Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+++++
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
=
1
=
≠
1
=
( ) ( ) ( )
( )
.∞→x
( )
,0>M
( )
( ) ( ) ( )
( )
Глава 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.1. Основные понятия. Теорема Абеля
Выражение
∞
∑
n
xuxuxuxuxu
(9)
nn
=
1
н азы вается
=+++++
321
......
функциональным рядом относительно переменной x.
Например, функциональными являются ряды
∞
∑
n
∞
∑
n
n
2
+
=
1
=
1
1
=
1
+
2
+
1
+
3
...;
+
12
+
222
13
+
xxxnx
...3sin2sinsinsin
+++=
xxxnx
Придавая значению переменной x определенные значения
…, мы получим числовые ряды:
,1x
,2x
...;...
+++++ xuxuxuxu
1131211
n
...,...
xuxuxuxu
2232221
n
которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.
Совокупность всех значений x, при которых ряд (9) сходится,
образует область сходимости функционального ряда (9).
Если ряд сходится, то он имеет сумму. Сумма функционального
ряда зависит от значения x, т. е. сумма ряда (9) является функцией
переменной x. Обозначим сумму ряда
.xS
Областью определения
является область сходимости ряда (9).
xS
Функциональный ряд вида
2
02010
n
называется степенным рядом.
40 41
n
∞
......
∑
n
=
0
n
n
−=+−++−+−+
xxaxxaxxaxxaa
(10)
00
Числа
=
=
≠
=
( ) ( ) ( )
( )
.∞→x
( )
,0>M
( )
( ) ( ) ( )
( )
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
,0a
…,
,1a
,2a
… называются тся коэффициентами этого
,na
ряда,
– постоянное число.
x
0
При
ряд (10) примет вид
0
x
0
2
210
∞
n
n
=+++++
∑
n
n
.......
xaxaxaxaa
n
=
0
Область сходимости степенного ряда поможет определить
следующая теорема.
Теорема Абеля. Если ряд (10) сходится при
где
,1xx
то он абсолютно сходится и при всех x, удовлетворяющих неравенству
.
xxxx −<−
010
Доказательство
n
т. е. ряд
,1xx
n
+−++−+−+
xxaxxaxxaa
01
–
......
По условию ряд (10) сходится при
2
0120110
сходящийся числовой ряд и его общий член
n
при
xxau
nn
Если переменная величина, а у нас это
001→−=
,
xxa −
стремится
01nn
к конечному пределу, то она ограничена, т. е. существует такое
положительное число
чтоо
,01xx
при всех n.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (10):
Умножим и разделим этот ряд на числа
n
Mxxa
≤−
n
01
2
02010
(11)
n
......
+−++−+−+
xxaxxaxxaa
n
0
n
xx −
01
(12)
,
получим
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( ) ( )
( )
=
1
.1<q
( )
=
2
2
1
1
,0>R
x
=
( )
=
.0=R
.∞=R
,0=x
2
−
xx
⋅−+
xxaa
0110
0
−
xx
01
−
n
⋅−+
xxa
n
01
xx
−
2
⋅−+
xxa
012
n
0
...
+
xx
01
−
xx
0
...
−
xx
01
++
(13)
Составим еще один ряд вида
2
xx
−
MM
+
0
xx
−
01
M
+
xx
−
0
xx
−
01
M
++
n
xx
−
0
......
+
xx
−
01
(14)
Этот ряд представляет собою бесконечную геометрическую
xx
−
прогрессию с первым членом
и знаменателем
Ma
Пусть x удовлетворяет неравенству ,
xx
0
,1
<
и ряд (14) сходится, так как
−−xx
01
q
=
0
.
xx
−
01
xxxx −<− тогда
010
В силу неравенства (11) члены ряда (13) не превосходят
соответствующих членов ряда (14), т. е.
nn
n
xxa
⋅−
n
01
xx
−
0
xx
−
01
M
≤
xx
−
0
.
xx
−
01
На основании признака сравнения можно утверждать, что и ряд
(13) сходится, а тогда сходится и ряд (12). Причем сходится абсолютно
при всех x, удовлетворяющих неравенству
Следствие. Если ряд (10) расходится в точке
.
xxxx −<−
010
то он
,1xx
расходится при всех x, удовлетворяющих неравенству
.
xxxx −>−
010
42 43
2
2
,0>R
x
=
( )
=
.0=R
.∞=R
,0=x
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Доказательство. Пусть
,
точка
xxxx −>− т. е. точка
.1x
0102
x
Предположим, что ряд (10) сходится в точке
Абеля он сходится и в точке
удовлетворяет неравенствуу
x
находится дальше от точки
Тогда по теореме
.2x
что противоречит условию.
