Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
( ) ( )( )
!3
!2
!1
−−
−
x
,2x
3
( ) ( ) ( )
!43
!33
!23
!13
2
( )
x
( )
2
( )( )
( )
( )
( )
!6!4!2
!7!5!3
,x
.x
( )
=
π
,sin x
( )
( )
.x
Так как
21
x
то, заменяя
mmmx
=m
1
x
1
имеем
+
m
11
на
++=+ x
при
mmm
32
...,
+
,1<x
3
1...
+=+
1
12121
xx
2
−
⋅
+=+=+
3
2
22
⋅
2
⋅
Ряд сходится при 12 <x или
1
3
1
2
⋅
x
+
!1
2
⋅⋅
+
3
⋅
−
1
313
2
!2
3
252
3
−
1
.
<x
Пример 3.6.3. Представить функцию
степенного ряда.
Используем опять биномиальный ряд, заменяя
1
, получим ряд
−=m
1
1
3
−
1
x
∞
−
n
+=
1
∑
n
n
=
1
−
3
2
!!12
3
n
,
x
!!2
1
11
2
⋅
31
++=−+=
⋅
42
1
+
1
−
313
−
1
2
3
32
2
+
xx
!3
4
2852
⋅⋅⋅
4
...
+
4
xxxx
⋅
=
⋅⋅
531
+
963
xxxx
⋅⋅
642
11xxf−
на
...
3
=+
в виде
3
при
x−
сходящийся при .1<x
Пример 3.6.4. Записать ряд для функции
Воспользуемся разложениями
60 61
sin
π
−= xxf
.
6
!6!4!2
x
!7!5!3
.x
( )
=
π
,sin x
( )
( )
.x
sin
и формулой
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
642
xxx
1cos
xx
...,
+−+−=
;∞<x
753
xxx
...,
+−+−=
∞<x
π
sin xxxxx −=
−
6
π
cossin
⋅=
6
π
sincos
⋅−
6
3
sin
2
1
2
Имеем разность двух рядов:
sin
π
−
6
3
xx
1
...
+−+−=
!7!5!32
1
2
Напомним, что сходящиеся ряды можно почленно складывать и
вычитать, отсюда
sin
3
π
−
6
1
2
++−=
xx
⋅
3
!222
−⋅−
⋅
3
!42!32
Ряд сходится при всех значениях ,x так как вычитали ряды,
сходящиеся при всех
Пример 3.6.5. Разложить
в ряд по степе ня м
xxf cos
Запишем функцию в виде
coscos xxx
+
−=
22
π
π
и, используя разложение для
∞
∑
n
π
sincos
−−=
−
x
1
n
+
1
−=
0
=
n
π
2
+
xxx
−−=
12
n
+
.
!12
sin
π
−
22
π
−−=
2
получим
π
−
2
!3
53
π
+
xx
−
2
...
−
!5
Полученный ряд сходится при всех
.cos
642753
xxxxxx
+⋅+
=
....
+−+−−
!6!4!2
65432
xxxxx
...
−
!62!52
⋅
.
−x
2
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
( )
+
( ) ( )
−=
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
32
n
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
( )
( )
x
( )
4
4
2
( ) ( ) ( )
2!3
2!2
2!1
.80 << x
( )
x
( )
( )
( )
( )
Пример 3.6.6. Разложить в ряд по степеням
.32ln xxf
Представим
1ln8ln
Воспользуемся разложением
1ln
Заменим x на
Это равенство справедливо при
xx
x
−=−
8ln32ln
3
8
3
8
∑
n
∞
=
x32ln −
x
+−++=
32
1
в виде
.2
.2
+− x
Получим ряд
n
x
+
3
8
2
n
3
18ln238ln32ln
8
n
xxx
n
1
−
+−+−+−=+
n
.
3
8
+−=+−=−
xxx
2
...,1...
.1<x
<+− x
=
,12
2
x
т. е.
функцию
8
2 <+x
;
14
xf =
2
<<− x
.
Заметим, что в точке
Пример 3.6.7. Разложить в ряд по степеням
1
.
Представим функцию в виде
14
−=x
ряд сходится условно.
функцию
4−x
62 63
( )
4
4
2
( ) ( ) ( )
2!3
2!2
2!1
.80 << x
( )
x
( )
( )
( )
( )
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
1
−
2
=
11
=
+−
44
1
xxx
12
+
1
1
2
4
−
4
−
x
+=
4
.
Используя биномиальное разложение, заменяя x на
и
1
−=m
,
x
получим:
−
11
+=
1
2
1
1
−
2
!1
4
4
1
−
2
+
−−
1
xx
2
!2
−
4
−
2
+
−−
2
1
1
1
1
!3
2
−−
4
−
2
x
4
3
=
...
