Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
0 1 2
3 y x
Рис. 1
n
n – 1
n + 1
( )
=
1=x
,nx =
( ) ( )
11
( )
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
1=x
,1+= nx
( )
1
( ) ( )
11
∞=
( )
1
( )
1
( )
( )n( )
x
( )
( )
11
,0>p
1≠p
( )
n
( )
x
( )
A
()
xfy =
Получившаяся суммарная площадь меньше площади криволи-
нейной трапеции, ограниченной кривой
ми
и
n
т. е.
n
1
∞
<<− dxxfdxxfuS
∫∫
,
так как
осью 0х и прямы-
,xfy
.0>xf
Если несобственный интеграл
значение, т. е. сходится), то
сходимости (лемма 1.4.1) ряд
2. Найдем теперь сумму площадей описанных прямоугольников.
В данном случае суммарная площадь больше площади
криволинейной трапеции, ограниченной
прямыми
и
n+<1
∞
u
∑
n
=1n
значит, ,
20 21
∞
∫
MuS
сходится.
∞
>
n
∫
(имеет конечноее
Mdxxf =
и по общему условию
....111...1211
21 nn
осью 0х и прямыми
,xfy
Suuunfnfff =+++=⋅+⋅−++⋅+⋅
.dxxfS
( ) ( )
11
∞=
( )
1
( )
1
( )
( )
n
( )
x
( )
( )
11
,0>p 1≠p
( )
n
( )
x
( )
A
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
lim
n
+
1
n
(расходится), то
∞==
dxxfdxxf
∫∫
∞→
∞
при применении призна-
dxxf
∫
Slim
∞→nn
∞
Если
∞
и ряд
расходится.
u
∑
n
=1n
Замечание 1.7.1. В интеграле
ка Ко ш и м о жн о зам ен ять н ижн ий п редел, равн ы й 1, лю бы м число м
∞
большим единиц, так как интегралы
∫
и расходятся одновременно.
Пример 1.7.1. Вновь рассмотрим гармонический ряд
Здесь
∞
dx
x
Ряд
∑
n
nf =
∞
1
расходится.
n
=1
A
∫∫
∞→
поэтому
dx
x
1
,
Пример 1.7.2. Ряд
AA
∞
1
,
∑
p
n
=n
1
xf =
A
1
A
1
,
тогдада
∞→∞→
Ax
.
∞
и
dxxf
∫
a
∞=−===
dxxf
.1lnlnlimlnlimlim
сходятсяся
∞
1
.
∑
n
=n
1
a,
Здесь имеем
∞
dx
p
A
x
lim
=
A
∞→
1
∞→
1
p
−
1
nf =
A
p
−
dxx
∫∫
11
,
p
x
limlim
==
A
∞←
1
p
−
A
1
=−
xf =
p
p
+−
,1
1
.
p
A
1
+−
=
1
1
1
p
−
Ap
p
1
−
Ap
,,1
∞→<
A
∞→
1
p
1
−
.0
→=>
A
∞→
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
,1<p
,1>p
( ) ( )
x
n
( )
2
( ) ( )
ln
ln
xx
nn
2ln2
( )
,12 >=p
n
1000
n
.1000=n
1.
( )
∑
++
.
1414
1
nn
2.
∑
.
ln1nn
3.
∑
+.4
1
n
4.
∑
5.
∑
6.
∑
∞
=
12n
∞
Если
Если
ряд
ряд
Пример 1.7.3. Ряд
nf =→=
n
∑
∑
1
p
n
1
∞
1
p
n
1
∞
∑
=2
n
xf
расходится.
сходится.
ln
n
.
n
lnln
x
,
∞
ln
x
x
∞
Ряд
∑
=2
n
Пример 1.7.4. Ряд
nf =→=
∞
dx
3
ln
2
1
=
2
значит, ряд
ln
n
расходится.
n
1
lim
A
xx
,
∑
A
limlnlnlim
∞
∑
2
xf
xd
ln
==
3
x
сходится.
3
xxddx
AA
1
.
3
ln
nn
1
,
33
ln
lim
∞→∞→
A
−
22 23
∫∫
22
A
∫∫
ln
2
∞
ln1nn
2
A
2
ln
x
2
A
2
−
x
lim
2
A
2
lim
A
∞→
1
∞→∞→∞→
2
1
ln2
22
A
1
+−=
x
.2lnln
∞=−===
=
22
2ln2
( )
,12 >=p
n
1000
n
.1000=n
1.
( )
∑
++
.
1414
1
nn
2.
∑
.
ln
1
nn
3.
∑
+
.
4
1
n
4.
∑
5.
∑
6.
