Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Методические указания
.pdf
Если аналогично, в формуле (19) положить
,0x
.
3
1
2
1
14
3
0
22
2
4S
.
22
SS
S
,2
3
0
2
S
6
2
S
,4x
2
)( xxf
,0
2,0
1
2
1
1
,
1
n
n
n
S
1
2
2
.
12
1
n
n
S
1
0
sincos
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
2
cos
inxinx
ee
nx
2
sin
inxinx
ee
inx
.
222
)(
1
0
n
inxinx
n
inxinx
n
ee
ib
ee
a
a
xf
.
222
)(
1
0
n
inx
nn
inx
nn
e
iba
e
ibaa
xf
то получим:
Обозначим, далее, через S сумму ряда «обратных квадратов», тогда сумма чисел,
обратных четным квадратам, будет равна
скобках, равна
мы нашли сумму ряда «обратных квадратов».
12. Подставив в формулу (21) значение
ствующего ряда.
13. Разложите функцию
а) на промежутке
б) на промежутке
Пользуясь этими разложениями, найдите суммы числовых рядов:
Таким образом,
З а д а ч и
в ряд Фурье:
по синусам;
по синусам и косинусам.
, так что сумма ряда, стоящего в
откуда
найдите сумму соответ-
и
Формулы Эйлера позволяют выражать тригонометрические функции с ком-
плексным показателем. Следовательно, в такой комплексной форме могут быть
представлены тригонометрические ряды и, в частности, ряды Фурье тех или иных
функций.
Рассмотрим некоторый тригонометрический ряд
Используя формулы Эйлера
перепишем (23)
7. Комплексная форма ряда Фурье
. (23)
и
Объединяя степени с одинаковыми показателями, получим
Введём единообразные обозначения:
(24)
- 21 -
,
22
,
2
0
0
n
nn
n
nn
c
iba
c
iba
c
a
11
0
)(
n
inx
n
n
inx
n
ececcxf
.)(
n
inx
n
ecxf
)(xf
n
a
.
n
b
n
a
,
n
b
dxnxinxxf
ba
c
nn
n
)sin)(cos(
2
1
2
.)(
2
1
)(sin)(cos)(
2
1
dxexfdxnxinxxf
inx
dxnxinxxf
iba
c
nn
n
)sin)(cos(
2
1
2
.)(
2
1
)(
2
1
)(
dxexfdxexf
xniinx
,2,1,0 n
.)(
2
1
dxexfc
inx
n
)(xf
n
c
.
2
1
2
1
22
nnnnn
baibac
тогда (24) превращается в
(25)
или
Таким образом, мы получили разложение функции
ряд с комплексными членами. Он называется рядом Фурье в комплексной форме.
Коэффициенты этого ряда можно вычислять не только по формулам (25) из коэф-
фициентов ряда Фурье (23), но и непосредственно, минуя нахождение
Действительно, вспоминая определение коэффициентов
Аналогично
в функциональный
и
и
имеем
Следовательно, при любом целом
Если функция
такие функции), то из формул (25) следует, что коэффициенты
ряд Фурье являются комплексными сопряженными числами. Для модулей этих
чисел имеем
Непосредственное разложение функции в комплексный ряд Фурье на осно-
вании формулы (26) часто оказывается удобнее, чем вычисление коэффициентов
этого ряда через коэффициенты вещественного ряда Фурье по формулам (25). Бо-
лее того, может оказаться целесообразным вычисление коэффициентов вещественного ряда Фурье провести через предварительное вычисление коэффициен-
тов соответствующего комплексного ряда.
(26)
вещественная (а до сих пор мы рассматривали только
разложения в
- 22 -
Пример 7.1
x
exf
)(
,
xinxininxx
n
e
in
dxedxeec
)()(
1
2
1
2
1
2
1
.
1
2
1
)()(
inin
ee
in
nnine
in
cossincos ,)1(
n
.
)1()1(
2
1
in
sh
ee
in
c
nn
n
.
)1(
n
inxn
x
in
esh
e
xe
n
c
,)1(
22
n
insh
c
n
n
.
)(
2
)1(,
)(
2
)1(,
2
22
1
22
0
n
shn
b
n
sh
a
sh
a
n
n
n
n
xe
.
sincos
)1(
2
22
1
n
nxnnxshsh
e
n
nx
)(sgn)( xxxf
)()( xexf
x
).22(,)(
3
xxxf
).22(,)(
2
xxexf
x
).(,)( xxexf
x
)(),2sin()( xxxxf
Разложение функции
ния в комплексный ряд Фурье. При любом n имеем
Заметим, что для любого целого n
поэтому
искомым разложением будет
Перейдем теперь к разложению функции
нашем случае очевидное преобразование выражения для
на сегменте
в вещественный ряд Фурье, в
начнем с ее разложе-
Таким образом,
дает
откуда, согласно формулам (25)
После чего разложение функции
Найдите ряды Фурье в комплексной форме для следующих функций.
