Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
>
>
<<<<
,0>M
≤
>
...,,2,1=k
≤
,0>M
≤
1...,,3,2,1 −= nk
112211nn
ряд, а также члены сходящегося ряда можно умножать на одно и то
же число, при этом получается сходящийся ряд, сумма которого равна произведению данного ряда на данное число.
1.4. Положительные ряды. Признаки сравнения
сходимости положительных рядов
∞
Рассмотрим ряд
∑
k
где
,
u
k
=1
u
k
для всех х k.
0
Лемма 1.4.1 (общее условие сходимости положительных
рядов)
∞
Сходимость ряда
∑
где
u
,
u
k
1
=k
равносильна ограниченнос-
,0
k
ти сверху последовательности его частичных сумм.
Доказательство. Очевидно, что последовательность частичных
сумм положительного ряда является монотонно возрастающей, т. е.
...,...
321 n
SSSS
Из теории пределов известно, что монотонно возрастающая пос-
ледовательность имеет предел тогда и только тогда, если она огра-
ничена сверху, т. е. существует такое число
что
для
MS
n
всех n.
На основе этого общего условия будут получены практически
эффективные признаки сходимости положительных рядов.
Теорема 1.4.1 (первый признак сравнения сходимости
положительных рядов)
Пусть
vu
kk
для всех
0,
пусть
тогда следуетует
,kkvu
рассмотреть два варианта:
1. Если ряд
∞
(с бóльшими членами) сходится, то и ряд
v
∑
k
=1k
∞
∑
u
=1k
(с меньшими членами) сходится.
k
10 11
,0>M
≤
1...,,3,2,1 −= nk
1
1
2
2
11
n
n
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
∞
расходится.
v
∑
k
=1k
2. Если ряд
∞
расходится, то и ряд
u
∑
k
=1k
Доказательство
∞
1. Пусть ряд
сходимости существует такое число
n
так как
≤=
MvS
∑
k
=
1
;
kn
частичные суммы ряда
2. Пусть ряд
v
сходится. Согласно общему признакуу
∑
k
=1k
n
,kkvu
то о
∞
u
∑
k
=1k
∞
расходится. В этом случае ряд
u
∑
k
=1k
k
ограничены, ряд сходится.
n
∑∑
k
k
11
==
что частичная суммаа
Таким образом,
.
≤≤
Mvu
k
∞
такжее
v
∑
k
=1k
расходится, ибо если он будет сходиться, то по доказанному выше будет
∞
сходиться и ряд
что противоречит условию признака.
,
u
∑
k
=k
1
Теорема 1.4.2 (второй признак сравнения сходимости
положительных рядов)
Если члены рядов
u
∑
v
k
u
k
∞
u
=k
1
11kk
++
то из сходимости ряда
,
≤
v
,
а из расходимости ряда
k
Доказательство
∞
∑
u
=1k
∑
∞
и
k
∞
u
k
=1k
связаны зависимостью
v
∑
k
=1k
∞
v
∑
следует сходимость ряда
k
=1k
следует расходимость ряда
∑
k
∞
v
=1
.
k
1. Из условия
u
2
неравенства
≤
u
u
u
v
2
3
,
v
u
v
k
u
k
11 ++
v
k
,
… ,
при
u
n
u
v
n
.
≤
v
−−
≤
k
v
3
≤
v
получим
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
12
34231
12
34231
n
n
n
n
11
1
1
...,2,1=k
( )
k
ε
( )
ε=
Nk >
k
k
( )
=ε−
( )
=ε+
<<
.Nk >
Перемножим эти неравенства почленно:
v
u
u
2
u
−
1
n
u
u
uuuuu
v
2
n
≤
−−
v
−
1
n
n
......
vvvvv
v
v
−−
или
v
u
nn
.
