)e,(e
32
0)e,(e
13
1ex1x
2e
2
x
.
3 3
e x
321
,, xxx
),( x,e
1
)x,(e
2
)( x,e
3
],[ ba
)(xf
)(xg
b
a
dxxgxfgf .)()(),(
Nnnf
}{
ba,
mn
0),(
mn
ff
n
f
m
f
ba,
Nn
1),(
nn
ff
fff
nn
),(
)(xf
ba,
),(,),(),(
21
xxx
n
)(xf
)(xf
)(xf
.)()()()(
2211
xaxaxaxf
nn
b
a
nn
dxxxfa ,)()(
,3,2,1n
)(xf
)(xf
,
1. Ряды и коэффициенты Фурье
Из курса линейной алгебры известно, что в трехмерном векторном про-
странстве с базисом
) любой вектор x можно представить в виде
Здесь коэффициенты
и
Для линейного пространства всех определенных на сегменте
интегрируемых на нем вместе с их квадратами естественно ввести скалярное произве-
дение любых двух функций
Нетрудно убедиться, что при таком определении справедливы все аксиомы скалярного
произведения.
О п р е д е л е н и е 1. Функциональная последовательность
ортогональной на сегменте
соответственно.
, т.е. функции
(т.е.
есть скалярные произведения
и
системой функций, если при всех
и
ортогональны между собой на
, определив его равенством
=
функций и
называется
имеем
. Если при
=
этом для всех
называется ортонормированной системой функций.
Напомним, что величина
относительно введенного выше скалярного произведения.
Пусть дана ортонормированная на сегменте
а также некоторая непрерывная функция
функциям (1), т.е. представим функцию
Следуя проводимой аналогии между векторами и функциями, найдем числа
О п р е д е л е н и е 2 . Ряд (2) называется рядом Фурье функции
функций (1). Коэффициенты этого ряда называются коэффициентами ряда Фурье
функции
.
выполнено условие
, то эта последовательность
называется нормой функции
последовательность функций
(1)
. Разложим функцию
в виде
(2)
. (3)
в ряд по
по системе
Сравнительно простой и удобной системой функции для разложений в ряд
Фурье на сегменте
ских функций
является ортонормированная система тригонометриче-
- 4 -
,
sin
,
cos
,,
2sin
,
2cos
,
sin
,
cos
,
2
1
nxnxxxxx
,0
00cossin mxdxnx
,cos,,2cos,cos,1 nxxx
,sin,,2sin,sin nxxx
,0
)(xf
,
1
0
.)sincos(
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
,)(
1
0
dxxfa
,cos)(
1
nxdxxfa
n
...,3,2,1n
,sin)(
1
nxdxxfb
n
...,3,2,1n
2
0
a
0n
nxcos
,10cos
0n
,cos)(
1
nxdxxfa
n
,sin)(
1
nxdxxfb
n
...,3,2,1,0n
T
2T
Ta
a
dxxf ,)(
a
2
. (4)
Отметим, что эта же система функций в урезанном промежутке
будет ортогональной, т.к.
ности. Но, каждая из частичных систем функций состоящая либо только из косинусов:
либо только из синусов:
в отдельности будут в этом промежутке
Разложение функции
вид
Здесь коэффициенты Фурье определяются по формулам:
в ряд Фурье по этой системе на сегменте
(6)
если n и m числа разной чет-
ортогональной, что легко проверить.
(5)
уже не
имеет
Ряд (5) называется тригонометрическим рядом Фурье.
Заметим, что слагаемое
образие формулам (6) и (7). Учитывая также, что при
этому формулу (6) можно рассматривать как частный случай формулы (7), который
получается при
Известно, что для функции имеющей период
на интеграла
, т.е.
не зависит от
в (5) пишется в таком виде, чтобы придать едино-
. Поэтому в формулах (9) определяющих
, (7)
. (8)
(в частности
. (9)
) величи-
по-
коэффициенты Фурье, интегралы могут быть взяты по любому промежутку длиной
, например, можно было записать:
- 5 -
2
0
,cos)(
1
nxdxxfa
n
2
0
,sin)(
1
nxdxxfb
n
...,3,2,1,0n
)9(
)(tf
)(tf
)(xf
ba,
],[
1
xa
],[
21
xx
],[
32
xx
bx
n,1
)(xf
)(xf
ba,
),0()(lim),0()(lim
00
cfxfcfxf
cxcx
)(xf
,
,
)(xs
)(xf
)()( xfxs
.)0()0(
2
1
)( fxfxs
.)0()0(
2
1
)()( ffss
)(xf
)(xf
).0()()0( fff
)0( f
)(xf
Геометрически ряд Фурье (5) означает, что график периодической функции
получается путем наложения ряда синусоид. Если же истолковать каждую синусоиду
физически, как представляющую гармоническое колебательное движение, то можно
сказать, что здесь сложное колебание физического процесса, характеризуемое функци-
.
