Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
.10
<⋅=
x
.∞=R
( )
( )
!7!5!3!1
( )
!6!4!2
( )
!7!5!3!1
( ) ( )
′′
−=
( ) ( )
′′
( )
0=x
( )
0
=
′
x
( )
.01
k
1−=2
=
( )1( )
2
( )
+=
1
2
( )
0
x
( )
0′x
( )
21
′
( )
=
( )
( )
( )
∞+∞−∈
!7!5!3!1
!6!4!2
Это выражение называется разложением показательной
функции в степенной ряд (справедливо для всех x).
Пример 3.4.2. Найти сумму степенного ряда
12753
+
n
xxxxx
...
++−+−
!7!5!3!1
n
...
+
!12
+
Установим сначала область сходимости ряда.
12
+
n
Рассмотрим ряд из абсолютных величин. Здесь
32
+
n
x
=
u
1
+
n
.
+
n
!32
u
x
=
n
+
n
По признаку Даламбера
+
n
u
+
n
1
limlim
=
∞→
n
2
n
u
n
32
∞→
+
!12
nx
+
n
!32
xn
2
lim
x
=
+
12
∞→
n
!12
n
+
=
3222!12
nnn
+++
;
!12
получим
Ряд сходится на всей числовой оси, и
Пусть
xS
– сумма ряда, т. е.
xS
753
xxxx
+−+−=
...
Продифференцируем это выражение дважды (свойство 3),
642
xxx
...,
+−+−=
753
xxxx
...
++−+−=
.xSxS
50 51
Видим, что
′
xS
′′
xS
1
Тогда
( ) ( )
( )
0
=
x
( )
0
=
′
x
( )
.01
k
−=
=
( )
1
( )
( )
+=
1
2
( )
x
( )
′
x
( )
21
′
( )
=
( )
( )
( )
∞+∞−∈
!7!5!3!1
!6!4!2
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
,0
xS
=
.1
=
Относительно
xS
и
0=+′′xSxS
получили однородное уравнение второгоо
xS
порядка с постоянными коэффициентами.
Запишем для него характеристическое уравнение:
Корни уравнения чисто мнимые:
примут вид
=
и
xxS cos
,1ik
Тогда частные решения
.2ik
.sin2xxS =
Общим решением уравнения будет функция
,sinc os
xCxCxS
21
где
и
C
Определим эти постоянные из условий
Следовательно,
– произвольные постоянные.
C
CC
+=
21
CC
+−=
21
xS
,cossin
xCxCxS +−=
C
=
0sin0cos0
→
0cos0sin1
0
1
C
=
.1
2
,00=
=
.sin xxS
Это выражение называется разложением тригонометрической
ôóí êöèè
справедливое при
sin x в степенной ряд:
+
12
∞
1sin
n
∑
−=
=
0
x
n
x
n
,
!12
+
n
x
.,
Следствие. Продифференцируем ряд
753
xxxx
sin
x
...
+−+−=
2
=+
xS
.10=
=
1cos
Получим
x
На основании свойства 3 можно сказать, что полученное выражение есть разложение функции cos
вое при всех x, т. е.
642
xxx
...
+−+−=
x в степенной ряд, справедли-
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( )
∞+∞−∈
( )
532
n
n
1
+
n
( )
n
.11 <<− x
( )
( )
532
( )
1
=
,xq −=
( )
11x
( )
x
( )
1
xdx
+
( )
1 x
+
( )
( )
0
x
,1ln0 C+=
.0=C
( )
1−=x
1=x
3
2
n32
( )
( )
11 ≤<− x
.11 ≤<− x
2
n
∞
x
cos
=
x
∑
=
n
,
x
n
!2
0
.,
Пример 3.4.3. Найти сумму следующего степенного ряда:
n
1
−
532
x
...
−
++−+−
n
xxxx
1
...
+
Сначала установим область сходимости данного ряда. Рассмотрим
1
+
n
x
Тогда по
=
1
.