≤
v
u
Отсюда
u =≤
Предположим, что ряд
∞
сходится и ряд
∑
k
=1
нения и условию
2. Пусть ряд
u
1
v
,
vbv
где
nnn
∞
∑
=1k
,
bv
что в свою очередь по первому признаку срав-
k
приводит к тому, что ряд
bvu ≤
nn
∞
расходится. Тогда ряд
u
∑
k
=1k
u
1
.
b =
v
сходится, тогда по теореме 1.3.1
v
k
∞
u
∑
=1k
∞
тоже расходится,
v
∑
k
=1k
ведь если он будет сходиться, то будет сходиться и ряд
∞
доказанному в п. 1 будет сходиться и ряд
что противоречит
,
u
∑
k
=1
k
условию.
Теорема 1.4.3 (признак сравнения в предельной форме)
k
Пусть
u
k
v
u
,0>
k
,,0lim ∞∈=∞→l
тогда ряды
при всех х
0>kv
∞
u
∑
k
=1k
и
и существуетт
∞
v
сходятся или расходятся
∑
k
=1k
одновременно.
сходится.
k
∞
,
bv
∑
k
=1
k
а по
12 13
ε
( )
ε=
Nk >
k
k
( )
=ε−
( )
=ε+
<<
.Nk >
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Доказательство. По определению предела последовательнос-
ти для любого сколь угодно малого положительного
такое натуральное число
,
NN что для всех
существует
выполняетсяся
неравенство
u
k
v
k
ε<−l
, или
u
k
v
Умножим последнее неравенство на
получим
,bl
∞
1. Пусть ряд
∞
,
bv
∑
k
=1
k
а по теореме 1.2.1 сходится и его остаток
сходится, тогда по теореме 1.3.1 сходится ряд
v
∑
k
=1k
ε<−<ε− l
, или
bvuav
l
,
kkk
u
k
.ε+<<ε− l
v
и заменим:
v
k
(4)
∞
bv .
∑
k
=Nk
Учитывая правую часть неравенства (4) и первый признак срав-
нения (теорему 1.4.1), получаем, что сходится остаток ряда
∞
.
а вместе с ним и сам ряд
2. Если сходится ряд
∞
ряда
следует повторить рассуждения п. 1 и воспользоваться
v
∑
k
=1k
∑
k
u
k
=1
∞
,
u
то для доказательства сходимости
∑
k
=1
k
левой частью неравенства (4).
3. При доказательстве одновременной расходимости рядов
∞
и
следует провести доказательство от противного, как это сдела-
v
∑
k
=1k
но в п. 2 доказательства теорем 1.4.1 и 1.4.2.
∞
∑
=Nk
∑
,al
u ,
k
∞
u
k
=1k
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( )
,2>a
kk
>
...,,2,1=k
[
)
∞∈
,1>D
,1<D
,1=D
,1>D
>
,Nn ≥
≠
.1<D
ε
( )
ε=
Nn >
n
2
−
+
−
n
.Nn >
n
,Nn >
3
3
Пример 1.4.1
1
∞
∑
k
=
∞
Ряд
1
+11
kk
так как
1
сходится, так как
∑
2
k
k
=1
lim
сходится (пример 1.1.7). Тем более сходится ряд
11
≤
(теорема 1.4.1).
2
a
2
k
1
+
lim
=
kk
1
kk
1
+
k
∞→∞→
k
=
∞
∑
k
=1
и ряд
1
1
a
k
при
1.5. Признак Даламбера сходимости положительных рядов
Теорема 1.5.1. Пусть
u
1
+
n
∞→
n
u
n
,lim
D
=
D
1. Если
2. Если
3. Если
u
.,0
∞
то ряд
то ряд
∑
=1k
∞
∑
=1k
то ряд может сходиться, а может расходиться.
,0
k
расходится.
u
k
сходится.
u
k
и существует пределел
Доказательство
1. Пусть
u
+nn
т. е.