14.
16.
18.
8. Характер сходимости рядов Фурье
Вытекающая из теоремы Фурье сходимость рядов Фурье к соответствую-
щим функциям зависит от аналитических свойств разлагаемых функций.
в вещественный ряд Фурье приобретает вид:
З а д а ч и
. 15.
17.
19.
.
.
- 23 -
Т е о р е м а 3. Если заданная на сегменте
,
)(xf
1
0
,sincos
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
)()(),()(
ffff
,
,)('' Cdxxf
,
,sincos
2
sinc os
2
1
0
1
0
n
nn
n
nn
nxbnxa
a
nxbnxa
a
.,2,1,0,,
kbbaa
kkkk
)(xf
,,
,
,
,sincos
2
1
0
n
nn
nxbnxa
a
,cossin
1
n
nn
nxnbnxna
.
cossin
2
1
0
C
n
nxbnxaxa
n
nn
функция
разлагается в
ряд Фурье
и имеет абсолютно интегрируемую на отрезке
вторую производную
равномерно и абсолютно.
Т е о р е м а 4. Если имеет место тождественное равенство двух равномерно
сходящихся тригонометрических рядов
то эти ряды равны и формально:
С л е д с т в и е . Всякая функция
то ряд Фурье функции f сходится на
заданная на
удовлетворяет условиям
(27)
(например ограниченную)
удовлетворяющая
условиям (27) и имеющая абсолютно интегрируемую на
ограниченную) вторую производную, может быть разложена на сегменте
в ряд Фурье только одним способом.
Ясно, что очевидная модификация этого утверждения справедлива и по от-
ношению к разложению функции в ряд Фурье на любом другом сегменте. Если
мы получим два различных по виду разложения обладающей перечисленными
свойствами функции в ряд Фурье, то у этих рядов можно прировнять, соответ-
ствующие коэффициенты.
Заметим в заключение, что формальное почленное дифференцирование ряда
даёт нам ряд
а формальное почленное интегрирование – ряд
(28)
(29)
(в частности,
Коэффициенты ряда производных (29), если с ростом n и убывают, то медленнее, чем коэффициенты исходного ряда (28). Поэтому если ряд (29) сходится,
то медленнее, чем ряд (28). Наоборот, коэффициенты ряда (30) убывают быстрее,
(30)
- 24 -
чем коэффициенты исходного ряда, так что ряд, полученный почленным интегри-
bxc
cxccxA
cxccxA
cxa
xf
,0
,),)(1(
,),)(1(
,,0
)(
abT
, ca
,bc
,0
0A
)(xf
n
c
1A
,10 ab
1A
100ab
)0(
2
n
n
ab
n
1
1
0
,)(
n n
n
xi
n
n
xi
n
eccecxf
,)(
1
0
b
a
ab
A
dxxf
ab
c
b
a
n
xi
n
dxexf
ab
c )(
1
c
c
n
xi
cx
cx
n
xi
n
dxexfexf
ab
i
)(')(
0)()( cfcf
рованием, если сходится, то быстрее, чем исходный ряд.
Рассмотрим пример, в котором необходимо разложить периодическую
функцию
с периодом
с целью исследовать спектр амплитуд
)
в комплексный ряд Фурье (
Рис. 9. График функции
и характер сходимости в случаях:
1)
2)
Обозначим
Тогда
где
=( с учетом того, что
и
и
(31)
. (32)
. (33)
(34)
(35)
= (интегрируя по частям) =
) =
- 25 -
=
n
ci
n
n
c
c
c
c
n
xi
n
xi
n
e
ab
A
dxe
A
dxe
A
ab
i
2
sin4
)(
2
2
),0(),(
2
nSe
ab
A
c
n
n
ci
n
).0(
sin
)(,
2
nS
n
n
n
n
n
1
nci
e
).0()(
2
nS
ab
A
cc
nnn
.0n
n
c
,1
n
1
sin
)(
n
n
n
S
0
|| c
ab
A
c
n
1
n
.