ряд из абсолютных величин. Здесь
n
x
u
n
,
=
u
+
n
признаку Даламбера
1
n
+
u
1
n
+
limlim
=
n
∞→
lim
x
=
n
n
u
n
∞→
∞→
1
=
1
1
+
nx
x
=
n
1
xn
+
.
x
lim
n
n
+
lim
x
=
nn
1
n
∞→∞→
1
n
=
1
+
n
Отсюда следует, что наш ряд сходится абсолютно при ,1<x
т. е.
Пусть
– сумма рассматриваемого ряда
xS
532
xxx
...
xxS
+−+−=
Тогда по свойству 3
′
32
...1
+−+−=
xxxxS
Этот ряд можно рассматривать как бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию с первым членом
–
xS
причем .1<x Ее сумма равна
.00=
=
1
52 53
и знаменателем
1
a
1
,
qa−
т. е.
′
xS+=
,
причем
( )
11xdx
+
( )
1 x
+
( )
( )
x
,1ln0 C+=
.0=C
( )
1−=x
1=x
3
2
3
2
( )
( )
11 ≤<− x
.11 ≤<− x
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными. В результате решения имеем
xdS
=
,
dx
=
xdS
,
,1ln CxxS ++=
где C – произвольная постоянная.
Найдем C из условия
xS
:00=
=
Следовательно,
При
1
1
2
имеем ряд
1
1
5
3
...
∑
∞
=n
1
В скобках имеем гармонический ряд
−=−−−−−
xxS += 1ln при .1<x
1
n
1
1
2
+++−=
.
5
3
∞
1
.
Он расходится.
∑
n
=1
n
1
1
Учитывая, что при умножении на одно и то же число свойство ряда
сходиться или расходиться не меняется, получили расходящийся ряд.
1
1
При
имеем ряд:
1 +−
...
Абсолютной сходимости у него нет, но есть условная. По признаку
1
Лейбница
1
lim =
∞→nn
0
и
1 >>>
1
...
x
=+
Выражение
1ln
ние ln(1 + x) в степенной ряд при
Пример 3.4.4. Найти сумму степенного ряда
∞
∑
n
−
1
n
n
x
−
1
=
1
при
есть разложе-е-
n
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
=
+−−−
−
0
n
( ) ( )
!
n
+−−
( ) ( )( )
( )
−+−−
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
!3
!2
!1
−−
−
( )
( ) ( )( )
!2
!1
−−
−
( )
( )
( )( )
!2
−−
′
m
( )
( )
( )( )
!2
−−
′
m
( ) ( )
m
m
′
′
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
!2
!2
′
′
′
( )
( )
( )
( )
m
′
( )
( )
dx
1 xS+
( )
Cln
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
.1=R
1
1
mx
∞
=
∑
Здесь
u
n
тогда
u
n
Найдем область сходимости ряда.
n
=
mm
++
=
=
+
u
1
n
+
u
lim
=
n
∞→
x
2
...
x
!2
!
n
nmmm
n
+
limlim
n
∞→
−
!
nnm
=
+
nn
x
1!
++
!1
1...1
lim
1...21
nmmmm
!
n
+−−−
1...21
nmmmm
x
1...1
n
.
x
n
,
nmnmmm
11+
n
.
x
1
n
−+−−
−
nm
1
+
n
lim
=
x
nnn
+
!1...1
xnnmnmmm
n
+−−+
1...1!1
xnmmmn
m
−
n
n
∞→∞→∞→
1
n
+
n
=+
...
x
=
1
.
x
=
1
n
и разделим на m, получим
Ряд сходится абсолютно при .1<x
m
1
xS
Продифференцируем это равенство:
′
+=
mxS
xS
mm
1
++= x
x
1
mm
x
11
+−+=
xm
+
x
+
mm
mmm
21
21
mmm
21
x
2
x
2
...
+
54 55
32
...
