Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Методические указания
.pdf
.)(cos)(
2
1
)(
ddttxtfxf
.0,
,0,0
)(
xеслиe
xесли
xf
x
)(xf
10
x
ex
1)(
0
0
xx
edxedxxf
)(xf
,
xe
)(xf
)(xf
0
,coscos)(),( dttxedttxtfaxI
t
0
0
1
)(sin)(cos),( dttxetxeaxI
t
0
2
0
)(cossincos dttxedttxcex
tt
).,(sincos
2
xIxx
Пример 10.1
(51)
Пусть
Очевидно, что при любом
Рис. 11. График функции
и
.
Следовательно, функция
абсолютно интегрируемой. Кроме того, функция
этому функция
что, согласно теореме Фурье, функция
ветствии с формулой (49). Выпишем это разложение в явном виде (т.е. без внут-
реннего интеграла, стоящего в правой части этой формулы). Мы имеем в рассмат-
риваемом случае
или, производя дважды интегрирование по частям,
удовлетворяет условиям Дирихле. Из сказанного следует,
в промежутке
является ограниченной и
монотонно убывает, и по-
разлагается в интеграл Фурье в соот-
- 31 -
Отсюда следует, что
).sin(cos
1
1
),(
2
xxaxI
.
1
sincos1
)(
0
2
d
xx
xf
,1cos t
t
t
t
t
dttfdtttf .)(cos
)(xf
,
tdttf cos
.sin)(
dtttf
,sinsincoscos)(cos txtxtx
.sinsin)(
1
coscos)(
1
)(
0
0
dxxdtttf
dxxdtttfxf
)(xf
ttf cos)(
ttf sin)(
0
cos2cos tdttftdttf
)(xf
приобретает в этом случае следующий вид:
11. Интеграл Фурье для четных функций
Значит, формула (49)
Заметим, прежде всего, что при любом
Следовательно, если функция
промежутке
существует. В силу аналогичных причин существует при любом
ный интеграл
Вспоминая, что
(49) в следующем виде:
, то несобственный интеграл
абсолютно интегрируема на бесконечном
(52)
(53)
так что
перепишем формулу
и несобствен-
Предположим теперь, что функция
быть все функции вида
Следовательно, в этом случае все несобственные интегралы (53) обращаются в
нуль, а для каждого из несобственных интегралов (52) можно записать
Таким образом, в случае четной функции
переписана как
(54)
четная. Тогда четными должны
и нечетными – все функции вида
.
формула (54) может быть
.
- 32 -
0 0
.coscos)(
2
)( xdtdttfxf
)(xf
случаепротивномв
lxесли
xf
,0
,||,1
)(
)(xf
)(xf
,sin
1
coscos
0
ldttdtttf
l
0
.cos
sin2
xd
l
xf
.lx
.21
)(xf
ttf cos)(
ttf sin)(
)(xf
0
.sin)(2sin)( tdttftdttf
)(xf
Пример 11.1
Разложить в интеграл Фурье четную функцию
(55)
, где
Рис. 12. График функции
То, что функция
межутке и удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном сегменте, видно
непосредственно. Следовательно, требуемое разложение в интеграл Фурье суще-
ствует. Для его нахождения вычислим
ограничена, абсолютно интегрируема в бесконечном про-
таким образом, искомым разложением является
Эта формула справедлива для всех значений x, за исключением
двух точках интеграл Фурье принимает значение, равное
12. Интеграл Фурье для нечетных функций
Если функция
функция
значении
Следовательно, в случае нечетной функции
интеграл (52), а для интеграла вида (53) справедливо
нечетная, то нечетной будет и функция
. Поэтому при нечетной
(56)
в нуль обращается при любом
формула (54) приобретает вид
В этих
и четной
- 33 -
0 0
.sinsin)(
2
)( xdtdttfxf
)(xf
.0
,||,
)(
случаепротивномв
lxеслиx
xf
)(xf
)(xf
0 0
sinsin)()(
l
tdtttdttfI
.
sincos
cos
1
cos
1
)(
2
0
0
lll
dttttI
l
l
0
2
.sin
sincos2
)( xd
lll
xf
.lx
lx
Пример 12.1
Разложить в интеграл Фурье нечетную функцию
(57)
, для которой
Рис. 13. График функции
Ясно, что функция
ряет условиям Дирихле там, где это нужно. Переходим к вычислению внутреннего
интеграла в формуле (57)
Интегрируя по частям,
Поэтому
ограничена, абсолютно интегрируема и удовлетво-
.