∑
∞
=+1
2
n
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Замечание 1.7.2. Оценить остаток сходящегося ряда, удовлетворяющего признаку Коши, можно аналогично доказательству п. 1
теоремы 1.7.1, опираясь на рис. 1.
∞
nnn
++
<++=
21
Пример 1.7.5. Оценить n-й частичный остаток ряда
Так как
то этот ряд сходится (пример 1.7.2).
dxxfuur ....
∫
n
∞
1
.
∑
2
n
n
=1
Оценим его n-й остаток:
A
1
−=<
n
lim
A
+−=
∞→∞→
111
,
=
nnAx
r
n
rn<
∞
dx
∫
n
1
lim
2
A
x
.
Этой оценкой можно воспользоваться при решении вопроса,
сколько членов данного ряда нужно взять, чтобы приближенно найти
его сумму с абсолютной ошибкой, не превосходящей 0,001. Итак,
1
<
r
n
,
но так как
rn<
1
,
то о
Таким образом, при нахождении приближенной суммы ряда
∞
1
∑
с точностью до 0,001 надо взять первую 1000 членов ряда.
2
n
=1
n
Примеры для самостоятельного решения
∞
1
n
=
2
∞
ln
n
.
n
n
=2
∞
n
=2
∞
n
ln
.
n
n
=2
∞
1
n
=
2
n
.
n
1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
=
( )
( )
1.8. Некоторые рекомендации для эффективного
использования признаков сходимости
Приведенные выше признаки сходимости положительных рядов позволяют судить о том, сходится или расходится ряд (отметим,
что есть много других признаков, которые можно найти в учебниках
по высшей математике [1, 2, 3]), но не решают вопрос о сумме,
к которой сходится ряд. Саму сумму редко ищут по определению:
,lim SS
а находят другие способы, например, используя разложе-
n
n
∞→
ние элементарных функций в степенные ряды (глава 3) или тригонометрические ряды.
В справочниках по математике [7] можно найти таблицы сумм
некоторых числовых рядов.
Предложим некоторые рекомендации по использованию доказанных признаков (таблица).
Название
признака
Признак
Даламбера
Формулировка
признака
D
,1
<
D
∑
∑
→=
∞
u
n
=1n
∞
u
n
=1n
D
,.11
>
D
=
– сход.
– расход.
u
1
+
n
lim
∞→
n
u
n
D < 1, тогда
D > 1, тогда
D = 1 (признак Даламбера
ответа о сходимости ряда
не дает)
24 25
К каким рядам
предпочтительнее
применять
Следует применять к рядам,
содержащим показательную
функцию a
n
и факториал n!
Окончание таблицы
( )
( )
Название
признака
Интегральный
признак Коши
Формулировка
∞
∑
n
=nn
(невозрастающая).
∞
()
dxxf
∫
1
=
Предельный
признак
сравнения
Если
то ряды
сходятся или расходятся
одновременно
∞→
n
∑
Пример 1.8.1. К рядам вида
∞
∑
n
n
∞
5
;
n
!
=1
∑
n
!2
;
n
10
=n
1
∞
∑
n
2
n
+
n
=
1
признака
()
unfu
=
∞
u
∑
n
=
1
n
∞
−→∞
u
∑
n
=
1
n
U
n
V
n
∞
и
U
n
=1n
+
5
;
∑
!1
n
01>=→
−→
сход.const
расход.
∞
V
∑
n
=1n
3
∞
n
7
=
1
,0constlim ≠=
n
∞
a
;
∑
n
!
=1
n
+
3
следует применять признак
n
К каким рядам
предпочтительнее
применять
Интегральный признак
применять сложно по
объективным причинам
(неберущийся интеграл)
и по субъективным. Но если
ряд содержит
постарайтесь его вычислить
Сравнивать можно ряды,
содержащие степенные
a
∞
=
n
1
, с рядом
n
2
;
2
+
1
функции n
∑
n
Даламбера.
Пример 1.8.2. Интегральный признак Коши можно применять
к рядам вида
∞
∑
3
1
;
lnlnln
nnn
∞
∑
∑
=n
∞
1
2
1
+nn
=
1
1
p
ln
nn
2
;
.
∞
∑
n
∞
n
n
;
2
1
+
n
=
1
∑
n
=2
ln
;
n
,ln n
∞
∑
n
то
=
1
∞
∑
∞
1
∑
p
n
=1
n
+
n
32
;
n
4
1
;
3
ln
=n
nn
2
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( )
( )
( )
n
2
2
+
+
n
nn
nn
5
5
+
+
n
n
n
n
( )
( )
α
α
αsin
α
.0→α
αtg
α
.0→α
2
2nnn
Пример 1.8.3. На предельном признаке сравнения остановимся
подробнее.