ей
ные синусоидальные величины, входящие в состав разложения (5), называют гармони-
ческими составляющими функции-сигнала
второй, третьей и т. д.). Сам же процесс разложения периодической функции на гармо-
ники носит название гармонического анализа.
О п р е д е л е н и е 3. Функция
Если функция
внутренней точке этого сегмента существуют правые и левые пределы её значений, т.е.
пределы
Т е о р е м а Д и р и х л е . Если функция
ляется на нем кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её три-
, разлагается на отдельные гармонические колебания. В связи с этим отдель-
или просто ее гармониками (первой,
2. Условия разложимости функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле
называется кусочно-монотонной на сегменте
, если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов
,
, ,
является кусочно-монотонной на сегменте
, в каждом из которых функция
задана на сегменте
монотонна.
, то в любой
и яв-
,
гонометрический ряд Фурье сходится во всех точках
тригонометрического ряда Фурье функции
этой функции
Кроме того,
Условия этой теоремы называются условиями Дирихле. Из теоремы Дирихле
видно, что значение функции
значит, что функции, имеющие одни и те же точки разрыва и отличающиеся друг от
друга лишь в этих точках, разлагаются в один и тот же ряд Фурье.
Для непрерывности функции
функции
справа от точки , т.е. там, где эта функция, быть может, и не опреде-
, а во всех точках разрыва
в точках разрыва не влияют не её ряд Фурье. Это
в точке необходимо двойное равенство
Но выражение
, то во всех точках непрерывности
(10)
(11)
. Если
характеризует поведение
сумма
- 6 -
лена. То же справедливо и для выражения
)0( f
,
f(x)
),()( Txfxf
T
nxnx cos,sin
),3,2,1( n
x
2
1
0
)sincos(
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
2
)(xf
2
,
,)( xxf
,
,
xxf )(
)(xf
,
,0
2
11
2
0
x
xdxa
,0
cossin1
cos
1
2
n
nx
n
nxx
nxdxxa
n
.
2
)1(
sincos1
sin
1
1
2
nn
nx
n
nxx
nxdxxb
nn
xxf )(
,
)sin
1
)1(3sin
3
1
2sin
2
1
sin(2
1
nx
n
xxx
n
. Поэтому в теореме Дирихле
концы сегмента
3. Разложение 2-периодических функций в ряд Фурье
Функция
полагая при этом, что
ством.
Все тригонометрические функции вида
делены для любого вещественного значения
каждой из них равен
также имеет период
Итак, если функция
ческий ряд Фурье описывает ее всюду. В противном случае он описывает ее лишь на
сегменте
Пример 3.1
Рассмотрим в качестве примера разложения в тригонометрический ряд Фурье
функции
.
играют особую роль, сходную с ролью точек разрыва.
имеет период T, если для любого x
является наименьшим из всех чисел, обладающих этим свой-
и являются периодическими. Период
. Следовательно, функция
.
периодическая с периодом
заданной на сегменте
. Т.к. эта функция внутри сегмента
, то ее тригонометри-
пред-
опре-
непрерывна и монотонна, она удовлетворяет условиям Дирихле.
Говорить о непрерывности функции
сегмента, т.е. в точках
функции в этих точках мы должны знать ее предельное поведение при переходе к сег-
менту извне. Но о значениях функции
знаем.