,11>
u
Следовательно,
тогда найдется такой номер N, начиная с которогоо
.
uu
1 nn
+
при всех
0>≥Nnuu
т. е.
u
∞→nn
необходимому признаку сходимости (замечание 1.2.1) ряд
расходится.
, и по
0lim
∞
∑
u
k
=1k
14 15
.1<D
ε
( )
ε=
Nn >
n
2
−
+
−
n
.Nn >
n
,Nn >
3
3
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
2. Пусть
По определению предела последовательности для любого сколь
угодно малого положительного
для всех
u
n 1
u
n
выполняется неравенствоо
ε<−+D
можно указать такое
или
u
+
D
n
u
.1ε+<<ε−
D
(5)
чтоо
,
NN
D
=ε
+<
1 D
тогда из правой части неравенства (5)
,
1
1
DD
=
2
2
<=
q
для всех
1
Выберем
получим
u
1
+
n
u
Представим q как отношение двух соседних слагаемых
сходящейся геометрической прогрессии
∞
∑
aq
=1k
u
n
+
n
u
и применим теорему 1.4.2 (второй признак сравнения), чтоо
∞
позволит говорить о сходимости остатка ряда
∞
и самого ряда
∑
k
.
u
k
=1
а вместе с ним
u ,
∑
k
=Nk
Пример 1.5.1
Рассмотрим ряд
1
3
3
3
...
432
3
3
4
3
2
...
∞
nn
∑
n
;
nn
3
=
1
=++++++
n
aq
aq
,
11−
n
=<
q
n
u =
n
u
;
+
n
n
1
+
n
=
.
11+
n
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
∞
∞
1
+=n
( )
+
( )
( )
( )
+
n
,15 >=D
( ) ( )
!n
!....321 nn =⋅⋅⋅⋅
,1!0
=
( )
−=
( )
+
( )
( )( ) ( )
+
++
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
′
( )
( )
( )
Применим признак Даламбера:
1
n
1
+
lim
nn
∞→∞→
n
1
n
.1
<=
3
Ряд
∑
n
n
∞
=1
u
1
+
n
∞→
u
n
n
сходится.
n
3
n
limlim
=
∞→
n
n
+
+
n
=
1
n
n
1331
lim
3
11
+
=
n
3
Заметим, что при раскрытии неопределенности вида
можно
пользоваться правилом Лопиталя (нахождение производной в числителе и знаменателе) или сравнивать слагаемые числителя и знаменателя с самой высокой степенью.
Пример 1.5.2. Рассмотрим ряд
nn
∞
5
+
u
25
+
11
5
n
2
125
+
+
12
n
u
;
n
625
+
+
13
1
+
+
14
1
n
5
=
2
n
5
...
++
...
+
1
.
11
++
5
=+
∑
=
1
n
,
22222
+
nn
1
Признак Даламбера:
lim
n
n
1
5
∞→
2
n
11
++
1
+
n
5
lim5
=
∞→
n
22
nn
1
+
2
nn
+++
(так как в чис-
5
=
112
лителе и знаменателе одинаковые слагаемые с самой высокой степе-
2
нью
).
Так как
то ряд
∞
∑
n
n
5
расходится.
2
+
1
n
=
1
Пример 1.5.3. Рассмотрим ряд
...
∞
=+
∑
=
n
3
7
...
++++
!4
!35!2
12
+
n
!1
+
n
12
+
n
.
!1
+
n
1
Определение 1.5.1. Факториалом целого положительного числа
n (обозначается
) называется произведение
16 17
,1!0
=
( )
( )
+
( )
( )( ) ( )
+
++
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
′
( )
( )
( )
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
,1!1
=
,21!2
⋅=
.54321!5
⋅⋅⋅⋅=
Основное свойство факториала:
!.1!−=nnn
Применим признак Даламбера к ряду в примере 1.5.3:
n
=
u
n
u
∞→
n
;
u
+
n
!112+
n
1
+
n
=
limlim
u
n
=
lim
n
=
1
n
+
n
32
++
nn
112
=
!11
++
++
!132
nn
=
lim
nn
++
12!2
nn
∞
=
∞
122
32
n
;
!2
+
n
∞→∞→
+
=
lim
nn
n
2
∞→∞→
Применим правило Лопиталя:
lim
Ряд
∑
n
+
2
nn
∞
+
12
n
+
n
=
1
=
′
252
++
сходится.