0
ab
A
cc
n
,1
n
0)(
n
S
nn
sin
0||
n
c
2222
2
11
)2(
||
n
O
n
ab
A
ab
A
c
n
n
1
n
22
||
n
ab
Ac
n
||
n
c
.1.0
0
c
.1
n
,
102
n
n
ab
n
n
1
10
n
,
10
n
.2,1n
.1.0||||
021
ccc
,1
n
,1
10
n
.2.3
10
n
,
10
||
22
n
c
n
.3n
01.0
10
1
||
2
10
c
.
Т.е.
где
Отсюда (так как
Ограничимся в дальнейшем случаем
амплитуд
а) если
ким образом, из того, что
б) Если же
, или
, отметим некоторые их оценки:
то
)
то
следует
(36)
(37)
(38)
Прежде чем исследовать спектр
, поэтому
(ибо
(39)
), поэтому
. Т.е. из
. Та-
сле-
дует
Теперь приступим к исследованию спектра амплитуд
В п е р в о м (31) случае
Отсюда в силу (39) получаем
Полагая
Поэтому в силу (40) и (31)
Итак, в этом (31) случае график спектра амплитуд имеет вид:
. (40)
Пусть теперь
то из
аналогично находим
где
. (42)
следует
(41)
Например,
.
т.е.
Так как
т.е.
- 26 -
Рис. 10. Спектр амплитуд
||
n
c
10ab
.01.0
0
c
1
n
,1
ab
n
.32
100
n
10,,2,1 n
.01.0||
0
cc
n
,1
,1
ab
n
,32
100
n
n
.
10100
||
222
nn
c
n
.001.0
10
100
||
42
10 0
c
0
c
10n
100n
ab
0
c
10A
10ab
1
0
c
A
||
n
c
||
n
c
32N
Nk
N
Nk
k
Nk
ab
kx
i
kn
Nx
dx
k
cecR .
20
20
1200
||2||
222
||
2
для
Во в т о р о м (32) случае
Поэтому
Если
имеем в силу (40)
Таким образом, сходимость ряда Фурье во втором случае менее быстрая: для
того, чтобы амплитуду
членов (сравните (41) и (42)), а во втором случае
и (44)). На скорость сходимости ряда (34) в нашем примере влияет отношение
т.е.
уменьшить в 10 раз, потребовалось в первом случае
(43)
то
Если
и для этих значений n имеем
В частности,
(44)
, т.е.
и для этих значений
(сравните (43)
то
(чем оно больше, тем медленнее сходимость).
Здесь необходимо сделать несколько замечаний. Амплитуду
гармоники можно увеличить или уменьшить, меняя амплитуду исходного сигна-
ла A. В частности, при
раз увеличатся или уменьшатся амплитуды
Кроме того, зная скорость убывания амплитуд
остаток ряда Фурье при
и
имеем
всех остальных гармоник).
, можно оценить и весь
:
- 27 -
(соответственно в
нулевой
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
)(xf
ll,
1
0
sincos
2
)(
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
)(xf
ll,
l
l
dxxf
l
a ,)(
1
0
,,3,2,1,cos)(
1
ndx
l
xn
xf
l
a
l
l
n
.,3,2,1,sin)(
1
ndx
l
xn
xf
l
b
l
l
n
)(xf
,,3,2,/,0 lll
.l
,
,
9. Представление функции интегралом Фурье
Представление функции
можно истолковать следующим образом. Если
творяет условиям Дирихле, то для того чтобы, ее в этом сегменте полностью описать, достаточно указать некоторый, вполне определенный набор ее характери-
стик, коэффициентов Фурье:
Таким образом, коэффициенты Фурье несут в себе достаточно информации о поведении функции в соответствующем конечном сегменте, сколь бы велик он ни
на сегменте
рядом Фурье
(45)
в сегменте
(46)
удовле-
был. Частоты гармоник ряда Фурье (45) функции
ставляют последовательность
ческой прогрессией с разностью
Заметим, что при увеличении числа l, т.е. при увеличении длины сегмента
разложения функции, разности между частотами соседних гармоник уменьшаются, т.е. гармоники начинают идти все более густо. Положение дел резко изменится,
если сегмент разложения функции, неограниченно расширяясь в обе стороны,
охватывает всю вещественную прямую и превращается в бесконечный промежуток
соседних гармоник будет убывать до нуля, т.е., последовательность гармоник из
дискретной, состоящей из отдельных изолированных чисел, превратится в непрерывное множество всех неотрицательных чисел. Естественно предположить при
этом, что вместо ряда Фурье нам придется рассматривать некоторый интеграл.
Этот интеграл, к рассмотрению которого мы сейчас перейдем, называется инте-
гралом Фурье.