В соответствие с формулами (6) – (8) для этого нам нужно вычислить следую-
щие интегралы:
Таким образом, тригонометрический ряд Фурье функции
и
, мы пока не имеем права, т.к. для непрерывности
вне сегмента
на концах рассматриваемого
мы пока ничего не
на сегменте
имеет вид
(12)
- 7 -
Сумма этого ряда является функцией от
x
)(xs
)(xf
,
xxfxs )()(
x
.0sin n
)(xs
2T
.,5,3,,0
,5,3,,2
2
)(
x
x
x
x
xs
)(xs
xxf )(
,
2T
)(f
0)3()( ff
)(xs
xxf )(
,
xxf )(
,
)(xs
)(xf
2T
nxxfnxxf cos)(,sin)(
f(x)
2, aa
,cos)(
1
cos)(
1
2na
a
anxdxxfnxdxxf
.sin)(
1
sin)(
1
2na
a
bnxdxxfnxdxxf
2
)(xf
,
. Обозначим ее как
. Эта функция во
всех точках непрерывности
должно быть
нуль:
аналитически эту функцию можно задать как
График этой функции приведен на рис.1.
Функция
должна с ней совпадать. Значит, внутри сегмента
. При
должна быть периодической с
все синусы обращаются в
. Поэтому
Рис. 1. График функции
Продолжение
периодической функции с периодом
с сегмента
скому виду
от функции
Если функция
тем же периодом, будут все функции
эффициентов Фурье функции
то, вне сегмента
.
с сегмента
) будет совпадать с функцией
на всю вещественную прямую согласно ее аналитиче-
является периодической с
на сегменте
на всю действительную ось в виде
(если положить
. Если же продолжить
получим нечто совершенно отличное
, то периодическими, с
и, поэтому, для ко-
будем иметь
ции
Отсюда можно сделать два вывода.
Во-первых, при вычислении коэффициентов Фурье
на сегменте
мы можем во имя удобства интегрировать не по этому
- 8 -
-периодической функ-
сегменту, а по любому другому вида
2, aa
2
)(xf
2, aa
,
,
.0,
;0,2
)(
xеслиx
xеслиx
xf
)(xf
)(xf
2
2,
2,0
)(xf
xxf )(
0x
0
)(xf
)(xf
,2
2
11
2
0
2
0
0
x
xdxa
,0
cossin1
cos
1
2
2
0
n
nx
n
nxx
nxdxxa
n
,
221sincos1
sin
1
2
0
2
2
0
nnn
nx
n
nxx
nxdxxb
n
рать так, чтобы вычисления интегралов стали более простыми и удобными.
Во-вторых, при разложении
-периодической функции
. При этом значение a следует выби-
в ряд Фурье на
сегменте
практическими рекомендациями, которые справедливы для случая сегмента
Пример 3.2
Разложить в ряд Фурье на
зом:
можно воспользоваться всеми теоретическими утверждениями и
функцию, определенную следующим обра-
.
Рис. 2. График функции
Вычисление интегралов, выражающих коэффициенты Фурье для этой функции не-
удобно, т.к. в каждом из них интервал интегрирования приходится разбивать на две
части: от
по
функция
верна, но
разложение в ряд Фурье никак не влияет).
-периодичности на промежуток
Поэтому коэффициенты Фурье функции
до 0 и от 0 до
приобретает простой вид
есть точка разрыва функции
. Вместе с тем мы можем продолжить функцию
. Таким образом, на отрезке
(для точки
, так что значение функции в ней на ее
эта формула не-
будут:
а ее разложение в ряд Фурье
- 9 -
....sin
1
...2sin
2
1
sin2)(
nx
n
xxxf
5
2
)(
x
xf
2T
,
105
4
1
5
2
1
2
0
x
x
dx
x
a
nxdxnxdxxnxdx
x
a
n
cos
5
cos
2
1
cos5
2
1
,0
sin5cossin
2
1
2
n
nx
n
nx
n
nxx
nxdxnxdxxnxdxxb
n
si n
5
si n
2
1
si n5
2
11
,
)1(cos5sincos
2
1
1
2
nn
nx
nn
nx
n
nxx
n
1
.
sin
)1(55
2
)(
n
n
n
nxx
xf
xxf )(
2T
,
,2
1
)(
1
)(
1
0
xdxdxdxxdxxfa
,0cos
1
coscos)(
1
cos)(
1
nxdxxnxdxnxdxxnxdxxfa
n
nxdxxnxdxnxdxxnxdxxfb
n
sin
1
sinsin)(
1
sin)(
1
1
2
)1(
2
)1(
2sincos1cos
nn
n
nx
n
nxx
n
nx
Пример 3.3
Разложить в ряд Фурье функцию
на
.
с периодом
,
, заданную
Пример 3.4
Разложить в ряд Фурье функцию
.
с
, заданную на
,
- 10 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]