∞
∑
n
n
Признак Даламбера не работает, так как
.
3
2
+
n
=
1
3
nn
21
++
1
=
3
21
++
(в числителе самая высокая степень
nn
Ряд
lim
n
∞→
с коэффициентом 1 и в знаменателе то же самое).
Интегральный признак можно применить, но эта задача не из
легких. Приходит на помощь признак сравнения.
Покажем, что этот ряд сходится, сравнив его со сходящимся рядом
∞
1
. Действительно,
∑
2
n
=1
n
3
n
1
lim
:
=
23
Отметим, что ряд
lim
nn
∞→∞→
∑
n
n
3
∞
1
2
n
=1
.1
=
выбран для сравнения не случайно.
В исходном ряду нашли отношение самых высоких степеней числителя
4
n
и знаменателя
Пример 1.8.4. Ряд
1
=
.
23
∞
n
∑
n
=
1
расходится, так как он сравним (по
2
+
5
n
самым высоким степеням числителя и знаменателя) с рядом
который расходится (пример 1.7.2):
2
lim
n
1
:
2
=
lim
nn
n
2
∞→∞→
.1
=
26 27
∑
n
∞
1
,
n
=1
Пример 1.8.5. Ряд
n
( )
( )
α
α
αsin
.0→α
αtg
α
.0→α
2
2
n
nn
сравнить с рядом
∞
∑
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
+
23
∑
n
2
1
.
Покажем это:
3
2
1
=n
сходится, так как его можно
++
145
nn
3
23
nn
lim
+
2
nn
++
Пример 1.8.6. Ряд
со сходящимся рядом
2
lim
=
nn
145
∞
∑
=1
n
∞
∑
n
=n
1
sin
1
2
2
∞→∞→
1
2
n
.
3
2
2
23
nn
+
nn
3
.
=
5
145
++
сходится, так как его можно сравнить
Применяем признак сравнения, воспользуемся замечательным
пределом
lim
→α
sin
0
или заменой эквивалентных малых:
1
=
~α при
1
sinlim
Пример 1.8.7. Ряд
ряд для сравнения
1
:
∞
∑
=1
n
1
lim
nn
∞
∑
=
1
n
1
расходится, а
∞→∞→
tg
n
222
nnn
π
n
n
2
.1
=⋅=
расходится, так как выбранный
2
+
~
при
Имеем
π
tglim π=
1
=
:
+
lim
nn
π
n
∞→∞→
+
.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
α
,0→α
1.
.
3
sin
∑
π
n
2.
∑
3.
( )( )
∑
++
.
4213
1
nn
4.
∑
∞
=1
n
5.
∑
( ) ( )
...,2,1=k
>>>>
...,,2,1=n
( )
( )
( )
( )
( )
21222324321
=−
mmmm
( ) ( ) ( )
<−−−−−−−−=
=
Пример 1.8.8. Ряд
при
и для сравнения можно выбрать расходящийся ряд
∞
1
n
=
arcsin
∞
∑
n
=
1
2
расходится, так как
+
1ln
n
Примеры для самостоятельного решения
n
∞
3
.
n
⋅
n
2
=
1
n
3
1
.
n
∞
n
.
4
+nn
5
1
=
∞
1
n
=
~
α+1ln
∞
1
.
∑
n
=n
1
28 29
Глава 2. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
( ) ( )
...,2,1=k
>>>>
...,,2,1=n
( )
( )
( )
( )
( )
21222324321
=−
mmmm
( ) ( ) ( )
<−−−−−−−−=
=
2.1. Признак Лейбница
Определение 2.1.1. Знакочередующимся рядом называется ряд
вида
∑
k
∞
1
=
1
−
k
1
k
432
1
−
n
...,1...1
+−++−+−=−
uuuuuu
n
где
u
k
для всех
0>
Теорема 2.1.1 (признак Лейбница сходимости знакочередую-
щегося ряда)
Пусть:
1)
u
∞→nn
;0lim =
2) абсолютные значения членов ряда монотонно убывают, т. е.
,...
uuuu
121 +
nn
тогда знакочередующийся ряд
∑
k
∞
=
−
1
k
−
1
1
сходится.
u
k
Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных
сумм ряда
∞
∑
k
1
=
1
k
−
−
1
с четными номерами. С одной стороны, она
u
k
возрастает, поскольку
SS
122
mm
−
...
−−−
−−−
−−+−++−+−=
uuuuuuuu
21222324321
mmmm
>−=−++−+−−
uuuuuuuu
и ограничена сверху, так как
−−
Поэтому она имеет предел:
m
∞→
2SSm
,lim
но тогда
,0...
....
uuuuuuuuuS
121222543212
mmmm
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]