+
1
2
1
1
Ряд сходится при
⋅
4
4<−x
4
63
,1
44 <−x или
31
+−−=
2
4
⋅⋅
531
−−
xxx
9
Примеры для самостоятельного решения
4−x
2
4
+
3
....4
+−
1. Разложить функции в степенные ряды:
xf1=
– по степеням
=
5
sin=
e
=
– по степеням x;
311xxf−
2
– по степеням x;
xxf
2
xxf−
– по степеням x.
;1−x
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
0001,0=ε
.1,1ln
( ) ( )
32
n
.11 ≤<− x
,1,0=x
( )
4
3
2
4
3
2
.103−=ε
!4!3!2!1
( ) ( )
!3
!2
!1
( )
!2
!1
e
1=x
10
!4
!3
!2
!1
2
k
( )
+
2ln
.10
( ) ( )
132+
n
(
]
,1=x
( )
4
3
2
n
2
3.7. Применение рядов для вычисления приближенных
значений функций, интегралов и иррациональных чисел
С помощью рядов можно с заданной точностью вычислять значения элементарных функций, а также определенных интегралов от
этих функций.
Пример 3.7.1. Вычислить с точностью до
значение
Воспользуемся разложением
1ln
Полагая
32
xx
получим знакочередующийся ряд
1,0
1,01,01ln1,1ln
n
xxx
1
−
n
1,0
...1...
+−+−+−=+
при
432
1,0
...
+−+−=+=
Погрешность вычисления здесь не превосходит первого отбро-
4
1,0
шенного члена. Абсолютное значение
4
<=u
достаточно взять сумму первых трех членов ряда.
01,0
1,01,1ln =+−≈
Пример 3.7.2. Вычислить
001,0
.0953,0
10
с точностью
e
Используем разложение
432
x
1e
xxxx
,...
+++++=
получим
32
1,0
1,0
1,0
1e
1,0
...
++++=
,0001,0
поэтому
В разложении берем столько членов, чтобы вычисления
произвести с точностью до трех знаков после запятой. В нашем случае
достаточно сохранить три первых члена ряда:
1,0
1,0
1e
2
1,0
≈++≈
.105,1
64 65
e
1=x
!41!31!21!1
2
k
( )
+
2ln
.10
( ) ( )
1
32
+
n
(
]
,1=x
( )
4
3
2
2
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пример 3.7.3. Вычислить
x
при
с точностью
(с пятью верными десятичными знаками).
Используя то же разложение, получим
1
1e +++++=
...
В данном случае, взяв 9 членов ряда, получим с заданной точ-
ностью значение иррационального числа e:
1e
24
6
2
1
8
∑
1
!
k
=
2
120
=≈+=
720
1
1
1
1
1
1
1
5040
.71828,2718278,2
1
40320
=++++++++≈
Пример 3.7.4. Определить, сколько нужно взять членов ряда
в разложении
чтобы вычислить
,1ln x
с точностью до
Рассмотрим несколько вариантов решения, используя разложение
132
+
n
xxx
1ln
1. Пусть
12ln
n
1...
xx
−+−+−=+
тогда
1
1
1
1
1
+nn
1...
...,
+
...
+−++−+−=
.1,1−∈x
510−
=ε
4−
Ряд знакочередующийся, условно сходящийся, и оценку
определяем первым отброшенным членом. Очевидно, что в данном
случае надо оставить 10
2. Если принять
1
1ln
−
2
−
1
−−=
2
1
+−=
2
000 членов ряда.
1
тогда
−=x
,
1
ln
2ln2ln1ln
=−=−==
2
1
2
2
1
⋅
22
1
−
2
+
−
3
1
+
+
⋅
23
432
1
−
2
...
=+
4
1
⋅
24
+
,...
432
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
2
24
23
22
n
1=x
x
:x−
( )
32
n
( ) ( )
1
n
x
12
n
( ) ( )
1=n
7
!32
5
!22
32
2
62
π
( )
.sin x
или
...
1
...
++
+
n
⋅
1
1
2ln
+=
2
⋅
1
+
⋅
1
+
432
⋅
Для получения заданной точности вычисления нужно взять уже
всего 10 членов ряда. Видим, что при
ряд сходится достаточно
медленно. Этот ряд можно приспособить для вычислительных целей
следующим образом:
3. Заменим в нем
1ln
xx
на
32
n
xxx
......
−−−−−−=−
Рассмотрим разность рядов:
53
53
1
+++=
получим
,
+
1
nn
+
....
....
+
53
125
Полагаем теперь
=
ln
имеем
+
n
1
1
ln
1
При
+
x
−
x
xx
1
=
ln1ln1ln
=−−+
+
−
2
1
+
x
1
−
x
n
x +
=
1
+
nn
12
2
1
,
+
x
тогда
1
+
xx
=
x
+
123
и для достижения точности вычисления достаточно взять всего 4 члена
ряда:
числа
1
1
22ln
+=
3
22ln
33
⋅
1
1
3
3
3
1
+
35
⋅
1
1
5
,...
