Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
=+=
( )
=
2
6
3
4
2
2
nn
>
′
∞=
′
2
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
n1+nn1
+
n
101
,limlim
SuSS
12212
m
+
m
∞→
m
∞→
mm
+
так как
Итак, последовательность частичных сумм
∞
же предел S при четных и нечетных n, т. е. ряд
∑
k
=
1
Замечание 2.1.1. Первое условие признака Лейбница
u
m
имеет один и тотт
S
n
−
1
k
−
1
u
.0lim
12=+∞→m
сходится к S.
k
u
∞→nn
является необходимым условием сходимости любого ряда, так что
при невыполнении этого условия ряд расходится. Если не выполнено
условие монотонности убывания членов ряда, то о сходимости ряда
сказать ничего нельзя.
Пример 2.1.1. Рассмотрим знакочередующийся ряд
0lim
1 +−++−+−+−
1
...
1
1
1
1
11
...
Первое условие признака Лейбница выполнено, а второе не
выполнено, так как
,21uu
,32uu =
,43uu >
,54uu <
...,65uu >
Покажем, что этот ряд расходится.
Найдем
1
1
2nn
−=
1
1
4
2
2
1
...
6
– n-я частичная сумма гармонического ряда, который расходится,
значит,
S
∞→nn
,lim
где
т. е.
S
S
n
−+
4
2
1
1
2
2
lim
n
Замечание 2.1.2. Пусть ряд
−+
3
1
=
n
2
∑
k
...
6
1
1
2
∞
...
+++=++++=
3
1
=
1
′
SS
n
∞→∞→
n
−
1
k
−
1
1
1
1
1
11
nn
u
k
=
−++
2
nn
11
′
,
S
=
2
.lim
∞=
удовлетворяет условиям
признака Лейбница. Оценим его n-й частичный остаток:
30 31
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
111+>nn
11+<n
101
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
1
+
n
1
+
n
n
n
n
2
+
n
uuuu
++++
nnnn
uuuur .
4321
++++ nnnnn
1
+
n
uuur
;...1
+−+−−=
4321
...
+−+−=
...111
=+−+−+−=
3
+
n
В силу убывания членов ряда под знаком модуля стоит положи-
тельная величина.
Перегруппируем слагаемые под знаком модуля:
....
−−−−−=
uuuuur
54321
+++++ nnnnnn
Каждая из скобок положительная величина, поэтому
Пример 2.1.2. Исследовать сходимость и найти оценку n-го
частичного остатка ряда Лейбница:
1
1.
2.
1
1
3
2
1
lim =
∞→nn
1
4
∞
∑
n
−=+−+−
=
1
.0
,
значит, выполнены оба условия признака Лейбница,
1
−
1
n
.
1...
n
и ряд сходится.
Для оценки n-го частичного остатка имеем неравенство
.
ur
1+<nn
r
n
.
Так, если в качестве приближенной суммы ряда взять сумму
первых 100 его слагаемых, то абсолютная ошибка этого приближе-
ния будет меньше чем
2.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды
Рассмотрим ряд
знак.
1
.
∞
члены которого имеют произвольный
,
u
∑
k
=k
1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
+
22
22
+
−
( )
( )
( )
1>p
.1>p
∞
Определение 2.2.1. Говорят, что ряд
∞
если сходится ряд
∑
.
u
k
=k
1
сходится абсолютно,
u
∑
k
=1k
Теорема 2.2.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
∞
Доказательство. Пусть ряд
∑
=1k
сходится.
u
k
Составим два вспомогательных ряда:
∑
k
∑
k
∞
=
∞
=
uu
kk
;
(6)
2
1
−
uu
kk
.
(7)
2
1
Как известно, модуль любой величины больше или равен самой
этой величине, поэтому
uu ≤ и .kkuu ≤− (8)
kk
Отсюда следует, что слагаемые вспомогательных рядов либо
положительны, либо равны нулю.
Так как из неравенств (8) следует, что
uuuu
+
+
≤
≤
kkkk
uuuu
kkkk
;
u
=
k
,
u
=
k
то вспомогательные ряды (6) и (7) сходятся по первому признаку
сравнения положительных рядов (глава 1, теорема 1.4.1). По теореме
32 33
( )
( )
( )
1>p
.1>p
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
1.3.1 (глава 1) сходящиеся положительные ряды можно почленно
вычитать, при этом получается сходящийся ряд. Если вычтем из ряда
∞
,
(6) ряд (7), то получим ряд
u
который сходится.
∑
k
=k
1
Определение 2.2.2. Знакочередующийся ряд называется условно
(неабсолютно) сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится.
n
1
−
n
.
6
2
+
1
nn
Пример 2.2.1. Исследовать ряд
∑
n
∞
=
Возьмем члены этого ряда по модулю, получим положительный
ряд, к которому можно применить предельный признак сравнения
(глава 1, теорема 1.4.3):
∞
∑
n
сравним с рядом
6
+
=
1
2nnn
∞
∑
1
.
