Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. БАШМАКОВА, И. И. КОРАБЛЁВА,
С. С. ПРАСНИКОВА
РЯДЫ
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
И. Б. БАШМАКОВА, И. И. КОРАБЛЁВА,
С. С. ПРАСНИКОВА
РЯДЫ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2015
1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
1
2
УДК 517.52
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Л. Трескунов (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Кельзон
(ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова)
Башмакова, И. Б.
Ряды: учеб. пособие / И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва,
С. С. Прасникова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 77 с.
ISBN 978-5-9227-0562-2
Даны основные определения и теоремы. Приводится методика решения
задач. Рассмотрены многочисленные примеры. Даны варианты с заданиями
для самостоятельной работы.
Предназначено для самостоятельного изучения раздела «Ряды» студентами ФБФО.
Табл. 1. Ил. 2. Библиогр.: 7 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0562-2
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва,
С. С. Прасникова, 2015
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2015
23
Глава 1. ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. Основные понятия и определения
Представим, что мы находимся на берегу океана, имея в руке
стакан, а рядом пустой сосуд. Зачерпнув из океана стакан воды, переливаем его содержимое в сосуд, затем добавляем полстакана воды,
затем еще четверть, затем восьмую часть и т. д. Вообразите, что эта
работа продолжается вечно. Настанет ли момент, когда лить станет
некуда? Какая емкость достаточна для того, чтобы вместить все порции воды, которые мы вычерпываем описанным способом?
В этом разделе мы покажем, что нам хватит сосуда на два стакана (пример 1.1.6).
А теперь поставим новый эксперимент. Зачерпнем и перельем
в сосуд стакан воды, добавим полстакана, еще треть, затем четверть,
пятую, шестую часть стакана и т. д. Мы докажем, что нет такого сосуда, который не переполнился бы рано или поздно (пример 1.7.1).
Эти два опыта подводят нас к понятию ряда.
До сих пор понятие суммы имело смысл для конечного числа
слагаемых.
Определение суммы ряда – это формализация представления
о том, что должно получиться, если сложить бесконечно много чисел
одно за другим.
Определение 1.1.1. Выражение вида
∞
......
+++++=
∑
k
=kk
1
321
uuuuu
называется числовым рядом, величины
– общий член ряда.
u
k
,1u
Ряд считается заданным, если знаем выражение
… – членами рядаяда;
,3u
,2u
.ku
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
1=a
2
=⋅=++++=
∞==
( )
−−
( )
( )
Пример 1.1.1
∞
...
1
...
2
1
4
2
16
8
1
1
1
1
1
=+++++++
∑
k
.
−−
11
kk
2
=
1
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом
1
.
и знаменателем
=q
Пример 1.1.2
∞
...
1
...
1
4
3
2
6
5
1
1
1
1
1
1
=++++++++
∑
k
.
kk
=
1
Этот ряд называется гармоническим рядом.
Пусть задан ряд
∞
......
+++++=
uuuuu
называют n-й частичной сум-
n
(1)
Числа
∑
k
∑
k
=kk
1
∞
kn
=
1
21
...
321
uuuuS +++==
мой ряда.
Определение 1.1.2. Если последовательность частичных сумм
имеет конечный предел:
n
==
SuS
,limlim
k
то ряд
n
n
∞
u
∑
k
=1k
∑
n
∞→∞→
k
=
1
называют сходящимся, а значение S этого предела –
суммой ряда.
Если
n
не существует или равен бесконечности, то ряд
n
∞→
S
lim
называют расходящимся, суммы он не имеет.
45
Пример 1.1.3
=⋅=++++=
∞==
( )
−−
( )
( )
∞
Ряд
∑
=
1
k
суммы равны 0.
Пример 1.1.4
∞
Ряд
∑
=
1
k
n
Пример 1.1.5
∞
Ряд
∑
=
1
k
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
сходится к 0, так как все частичные
+++=
...0000
расходится, так как
+++=
...1111
и
nnS
11...111
k
−+−+−=−
...111111
n
∞→∞→
n
n
.limlim
nS
Для него
=
S
n
Последовательность
нечетноn
четноn
−
не имеет ни конечного, ни бесконечно-
S
n
;,1
.,0
го предела, поэтому ряд расходится и, более того, не имеет суммы.
Пример 1.1.6
Рассмотрим геометрическую прогрессию
∞
∑
k
1
−
k
1
=
n
12
−
k
......
+++++=
aqaqaqaaq
132 −
n
(2)
+++++=
....
aqaqaqaqaS
Умножим почленно равенство (2) на знаменатель прогрессии q:
n
432 n
....
aqaqaqaqaqqS +++++=
Вычтем почленно полученное равенство из (2):
n
;
nn
n
aqaqSS −=−
n
.11
qaqS −=−
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( ) ( )
2
2
∞=
,1=q
( )
,1−=q
( )
( )
mn >
∞→n
Таким образом,
n
qa
−
S
=
n
11q
.
−
a
limlim
S −
=
n
n
n
1
1
−
q
q
a
n
=−
n
1
∞→∞→∞→
q
−
Здесь возможны четыре случая:
1. Если
,1<q то
сходится и его сумма
S−=
q
∞→nn
и
lim
S
0lim =
n
a
.