Эта формула справедлива для всех значений x, за исключением
значение правой части формулы будет вдвое меньше значения ее левой ча-
сти.)
13. Комплексная форма интеграла Фурье
Вернемся к интегральной формуле Фурье (формула (51))
(Для
- 34 -
ddttxtfxf cos)(
2
1
)(
txitxi
eetx
2
1
cos
ddteetfxf
txitxi
)(
4
1
)(
.)(
4
1
)(
4
1
)(
ddtetfddtetfxf
txitxi
z
.)(
2
1
)(
ddtetfxf
txi
)(xf
.,0
,,1
)(
lxдля
lxдля
xf
)()()(
11
txitxi
l
l
txi
l
l
txi
ee
i
e
i
dte
,sin2 l
e
i
eee
xililixi
.
sin1
)(
de
l
xf
xi
2
2
)(
x
exf
и применим к имеющемуся в этой формуле косинусу формулу Эйлера:
(58)
получим
или
Здесь, как нетрудно убедится подстановкой
части, равны друг другу. Поэтому
Полученная формула называется разложением функции
в комплексной форме.
Пример 13.1
Найдем интеграл Фурье в комплексной форме для функции
, интегралы, стоящие в правой
(59)
в интеграл Фурье
В этом случае вычисление внутреннего интеграла в правой части формулы (59)
дает
поэтому формула (59) приобретает в данном случае следующий вид:
Пример 13.2
Разложить функцию
форме.
(рис. 14.) в интеграл Фурье в комплексной
- 35 -
dteedtedtee
ti
t
xi
tixi
t
txi
t
222
222
.
2
22
2
)(
2
1
22
)(
2
1
dteedtee
itxiit
xi
)(I
.lim)(
22
)(
2
1
)(
2
1
A
A
it
A
it
dtedteI
zit
.lim)(
2
2
1
dzeI
iA
iA
z
A
dzeI
d
d
iA
iA
z
A
2
2
1
lim)(
.lim)(
)(
2
1
22
AiA
A
A
eeieI
d
d
.0)(
Id
d
.)( constI
).0()( II
).0(I
,)0(
2
2
dxeI
x
dyeI
y
2
2
)0(
Рис. 14
Вычислим внутренний интеграл в (59) для данной функции:
Последний интеграл является функцией от
. Обозначим его через
числим его.
Сделав подстановку
, мы получим
Продифференцируем это тождество по
является по
равномерной в окрестности любого значения переменной
. В виду того, что сходимость к пределу
ференцирование под знаком предела законно. Поэтому
и вы-
, диф-
.
Дифференцируя интеграл по верхнему и нижнему пределам, получим
Переходя к пределу, будем иметь:
Следовательно, первообразная функция должна быть постоянной:
В частности, должно быть
Вычислим интеграл
Для этого за-
пишем его дважды:
- 36 -
и перемножим почленно эти равенства, в результате
.)0(
2
2
22
222
2
dxdyedyedxeI
yxyx
.22
2
)0(
0
2
2
00
2
2
202
0
2
2
2
22
eddeddeI
.2)0( I
2
2
2
2
1
)(
2
xi
txi
t
edtee
.
2
1
2
2
2
1
2
dee
xi
x
.1||,0
,1||,
)(
3
x
xxx
xf
).2,0(,0
),2,0(,2cos
)(
x
xx
xf
).,0(,0
),,0(,sin
)(
x
xxx
xf
).5,0(,0
),5,0(,sin
)(
x
xx
xf
.2||,0
,2||,4
)(
2
x
xx
xf
.)(
2
1
2
1
)(
dedtetfxf
xiti
)()(
2
1
Fdtetf
ti
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, получим
Откуда
Таким образом,
(60)
и искомым разложением заданной функции в интеграл Фурье является
З а д а ч и
Следующие функции представить интегралом Фурье:
а) в действительной форме; б) в комплексной форме.