+
53
1
1
1
3
⋅+⋅+⋅+≈
753
7
3
==
.6932,069315,0
Пример 3.7.5. Найти приближенное значение иррационального
с точностью 0,01.
Используем разложение
7
531
⋅⋅
xxx
...
+⋅
⋅
arcsin
3
+
+=
xx
2
⋅
5
31
⋅
⋅
+⋅
3
66 67
2
62
π
( )
.sin x
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Примем
1
6
+=π
2
1
тогда
=x
,
1
+
32
⋅
31
⋅
⋅⋅
arcsin
+
5!22
1
и
=
531
⋅⋅
1074
+
7!32
⋅⋅
3...
9
1
640
8
≈+++≈
Очевидно, взяв большее число членов ряда, мы будем получать
число
с большей точностью.
Пример 3.7.6. Вычислить
5
взяв первые три члена биноми-
,36
ального ряда.
1
5
1
5
5
13243236
1
5
1
5
1236
+=
8
12
1
5
4
+=+=
32
1
815
1
1
−
5
+⋅+≈
⋅
1
5
1
+=
12
82
;
8
1
5
2
12
40
1
1
++=
800
=
Для вычисления определенных интегралов можно воспользо-
ваться формулой Ньютона – Лейбница.
Ее применение связано с нахождением первообразной, которая
не всегда выражается в элементарных функциях. Если подынтегральную функцию можно представить в виде степенного ряда, а пределы
интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то
определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью приближенно.
.14,3...
.0477,2
1
sin
Пример 3.7.7. Вычислить
x
(заметим, что
dx
∫
x
0
берущийся интеграл).
Ограничимся тремя членами разложения.
Воспользуемся разложением в степенной ряд функции
sin
x
– не-
dx
∫
x
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
!7!5!3!1
!7!5!3
x
[ ]
35280
( )
( ) ( )
( )
−∈
( )
128
16
8
2
.11 <<− x
2
1664
2
160
2
56
2
8
2
7168
2
56
e
5
π
3ln
001,0=ε
1.
∫
x
4.
.
2
∫
dxe
2.
.
2sin
∫
dx
x
x
5.
.
arctg
∫
dx
x
x
3.
.cos
1
0
2
∫
dxx
6.
.
1
2
1
0
5
2
∫
+ x
dx
753
xxxx
sin
x
...
+−+−=
Тогда
1
1sin
x
642
xxx
...
+−+−=
Можно показать, что ряд сходится при всех значениях x.
Проинтегрируем равенство в промежутке
.1,0
dx
1
1
∫∫
0
753
xxx
+−+−=
3528060018
1
x
sin
x
0
x
Погрешность вычисления не превосходит первого отброшенного
члена
Замечание. Функция
1
4
<=u
.0001,0
x
∫
0
синусом и обозначается символом Si(x)
Пример 3.7.8. Вычислить
Представим подынтегральную функцию в виде ряда с помощью
разложения
няя x на
m
11
x
,3x
получим
+=+
∞
∑
=
1nn
642
xxx
sin
+−+−=
!7!5!3
1
0
x
dx
=
dx
...
называется интегральным
≈+−=
.9461,000167,005556,01...
x
x
sin
x
=
∫
0
1
2
0
3
с точностью до 0,001.
dxx∫+
1
nmmm
!
n
68 69
.
dx
x
1...1
+−−
,
x
x
;1,1
заме-
( )
128
16
8
2
.11 <<− x
2
1664
2
160
2
56
2
8
2
7168
2
56
e
5
π
3ln
001,0=ε
1.
∫
x
4.
.
2
∫
dxe
2.
.
2sin
∫
dx
x
x
5.
.
arctg
∫
dx
x
x
3.
.cos
1
0
2
∫
dxx
6.
.
1
2
1
0
5
2
∫
+ x
dx
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
1
33
2
111
1
1
1
Проинтегрируем этот ряд почленно в промежутке
1
2
1
∫
0
1
1
1
3
3
xdxx
1
1
1
1
1
1
1
7
<=⋅=u
.001,0
5
xxxx
1664
160568
5
5
12963
...,
+−+−+=+=+ xxxxxx
1
131074
2
...
+−+−+=+
1
131074
=
0
...,
+⋅−⋅+⋅−⋅+=
Для получения указанной точности достаточно взять два первых
члена разложения:
1
2
0
3
1
1
1
2
≈+≈+∫dxx
128
.508,0
Примеры для самостоятельного решения
1
,
1. Вычислить
,e
sin
,
с точностью
1
.
,0
2
.
2. Вычислить интегралы с точностью до 0,001.
sin
1
4
.
dx
x
0
1
4
0
1
−
x
0
1
2
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]