,1x
чем
,0x
Следовательно, ряд (10) расходится во всех точках, удовлетворяющих
.
неравенству
xxxx −>−
010
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число
что при Rxx <−
расходиться, т. е. в точках, удаленных от точки
xx − , ряд сходится, а в точках, расстояние которых больше чем
01
xx − , – расходится. Геометрически это можно представить в виде рис. 2.
01
ряд будет абсолютно сходиться, а при Rxx >−
0
Абсолютно сходится Расходится Расходится
Rx −
0
x
0
Рис. 2
0
меньше чем на
x
0
Rx +
0
–
Число R в дальнейшем будем называть радиусом сходимости.
Очевидно, что степенной ряд всегда сходится в точке
его суммаа
,0xx
.0axS
Если это единственная точка сходимости, то
В случае, когда ряд сходится на всей числовой оси, говорят, что
Очевидно, что все сказанное относится и к ряду вида
2
210
n
n
В этом случае ряд сходится в точке
∞
∑
n
n
.......
xaxaxaxaa
n
=
0
=+++++
а интервал сходимос-
ти симметричен относительно этой точки.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( ) ( ) ( )
( )
( )
D
+<<−
±=
( )
( )
3
n
⋅
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
<−
,323 <−<− x
51 <<− x
1−=x
.5=xn.5=x
( )
3
3
n
nn
.1−=x
( ) ( ) ( ) ( )
n
nnn
3
3
3
⋅
⋅
⋅
n32
;51 <≤− x
.3=R
( )
( ) ( )
3.2. Интервал сходимости степенного ряда
Найдем область сходимости степенного ряда (10).
Будем рассматривать абсолютную сходимость. Для этого
рассмотрим ряд
2
02010
n
n
......
+−++−+−+
xxaxxaxxaa
0
Применим к этому положительному ряду признак Даламбера.
Найдем
u
n
+
1
n
=
∞→
n
u
n
+
∞→
n
01
n
xxa
−
0
xx
−=
a
1
n
+
0
n
.limlimlim
∞→
a
n
n
+
1
xxa
−
n
Если этот предел существует, то
u
n
+
1
n
∞→
u
n
,lim
Dxx
⋅−=
0
где
D
=
По признаку Даламбера ряд сходится, если
1
Число
xx <−
.
0
1
и есть радиус сходимости ряда (10), т. е.
RD=
a
1nn
+
n
.lim
∞→
a
,10<⋅− Dxx или
.00RxxRx
Поведение ряда на концах интервала при
,0Rxx
где признак
Даламбера не дает ответа, рассматривается для каждого ряда
индивидуально.
∞
−
2
Пример 3.2.1. Найти интервал сходимости ряда
∑
n
x
n
⋅
3
n
1
=
и исследовать ряд на концах интервала.
1
+
n
2
−
x
.
1
+
n
31
⋅+
Решение. Здесь
n
2
x
−
=
u
u
=
n
,
а
1
+
n
n
n
Тогда
n
+
1
u
n
+
1
limlim
=
n
∞→
n
u
n
∞→
n
n
32
⋅⋅−
nx
+
1
n
312
+⋅−
nx
lim2
−=
x
∞→
n
n
3
⋅
n
n
331
n
⋅+
2
−
x
=
.
3
n
44 45
3
<−
,323 <−<− x
51 <<− x
1−=x
.5=x
n
.5=x
( )
3
3
n
nn
.1−=x
( ) ( ) ( ) ( )
n
nnn
3
3
3
⋅
⋅
⋅
3
2
;51 <≤− x
.3=R
( )
( ) ( )
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Для всех x, удовлетворяющих неравенству
2<−x
,1
т. е. при
x
,32
, ряд сходится абсолютно.