+
...
+
( )
( )
( )( )
!2
−−
′
m
( ) ( )
m
m
′
′
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
!2
!2
′
′
′
( )
( )
( )
( )
m
′
( )
( )
dx
1 x
S
+
( )
Cln
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
.1=R
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Умножим полученный результат на x:
xS
x
Найдем сумму
xS
+
m
+
Заметим, что
с разделяющимися переменными
+1
и условию
Решим это уравнение:
где
От сюда
xS
x
m
−−
mm
21
xS
xS
x =
xS
=x
dS
x =+
– произвольная постоянная.
,1 mS
+−+=
xmx
1
xS
+
x
xS
x
+=
xS
m
удовлетворяет дифференциальному уравнению
.10=
dS
dx
=
m
,ln1lnln CxmS ++=
21
32
...
+
x
xS
и приведем подобные члены:
+−++=
xmx
111
−
mm
++=+−+
mxxmx
1...1
,
1
222
...
+
x
в степенной ряд при 1<x и
.1mxCxS +=
=x
10=
получим
n
!
.1mxxS +=
nmmm
1...1
+−−
n
x
при .1<x
Из условия
Таким образом,
m
x
Это выражение называется разложением функции (1 + x)
Такой ряд называется биномиальным рядом.
xS
∞
11
+=+
∑
=
1
n
m
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
3=m
( )
4=m
( )
( )
2
( )
!32
!22
1
x
( )
1
x
7
!32
5
!22
32
⋅
⋅
.1=R
( ) ( )
12−n12+
n
( )
( )
1
x
( )( )
<−+
<<−→<
( )
( )
1
.1
x
( )
( )
( )
( )
( )
1
x
( )
1
x
( )
1
x
Замечание. При m целых положительных ряд обрывается и пре-
вращается в многочлен.
Например, при
3
имеем
32
,3311
xxxx +++=+
при
4
432
.46411
xxxxx ++++=+
Пример 3.4.5. Найти разложение в ряд функции
с помощью биномиального ряда.
Положим в формуле биномиального ряда
1
−
1
=+
x
2
Заменим x на
1
−
1
2
1
+
2
x
++=
2
1
2
, получим
x−
⋅
31
2
⋅
x
2
31
⋅
2
+−=
2
4
+
!22
−
⋅
531
⋅⋅
6
xx
3
!32
⋅
Можно показать, что этот ряд сходится при .1<x
Проинтегрируем последнее равенство:
2
dx
∫∫
2
x
1
−
x
1
2
31
⋅
++=
4
2
!22
⋅
⋅⋅
+
3
⋅
или
5
31
⋅
531
⋅⋅
+⋅
3
arcsin
3
+
+=
xx
2
⋅
=
1
−=m
, получим
531
⋅⋅
3
...
+
xx
3
⋅
...
+
531
!32
7
xxx
6
,...
dxxx
+
...
+⋅
11xxf−
2
в степенной ряд при
Это выражение называется разложением функции arcsin x
1<x и
56 57
( ) ( )
1212−
n
12
+
n
( )
( )
1
x
( )( )
<−+
<<−→<
( )
( )
.1
x
( )
( )
( )
( )
( )
1
x
( )
1
x
( )
12x
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пример 3.4.6. Найти сумму степенного ряда
1
n
1253
n
−
x
...
+−+−
53
−
xxx
1
−
n
12
...
=+
∑
n
n
−
12
n
∞
−
1
1
=
−
x
.