2
n
=n
1
Действительно,
lim
n
6
n
2
+
Так как ряд
n
−
1
n
6
1
сходится абсолютно.
+
2
nn
∑
n
∞
=
Замечание 2.2.1. Ряды
∞
так как ряды
∑
n
=1
1
:
∑
n
1
p
n
lim
=
2
nn
n
∞
1
сходится, то сходится ряд
2
n
=1
сходятся при
3
n
∞→∞→
3
1
+
n
∞
−11
∑
p
n
n
=
.1
=
2
6
n
n
сходятся при
∞
∑
=
1
n
а ряд
,
6
+nnn
2
абсолютно,
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,ln ∞=∞
∞
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2.3. Схема исследования на сходимость
знакочередующегося ряда
Пример 2.2.1 показал, что при исследовании знакочередующихся
ряд ов на абсолютную и услов ную сходимость следует прид е рживаться
следующего порядка:
1. Составить ряд из модулей слагаемых заданного знакочередующегося ряда и применить к нему один из признаков сходимости
положительных рядов (раздел 1.8, таблица).
2. Если ряд из модулей его членов сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно и исследование заканчивается.
3. Если ряд из модулей расходится, то к знакочередующемуся
ряду применяем признак Лейбница (глава 2, теорема 2.1.1)
4. Если оба условия признака Лейбница выполнены, то знакочередующийся ряд сходится условно (неабсолютно) и исследование
заканчивается.
5. Если первое условие признака Лейбница не выполнено, то
знакочередующийся ряд расходится и исследование заканчивается.
Нарушение второго условия признака Лейбница (отсутствие
монотонного убывания) в примерах, приведенных ниже, не встречается.
n
1
−
n
51
⋅−
.
!12
+
n
Пример 2.3.1. Исследовать на сходимость ряд
∑
n
∞
1
=
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда
n
∞
5
∑
n
=
1
.
+
n
!12
Применим признак Даламбера:
u
+
n
1
=
limlim
∞→
n
n
lim5
=
∞→
n
∞→
n
+
1
5
nn
5
:
nnu
+++
!112
n
12...321
+⋅⋅⋅⋅
lim
=
n
!12
nnn
322212...321
+++⋅⋅⋅⋅
n
!125
+
∞→
n
<=
=
!32
+
.10
34 35
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,ln ∞=∞
∞
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
n
1
−
n
⋅−
51
сходится абсол ютно.
+
!12
n
∞
−
∑
2
n
=
Ряд
∞
∑
n
n
5
сходится, а ряд
+1!12
n
=
∑
n
∞
1
=
Пример 2.3.2. Исследовать на сходимость ряд
Рассмотрим ряд из модулей его слагаемых и применим интег-
ральный признак Коши.
n
∞
2
=
∞
∑
=
2
lim
A
ln
ln
dx
∞→
1
4
3
nn
4
3
xx
3
−
ln
nf
A
∫∫
∞→
2
3
+
A
1
4
3
ln
nn
4
−
3
3
=
2ln
.
333
2ln
xf
limlnlnlim
xdx
==
∞→
AA
1
=→=→
ln
ln
x
1
−
3
;
4
3
xx
A
1
−
3
=
2
ln
1
n
−
1
.
4
3
nn
Напомним, что
Интеграл и ряд
а
∞
=2
ln
1
4
nn
∑
n
.01=
– сходятся, значит, ряд
3
сходится абсолютно.
1
n
−
1
−
.
2513
++
nn
Пример 2.3.3. Исследовать ряд
∑
n
∞
1
=
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда
∞
∑
=
1
1
++nnn
.
2513
∑
n
1
n
∞
2
=
−
−
1
4
3
ln
nn
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
2
( )
( )
( )
( )
( )
n
( )
x
( )
( )
( )
x
x
( )
=→=
( )
′
∞
1
Этот ряд можно сравнить с расходящимся рядом
∑
=n
,
n
1
так как
lim
значит, ряд
Применим к ряду
lim =
1.
∞→nnn
∞
∑
n
1
nn
=
1
1
1
lim
:
=
∞→∞→
nn
n
2513
++
1
∞
++
2513
nn
расходится.
n
−
1
∑
1
n
=
.0
2513
++
2. Покажем, что члены ряда убывают, т. е.
так как
1
Ряд
∑
n
1
∞
1
=
−
1
>
2513
++ nnnnnn
n
сходится условно.
++
2513
nn
1
n
1
3
n
признак Лейбница:
++
2513
nn
=
215113
++++
1
=
2
+⋅⋅+⋅
n
5
,
⋅
53
n
,
uu
это верно,
1+>nn
1
.
7543
++
Пример 2.3.4. Исследовать на сходимость ряд
Возьмем члены этого ряда по модулю, получим ряд
Применяем интегральный признак Коши:
2
∞
n
∑
n
2
=
n
nf
n
n
36 37
22
lnlnln
x
=→=→
xf
,
x
n
∞
∑
n
−
2
=
2
n
ln1
.
n
2
∞
ln
n
∑
=n
.
n
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
n
( )
x
( )
( )
( )
x
x
( )
=→=
( )
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
∞
2
x
ln
x
2
A
2
∫∫
A
2
xxddx
3
ln
limlnlnlim
A
3
Интеграл и ряд расходятся, тогда к ряду
применить признак Лейбница:
2
ln
n
∞
1.
lim
n
∞→
n
.