Таким образом, интервал сходимости ряда – (–1; 5).
n
и
u
1=+
n
1lim
∞→
u
и признак Даламбера
Исследуем ряд в точках
Напомним, что в этих точках
ответа о сходимости не дает.
Пусть
n
Тогд а
n
⋅
−
=
u
Получили ряд
25
n
∞
∑
n
n
3
1
.
=
1
n
=1
=
n
⋅
. Это гармонический ряд, он расходится
(раздел 1.7).
Пусть
n
1
=
. Это знакочере-
Тогда
n
21 −
−−
=
u
n
n
n
3
−
=
n
n
n
31
=
⋅−
n
дующийся ряд. По предыдущему исследованию он не имеет абсо-
лютной сходимости. По признаку Лейбница
1
lim =
∞→nn
0
и
1 >>>
1
...,
1
т. е. этот ряд сходится условно.
∑
n
∞
=
зд е сь
x
⋅
2
ln
1
n
−
.
2
nn
Следовательно, данный ряд сходится при
Пример 3.2.2. Найти интервал сходимости ряда
Решение. Найдем
u
+
n
1
n
x
=
2
.
++
nn
1ln1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( ) ( ) ( ) ( )
.1±=x
,1=x
( ) ( )
2
2
2 2
1−=x
( )
[ ]
.1=R
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
∞+∞−
.∞=R
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,2=x
.0=R
1.
( )
( )
∑
∞
=
+
−
1
.
1
2
n
n
nn
x
4.
( )
∑
=+2
4
.
ln
3
n
n
nn
x
2.
( )
( )( )
∑
∞
=
++
⋅+
1
.
423
32
n
n
nn
nx
5.
( )
∑
∞
=+1
.
!
65
n
n
n
x
3.
( )
( )
∑
∞
=
+
−
1
.
34
1
n
n
n
n
x
6.
( )
∑
∞
=
+
+
1
.
5
5
n
n
n
n
x
( ) ( )
( ) ( )
Тогда
u
1
n
+
limlim
=
n
∞→
n
u
n
∞→
n
2
ln
nnx
⋅⋅
12
n
−
1ln1
xnn
++
lim
x
=
n
∞→
2
ln
nn
⋅
2
nn
++
x
=
1ln1
При 1<x ряд сходится абсолютно. Рассмотрим поведение ряда
в точках
∞
1
Пусть
тогда получим ряд
∑
=
2
.
2
ln
⋅nnn
Для исследования этого положительного числового ряда можно
применить интегральный признак. Рассмотрим несобственный
интеграл
ln
A
1
x
1
.
=
2ln
∞+∞+
dx
xx
ln
ln
ln
A
xd
22
lim
A
x
xd
ln
∫∫∫
2
x
ln
lim
A
−===
∞→∞→
Интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд.
n
1
−
.
2
ln
⋅
2
nn
При
имеем знакочередующийся ряд
∑
n
∞
=
По предыдущему исследованию этот ряд сходится абсолютно.
Следовательно, ряд сходится при
Пример 3.2.3. Найти интервал сходимости ряда
и
1,1−∈x
∞
∑
n
1
=
n
+
x
3
.
n
!
.
Решение. Здесь
n
∞→
x
Ряд сходится на всей числовой оси
=
u
1
+
n
n
+
xn
x
u
n
+
1
limlim
=
n
u
n
+=
∞→
1
lim3
∞→
n
1
+
n
1
+
n
3
+
x
.
!1
+
n
1
!3
⋅+
nx
n
3!1
++
.103
<⋅+=
46 47
lim3
+=
x
n
,
!
n
∞→
=
1!
+
nn
, и
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,2=x
.0=R
1.
( )
( )
∑
∞
=
+
−
1
.
1
2
n
n
nn
x
4.
( )
∑
=+2
4
.
ln
3
n
n
nn
x
2.
( )
( )( )
∑
∞
=
++
⋅+
1
.
423
32
n
n
nn
nx
5.
( )
∑
∞
=+1
.
!
65
n
n
n
x
3.
( )
( )
∑
∞
=
+
−
1
.
34
1
n
n
n
n
x
6.
( )
∑
∞
=
+
+
1
.