−
n
12
Решим вопрос об области сходимости ряда. Рассмотрим ряд,
составленный из абсолютных величин, тогда
12
+
n
и
u
n
x
Применим признак Даламбера:
=
1
+
n
u
n
∞→
u
.
lim
nn
n
∞→∞→
n
12
n
+
1
+
limlim
=
n
∞→
n
+
12
nx
−
lim
x
=
12
n
−
12
xn
12
n
−
x
=
12
n
+
−
n
x
u
=
n
1
2
−
n
222
.
x
=
1
2
+
n
Ряд сходится при
.110
x
2
<
или
,012<−x
Продифференцируем исходный ряд:
53
xx
...,
xxS
−+−=
53
′
42
...1
−+−=
xxxS
Последний ряд – бесконечно убывающая геометрическая
2
dx
xq −=
;
прогрессия с первым членом
Тогда
′
xS
1
=
1
−−
11=a
1
=
1
+
дифференциальное уравнение при
′
xS+=
1
;
2
dx
xdS
1
=
+
и знаменателем
и
22
xx
xS
;
2
можно найти, решая
xS
00=
.
=x
xdS+=
,
где
11
xx
2
<
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
+=
( )
x
.0=C
( )
( )
1−=x
( )
12
5
3
−
n
1=x
( )
12
5
3
−
( )
[ ]
−∈
( )
∞+∞−∈
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
]
−∈
( )
( ) ( )
( )
( )
+
[ ]
−∈
( )
( )
( )
( )
!6!4!2
2
+
x
:4 x
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
,arctg CxxS
где С – произвольная постоянная.
Найдем С из условия
xS
.00=
=
Таким образом,
n
12
n
+
x
при
+
12
n
1
1 +
.1,1−∈x
n
1
...
1
−
++−+−
...
arctg
При
∞
−
=
x
1
∑
0
n
=
получим ряд
Можно показать, что он сходится условно, так же, как и ряд при
1
+nn
...
−
+−+−
arctg
1
...
+
∞
=
x
∑
n
n
−
1
n
=
0
x в степенной ряд.
+
12
n
x
при
+
12
x
называетсяся
1,1
1
1
1
:
Выражение
разложением функции arctg
практическое приложение. Сведем полученные результаты:
3.5. Основные разложения функций в степенные ряды
Все результаты, полученные в разделе 3.4, имеют большое
n
∞
e
x
x
=
x
x
,
∑
если
n
!
=
0
n
∞
−=
∑
0
=
n
∞
∑
=
0
n
∞
x
∑
=
n
x
x
n
1sin
n
x
n
1cos
−=
n
−=+
1
+
n
+
2
n
n
!2
−
1
12
!12
,
если
n
x
n
;,
,
если
;, ∞+∞−∈x
;, ∞+∞−∈x
,11ln
если
x
58 59
;1,1
( )
( ) ( )
( )
( )
+
[ ]
−∈
( )
( )
( )
( )
!6!4!2
2
+
x
:4 x
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
x
arctg x
arcsin
n
∞
∑
=
∞
+=+
11
∑
=
1nn
x
n
1
−=
0
∞
+=
xx
∑
=
1
n
n
12
n
,
если
12
+
n
n
m
+−−
1...1
nmmm
x
если
,
;1,1−∈x
!
n
+
12
;1,1
если
,
.1,1−∈x
x
−⋅⋅⋅
xn
12...31
+⋅
nn
12!2
3.6. Представление функций в виде степенного ряда
Используя разложения основных элементарных функций,
полученные в разделе 3.4 главы 3, можно представить и некоторые
другие функции в виде степенных рядов.
Пример 3.6.1. Представить функцию
2
в виде
=
xxf 2cos
степенного ряда.
Используя соотношения
642
1cos
x
получим, заменяя
на
xxx
...
+−+−=
, ∞<x , и
2
2cos
x
=
4cos1
x
,
числовой оси.
функцию
642
2
1
1
2cos
x
2
2
2
!2
4
11
2
!4
4
!2
!6
4
xxx
!4
!6
n
1...
...
=
+−+−+=
2146114723
−
2
nn
xxxx
...
+−++−+−=
!2
n
Данное разложение справедливо при ,4 ∞<x т. е. на всей
Пример 3.6.2. Используя биномиальное разложение, представить
3
в виде степенного ряда.
21 xxf +=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]