=
∞
Используем правило Лопиталя:
причем проделаем это дважды:
1
ln2
n
n
lim
1
n
ln2
===
n
lim
ln
2
n
lim
n
Первое условие признака Лейбница выполнено.
2. Теперь нам надо показать, что
ln
A
lim
A
ln
∞→∞→∞→
3
n
∞
−
∑
2
n
=
∞
xf
=
∞
xg
Ax
n
ln1
=
−===
2
n
limlim
xx
33
3
следует
∞→∞→
2
∞
∞
2
n
монотонно убывает. Этоо
lim
nnnn
n
.0
==
∞→∞→∞→∞→
1
2ln
.
∞=
′
xf
,
′
xg
не так очевидно, как было в примере 2.3.3.
Возьмем производную от функции
отрицательная, тем самым докажем, что функция
1
2
xx
ln2
′
xf
=
′
xf
0
x
→=
x
−⋅
ln
=
−
ln2ln
22
xx
Нашли два корня, при которых
xf =
xx
,10ln
2
ln
x
покажем, что она
,
убывает..
xf
,
2
=→=→=−
xxx
.e2ln0ln2
.0=′xf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
,nx =
,2≥n
.e
x
( )
<
′
( )
8=n
n
( )
( )
4
54
+∞→n
( )
I вариант
1.
∞
=
12n
n
2.
( )
( )( )
.
1212
1+−−
nn
II вариант
1.
( )
−
.
2ln2
1
nn
2.
( )
∑
III вариант
1.
( )
∑
2.
( ) ( )
+−
.
3
11
nn
IV вариант
1.
∑
2.
( )
∑
−.ln1nn
V вариант
1.
( )
∑
2.
( )
∑
−
−
.
561n
n
VI вариант
1.
∞
=1
n
n
2.
( )
( )
−−
−
.
3434
1
nn
VII вариант
1.
∑
2.
( )
⋅
−
.
5
1
n
VIII вариант
1.
( )
∑
2.
( ) ( )
( )
.
2
121
++−nn
n
Так как
2
=
0
xf
при
а
то нас интересует только один корень
,e2>x
функция
поэтому будем считать, что начиная с
2
n
выражением
∞
−
∑
2
n
=
Пример 2.3.5. Исследовать на сходимость ряд
Отметим, что ряд из модулей
При доказательстве этого факта можно воспользоваться
необходимым признаком сходимости рядов (глава 1, замечание 1.2.1)
n
lim ≠=
n
Использование необходимого признака предпочтительнее (но не
обязательно), так как далее следует проверка условий признака
Лейбница, а первым как раз и будет проверка необходимого условия
сходимости, которое, как мы показали, не выполняется.
Значит, ряд
Варианты контрольной работы по положительным
Исследовать сходимость ряда.
ln
, будут убывать. Значит, по признаку Лейбница ряд
n
2
ln1
n
сходится условно.
n
∞
∑
1
.0
∞
∑
n
=
1
n
−
−
1
n
расходится.
+
54
n
2
и знакочередующимся рядам
=
убывает при
xf
n
расходится.
члены ряда, заданные
1
n
−
−
1
+
n
2
54
n
∞
∑
=
,4,7e2≈>x
n
.
+254nn
38 39
I вариант
1.
∞
=−1
2
n
n
2.
( )
( )( )
.
1212
1
+−
−
nn
II вариант
1.
( )
−
.
2ln2
1
nn
2.
( )
∑
III вариант
1.
( )
∑
2.
( ) ( )
+−
.
3
11
nn
IV вариант
1.
∑
2.
( )
∑
−
.
ln1
n
n
V вариант
1.
( )
∑
2.
( )
∑
−
−
.
56
1
n
n
VI вариант
1.
∞
=1
n
n
2.
( )
( )
−−
−
.
3434
1
nn
VII вариант
1.
∑
2.
( )
⋅
−
.
5
1
n
VIII вариант
1.
( )
∑
2.
( ) ( )
( )
.
2
121
+
+−
nn
n
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
23
n
∑
∞
.
5
+
1
n
∑
=
1
n
∞
=
1
n
∞
∑
1
n
=
∞
=
1
n
∞
=
1
n
∞
=
1
n
∞
∑
=
1
n
1
3
1
n
−
n
2
n
.
!12
+
n
−
1
n
nn
−−
1313
.
1
2
n
n
2
.
+
34
n
∞
n
∑
1
n
=
∞
=
1
n
∞
n
=
1
n
∞
2
n
=
n
312
+
n
7
!
n
−
.
+
1
n
.
34
n
!
n
∑
∞
.
3
−
1
n
∑
=
1
n
n
∞
2
.
!2
+
n
=
1
n
∞
−
1
n
∑
=
1
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]