!1
nn
lim
2
∞→∞→
n
2
=
54
∞
+
.10
<=
32
n
Замечание 1.5.1. В примере 1.2.1 мы показали, что ряд
∞
расходится, а в примере 1.4.1 – что ряд
1
сходится. Но в томм
∑
2
n
=1
n
и другом случае
++
!132
nn
32
++
nn
252
=
+++
122!1
nnn
.
∞
1
∑
n
=1
n
u
+
n
1
liml im
=
n
u
n
u
1
+
n
limlim
=
n
u
n
1
n
,1
∞→
n
+
1
∞→
n
+
=
1
1
2
n
=
2
1
1
.1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
54
53
52
51
⋅
⋅
⋅
⋅
!69!4
!2
81
27
9
3
5
5
5
73
72
71
n
,0>ε
( )
ε=>
,1<=ε+ qD
Nn >
( )
>
( )
>≥≥≥≥≥
( )
=
( )
1
( )
( )
,
nx =
( ) ( ) ( )
−=+++=⋅++⋅+⋅
1
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда,
что иллюстрирует п. 3 теоремы 1.5.1.
Примеры для самостоятельного решения
Найти общий член и исследовать сходимость ряда.
1
1.
+
5
1
2.
4
1
3.
4
1
4.
1
5.
+
⋅
1.6. Оценка частичного остатка сходящегося
положительного ряда, удовлетворяющего условиям
Пусть ряд
Даламбера, т. е.
1
...
...
+
4232222
+
+
432
...
16
7
642
1
+
...
++++
...
+++
1
+
⋅
1
+++
9
1
⋅
сходимости признака Даламбера
∞
удовлетворяет условиям сходимости признакаа
u
∑
k
=1k
u
n
1<=+
n
∞→
u
n
D
.1lim
По определению предела последовательности
– любое сколь угодно малое число,
для всех
u
n
,1ε+<+D
где
u
и неравенство выполнено
.
NNn
18 19
,1<=ε+ qD
Nn >
( )
>
( )
>≥≥≥≥≥
( )
=
( )
1
( )
( )
,
nx =
( ) ( ) ( )
−=+++=⋅++⋅+⋅
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Выберем такое, что
тогда для всех
выполняются неравенства
u
n
1
+
u
n
1
+
≤<
++
12
Следовательно, n-й
,
quuq
≤→≤
nn
2
...
ququu
nnn
частичный остаток данного сходя-
Nn
щегося ряда
32
......
21
++
2
...1
q
uqqqu
=+++=
nn
1
q
−
quququuur
nnnnnn
.
=+++≤++=
1.7. Интегральный признак сходимости Коши
∞
Теорема 1.7.1. Если члены ряда
растают, т. е.
uuuu
121
+nn
положительны и не воз-
u
∑
n
=1n
,0......
n
то рядяд
,nfu
∞
∑
u
=1n
сходится или расходится, смотря по тому, имеет ли интеграл
n
∞
dxxf
∫
конечное значение или равен бесконечности.
Доказательство
1. Так как
ложительную, невозрастающую функцию
целых значениях
Сумма площадей вписанных (заштрихованных) прямоугольников
равна
т. е. n-й частичной сумме
, то всегда можно найти непрерывную, по-
nfun=
(рис. 1), которая при
xf
принимает значения
без первого слагаемого
S
n
.nu
,...1...1312
uSuuunfff
132
nn
.1u
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]