20.
22.
24.
21.
23.
14. Преобразование Фурье
Заменив в формуле (59) на
, перепишем ее в следующем виде:
Положим
(61)
тогда, очевидно, будет
- 37 -
).()(
2
1
xfdeF
ti
)(xf
)(F
)(xf
)(xf
)(F
)(xf
)(F
)(xf
.
2
1
)(
2
2
x
exf
,
2
1
)(
2
2
eF
,
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
)(
22
22
dteedteedtetfF
ti
t
ti
t
ti
0x
22
22
2
edte
ti
t
.
2
1
2
2
1
2
1
2
1
)(
2222
2222
eedtedteeF
ti
t
ti
t
)(xf
0 0
,coscos)(
2
)( dxdtttfxf
(62)
О п р е д е л е н и е 4. Переход от функции
формулой (61), называется преобразованием Фурье функции
образованием Фурье функции
переход к функции
Фурье. Также обратным преобразованием Фурье функции
функция
Пример 14.1
Вообще говоря, сами функции имеют мало общего с функциями, которые
являются их преобразованиями Фурье. Одной из немногих функций, совпадающей
со своим преобразованиям Фурье, является
В том, что для этой функции действительно
.
(формула (62)), называется обратным преобразованием
называется сама функция
к функции
, описываемый
. Часто пре-
. Обратный
называется
нетрудно убедиться непосредственными вычислениями. Действительно
пользуясь далее формулой (60), полагая в ней
получим окончательно
14.1 Косинус–преобразование Фурье
Пусть
– четная функция. Вспомним формулу (55):
и заменяя на
,
, т.е.
перепишем ее в виде
- 38 -
0 0
coscos)(
22
)( dxdtttfxf
0
cos)(
2
)( dtttfF
c
0
cos)(
2
)( dxtFxf
c
)(xf
)(
c
F
)(xf
)(xf
0 0
sinsin)(
2
)( xdtdttfxf
0
sin)(
2
)( tdttfF
s
0
sin)(
2
)( xdFxf
s
,)(
x
exf
.0x
)(xf
0
.cos
2
)( tdteF
t
c
.
2
)(
22
c
F
и положим
(63)
Тогда (63) даст
Формула (64) определяет косинус–преобразование Фурье четной функции
приводящее к функции
ции
Для нечетной функции
и по аналогии с предыдущим определить синус-преобразование Фурье
. Формула (65) определяет обратное косинус–преобразование.
14.2 Синус–преобразование Фурье
, также называемой косинус–преобразование функ-
мы можем сослаться на формулу (57)
. (64)
. (65)
и обратное синус–преобразование Фурье
Пример 14.2
Рассмотрим функцию
определенную только для
данную функцию
нечетности, найти как косинус–преобразование этой функции, так и ее синус–
преобразование. Для косинус–преобразования мы имеем
Вычисляя последний интеграл двукратным интегрированием по частям
на область отрицательных значений по четности или по
Последнее означает, что мы можем, продолжая
- 39 -
Аналогично для синус–преобразования этой функции
.
2
)(
22
s
F
).0()(
xexf
x
0
,cos
2
)( udueF
u
c
,
1
1
cos
2
0
udue
u
1
12
)(
2
c
F
.
1
2
)(
2
s
F
xx
ed
x
иed
x
0
2
0
2
1
sin2
1
cos2
.
21
sin
21
cos
0
2
0
2
xx
ed
x
иed
x
).()(
2
1
Fdtetf
ti
.)(
2
1
)(
)(
dtdetfdeF
txixi
Пример 14.3
Найти косинус и синус–преобразования функции
Решение:
так как
то
Аналогично получим
Применяя косинус и синус–преобразования Фурье к функциям
получаем интегралы Лапласа:
15. Спектральная функция
Положим
Тогда
- 40 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]