5
5
n
n
n
n
x
( ) ( )
( ) ( )
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пример 3.2.4. Найти интервал сходимости ряда
+
Решение. Найдем
1
+
n
n
2!1
−+=
xnu
и
u
1
+
n
limlim
=
∞→
n
u
n
∞→
n
Ряд сходится только в точке
xn
n
2!
−
xn
n
и
1
+
n
2!1
−+
Примеры для самостоятельного решения
Определить интервал сходимости степенного ряда:
∞
∑
=
1
1
∞→
n
.1lim2
nx
∞=+−=
n
.2!
−
xn
Отметим некоторые важные свойства степенных рядов:
1. Область сходимости степенного ряда совпадает с областью
его абсолютной сходимости (по теореме Абеля).
2. Сумма степенного ряда
непрерывная на интервале сходимости.
3. Степенной ряд (10) можно почленно дифференцировать
в любой точке из интервала сходимости, т. е.
3.3. Свойства степенных рядов
∞
∑
n
=
00n
′
n
−=
xxaxS
есть функция
∑
n
∞
n
=
1
−
1
n
−⋅⋅=
.
xxnaxS
0
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
′
[ ]
βα
( ) ( )
( )
,1!0 =
1!1 =
!n
( )
( )
( )
1
+
n
.∞=R
( )
( )
( )
!
!3!2!1
n
( )
( )
( ) ( )
=
′
( )
0=x
( )
!3!2!1
( )
( )
dx
( )
( )
( )
+=
Cln
( ) ( )
( )
( )
.1 C=
( )
( )
∞+∞−∈
Полученный ряд является тоже степенным с тем же интервалом схо-
димости, сумма этого ряда равна
.
xS
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать в любом проме-
жутке
где α и β принадлежат интервалу сходимости ряда (10):
,,
∑
n
β
∞
n
∫∫
0
=
α
n
.
−=
dxxxadxxS
0
β
α
Полученный ряд имеет тот же промежуток сходимости, а сумма
β
равна
∫
α
.
dxxS
Используем эти свойства при нахождении сумм степенных рядов, широко применяемых в практике.
3.4. Разложение функций в степенной ряд
Пример 3.4.1. Найти сумму степенного ряда с вещественной
переменной x
32
1
!3!2!1
...
xxxx
...
!
n
nn
∞
x
=++++++
∑
(напомним, что
!
n
=
0
n
Определим сначала область сходимости ряда.
Рассмотрим ряд из абсолютных величин и применим к нему
признак Даламбера в предельной форме.
1
+
n
x
=
!1
+
n
Здесь
n
x
u
u
=
n
,
1
+
n
).
и
∞→
n
=
x
u
u
lim
n
n
+
1
n
∞→
=
limlim
n
1
+
1
n
nx
!
=
x
∞→
x
n
+
xn
!1
<==
lim
n
.100
48 49
n
!
∞→
=
+
nn
1!
.∞=R
( )
( )
( )
!
!3!2!1
n
( )
( )
( ) ( )
=
′
( )
0=x
( )
!3!2!1
( )
( )
dx
( )
( )
( )
+=
Cln
( ) ( )
( )
( )
.1 C=
( )
( )
∞+∞−∈
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Ряд сходится абсолютн о при вс ех x, радиус его сходимости
n
∞
Ряд имеет сумму
Найдем функцию
xS
x
=
∑
n
.
!
n
=
0
.xS
В силу свойства 3 ряд можно почленно продифференцировать:
32
1
xS
...
n
xxxx
...
++++++=
Тогда
12
−
n
′
1
xS
!2!1
...
xxx
++++=
n
...
+
!1
−
и
.xSxS
Получили для функции
с разделяющимися переменными.
Заметим, что при
xS
1
=
x
0
32
xxx
Решая это уравнение, получим
xdS
,xS
=
xdS
,dx
=
xS
(
CxxS lnln
– произвольная постоянная),
Определим C из условия
Следовательно,
xS =
x
.e
Таким образом,
n
∞
x
e
x
∑
n
,
x
!
n
=
0
.,
=
дифференциальное уравнение
xS
.1...
=++++=
xx
.elnelnln
CxSCxS =→+=
xS
:10=
=x
,e00CS =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]