=
n
∞→
1 q
∞
Значит, ряд из примера 1.1.1
и его сумма равна
=S
1
−
2. Если ,1>q то
3. Если
∞
∑
1
k
=
4. Если
k
то получим ряд из примера 1.1.4
aa
то из примера 1.1.5 получаем расходящийся ряд.
1
.2
=
1
qlim
∞→nn
+++=⋅
и
∞=
,...1111
который тоже расходится.
∑
n
1
1
n
2
=−1
S
∞→nn
Следовательно, геометрическая прогрессия
n
.1lim
q
∞
∑
=−11n
1
−
a
q
т. е. ряд
,
сходится, так как
,lim
т. е. ряд расходится.ся.
∞
k
сходится при
aq
∑
=−11k
aq
n
1
=q
,1<q и ее сумма
a
S−=
.
1 q
67
( )
( )
mn >
∞→n
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Пример 1.1.7
∞
1
Исследуем ряд
∑
k
=
1
.
1
+
kk
Так как
n
S
=
n
1
∑∑
k
−+
+
11
= =
11
+
1
n
1
k
1
−=
1
nnn
+
11
−=
kkkk
+
→
n
∞→
1
−=
1
1
,1
1
1
2
2
то ряд сходится и его сумма равна единице.
1.2. Частичный остаток ряда. Необходимый признак
сходимости рядов
∞
Определение 1.2.1. Ряд
∞
остатком ряда
∑
=1k
Теорема 1.2.1. Ряд
(отброшены первые m слагаемых).
u
k
∞
и любой его остаток сходятся или
u
∑
k
=1k
называется m-м частичным
u
∑
k
+= 1mk
расходятся одновременно.
1
−+
3
−+
4
3
++
...
1
1
Доказательство. При всех
При
n
∑∑ ∑
k
= = +=
11 1
предел обеих частей равенства (3) существует или не
m
k
n
+=
uuu
.
(3)
kkk
mk
существует одновременно, т. е. сходимость рядов
равносильна.
∞
∑
∞
и
u
k
=1k
∑
u
k
+= 1mk
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
=
( )
3
2
n
n
3
2
n
3
2
n
nnnnn
( )
( )
=
( )
n
=
Su
n
k
∞→
k
1∑=
Например, если сходится ряд
∞
то суще ствуе т
,
u
∑
k
=k
1
и, переходя к пределу в равенстве (3), получим
n
n
k
∞→
k
=
m
+=
n
k
∞→
k
=
n
,limlimlim
uuu
∑∑∑
n
∞→
k
mk
111
+=
или
n
∑∑
n
∞→
mk
11
+= =
m
′
=−=
.lim
SuSu
kk
k
Следовательно, остаток ряда сходится.
Аналогично доказывается обратное утверждение (из сходимости остатка следует сходимость ряда), а также одновременная расходимость ряда и его остатка.
Теорема 1.2.2 (необходимый признак сходимости рядов)
∞
.0lim
Если ряд
сходится, то
u
∑
k
=1k
Доказательство. Если ряд
u
∞→nn
сходится, то
u
∑
k
=nk
1
n
=
Su
∑
n
∞→
k
=
1
.lim
k
,lim
1
n
n
n
∑∑
∞→∞→
n
1
=
k
Пример 1.2.1. Рассмотрим ряд
Его общий член
−
n
−=
1
kk
∞→
n
1
=
k
1
1 +++++
т. е. необходимое условие выполнено,
,0
∞→→n
1
−
nn
1
...
=−=−=
SSSSuuu
1
.0limlimlim
...
но ряд, тем не менее, является расходящимся. Покажем это.
Составим n-ю частичную сумму
S
n
1
1
...
++++=
1
введем в рассмотрение вспомогательную сумму с меньшими
слагаемыми
89
1
,
3
2
n
nnnnn
( )
( )
=
( )
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
1
1
1 n
S
n
n
n
n
...
т. е. ряд расходится.
,limlim ∞=>
nS
∞→∞→
1111
...
11
n
==++++>++++=
Замечание 1.2.1. Таким образом, стремление к нулю общего
члена ряда не является достаточным условием сходимости ряда.
Теорему 1.2.2 обычно используют для доказательства расходи-
мости ряда, общий член которого не стремится к нулю.
Пример 1.2.2. Рассмотрим ряд
3
n
+
Так как
13
n
lim =
+
=
45
n
+
lim
nn
∞→∞→
5
+
n
∞
∑
=
k
1
n
4
n
13
+
k
.
45
+
k
1
3
,
то данный ряд расходитс я.
5
1.3. Арифметические операции со сходящимися рядами
.
Теорема 1.3.1. Если ряды
ственные числа, то ряд
∞
∑∑
11
kk
=
∞
±
.
vbua
kk
=
∞
∑
∞
∑
=1k
±
1k
=
∞
и
u
k
∑
сходится и
bvau
kk
сходятся, a и b – веще-е-
v
k
=1k
∞
∑
=
1
k
bvau
kk
Доказательство. Теорема будет доказа на, если перейт и к пред е л у
в равенстве для частичных сумм
∞
=
k
∞
∑∑∑
kk
=
111
kk
∞
±=±
.
vbuabvau
kk
=
Таким образом, мы доказали, что сходящиеся ряды можно по-
членно складывать (или вычитать), при этом получается сходящийся
=±
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]