Для того чтобы произвольная функция могла быть представлена интегралом
Фурье в бесконечном промежутке
. В этом случае естественно ожидать, что разность между частотами
, она должна удовлетворять, во-
на сегменте длины l2 со-
которая является арифмети-
первых, некоторым условиям, подобным условиям Дирихле и, во-вторых, еще некоторым дополнительным условиям, возникающих в связи с тем, что при неогра-
ниченном возрастании l, все интегралы вида (46) становятся несобственными и об
их сходимости необходимо позаботиться.
- 28 -
10 Достаточные условия представления функции интегралом Фурье
)(xf
,
)(xf
,
.)( Qdxxf
)(xf
l
)(xf
ll,
1
0
sincos
2
)(
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
n
a
n
b
)(xf
l
l
ll
dttf
l
xf )(
2
1
)(
1
sinsin)(
1
coscos)(
1
n
l
l
l
l
l
xn
dt
l
tn
tf
ll
xn
dt
l
tn
tf
l
dt
l
xn
l
tn
l
xn
l
tn
tf
l
dttf
l
xf
n
l
l
l
l
1
sinsincoscos)(
1
)(
2
1
)(
.
)(
cos)(
1
)(
2
1
)(
1
dt
l
txn
tf
l
dttf
l
xf
n
l
l
l
l
l
nn
ll
n
l
n
nn
)1(
1
.)(cos)(
1
)(
2
1
)(
1
n
l
l
l
l
dttxtfdttf
l
xf
Пусть функция
удовлетворяет следующим условиям.
1) Функция
т.е. существует несобственный интеграл
2) В любом конечном сегменте функция
ски, обычно требуют, чтобы функция в любом конечном сегменте удовлетворяла
условиям Дирихле). При соблюдении этих условий мы можем рассуждать следу-
ющим образом. Фиксируем некоторое произвольное
функции
где коэффициенты определяются по формулам (46). Ясно, что при этом коэффи-
циенты
ние
мулами (46). Мы получим
фигурирует в пределах интегралов в формулах (46)).
и
Подставим теперь в ряд (47) выражения для коэффициентов, даваемые фор-
является ограниченной и абсолютно интегрируемой на
в ряд Фурье на сегменте
зависят не только от функции
, определена на бесконечном промежутке
разлагается в ряд Фурье (практиче-
и напишем разложение
:
, (47)
, но и от параметра
и
(значе-
,
или
или
Вводя новую переменную
получим
и, полагая
,
(48)
- 29 -
При возрастании l в силу абсолютной интегрируемости функции
)(xf
dttxtf
l
l
)(cos)(
.)(cos)( dttxtf
.)(cos)(
0
ddttxtf
.0
2
1
)(
2
1
)(
2
1
lприQ
l
dxxf
l
dttf
l
l
l
l
l
l
.)(cos)(
1
)(
0
ddttxtfxf
)(xf
)(xf
)(xf
.)(cos)(
1
2
)0()0(
0
ddttxtf
xfxf
)(xf
,
)(xf
все меньше отличается от несобственного интеграла
Кроме того, сумма, стоящая в правой части формулы (48), напоминает интеграль-
ную сумму. Поэтому естественно предполагать, что при возрастании lэта сумма в
(48) стремится к интегралу по
Первое слагаемое в (48) справа по мере роста l стремится к нулю. В самом деле,
интеграл
Таким образом, в пределе при
Эта формула называется интегральной формулой Фурье, а стоящий в ней интеграл
– интегралом Фурье. Представление функции
(49) обычно называется разложением этой функции в интеграл Фурье. Ясно, что
все сказанное здесь касалось только тех точек x, в которых функция
рывна. Для точек разрыва
гральная формула, описывающая полусумму пределов функции слева и справа:
Итак, приходим к формулировке следующей теоремы.
Т е о р е м а Ф у р ь е . Если функция
является ограниченной и абсолютно интегрируемой, а в каждом конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, то для любого x имеет место равен-
, формула (48) превращается в следующую:
(49)
в виде правой части формулы
непре-
справедлива, как и в случае рядов Фурье, инте-
(50)
на бесконечном промежутке
ство (49), если x есть точка непрерывности функции
если x есть точка разрыва функции.
Заметим, что в формуле (49) внутренний интеграл представляет собой некоторую функцию от . Так как эта функция зависит не от самой переменной
от ее косинуса, она должна быть четной. Поэтому мы можем формулу (49) переписать в следующем виде:
- 30 -
, и равенство (50),
, а
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]