Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебное пособие-2
.pdf
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
x
( )
( )
==
=
( )
,0=x
,1=y
( )
( )
1
==
′
1
=
;2 yyyxyy
′
+
′
+=
′′
( )
=⋅⋅+⋅+=
′′
2
( )
2
==
′′
2
( )
2
0x0x0′x
( )
( )
1
( )
==
=
( )
1
=−=
′
1
−=
( )
3.8. Интегрирование дифференциальных уравнений
при помощи степенных рядов
С помощью степенных рядов можно найти решение некоторых
дифференциальных уравнений. Представим искомое решение в виде
степенного ряда.
Сумму конечного числа членов этого ряда принимаем приближенно равной искомому решению уравнения.
Вопрос о сходимости рядов и точности полученного решения
оставляем без рассмотрения.
Пример 3.8.1. Найти приближенное решение дифференциального уравнения
2
′
(15)
,
yxyy +=
удовлетворяющее начальному условию
первыми членами ряда).
Ищем решение в виде ряда
2
210
Коэффициент
ay
найдем из начального условия
a
0
,10
0
.1
a
0
Продифференцируем (16):
′
Из уравнения (15), подставляя
′
y
2
.11100
=+⋅=
С другой стороны, из (17) имеем
,10
ay
.1
a
70 71
y
321
10=
(ограничиться тремя
=
3
3
2
4
4
3
++++=
xaxaxaaxy
4
имеем
(16)
...
+++++= xaxaxaxaaxy
(17)
...432
;2 yyyxyy
′
+
′
+=
′′
( )
=⋅⋅+⋅+=
′′
( )
2
==
′′
2
( )
2
x
x
′
x
( )
( )
1
( )
==
=
( )
1
=−=
′
1
−=
( )
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Продифференцируем уравнение (15) и соотношение (17):
′′
2
...1262
+++=
xaxaay
432
Подставим найденные значения в уравнение:
y
из второго соотношения найдем
,31121010
получим
,2a
ay
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (16),
получим приближенное частное решение уравнения в виде
3
1 xxxy ++=
2
при
y
.10=
=
Пример 3.8.2. Найти решение уравнения
2
′′
удовлетворяющее начальным условиям
(18)
,
yxy −=
y
,10=
y
=
Запишем решение уравнения в виде ряда
2
210
3
3
4
4
5
++++++= xaxaxaxaxaaxy
5
Продифференцируем соотношение (19)
,320
2
=
(19)
...
3
.
=a
.10−=
′
2
321
3
4
4
(20)
...5432
+++++=
xaxaxaxaaxy
5
Подставляя в (19) и (20) начальные данные, найдем коэффицие н т ы
и
a
:
a
0
,10
ay
0
ay
;1
a
0
,10
a
.1
Дифференцируем соотношение (20), получим
′′
2
432
3
(21)
...201262
++++=
xaxaxaaxy
5
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
y
′′
( )
=⋅−=
′′
2
( )
2
==
′′
2
=
( ) ( )
=⋅⋅−⋅−−=
′′′
( )
′′′
4
( ) ( )
( )
4
12
( )
12
( )
.x
yyxy 42 +
′
=
′′
′
( )
,0=x
,0=y
( )
,0=x
,1=′y
1
( )
( )
1
==
′
1=1
=
( )
( )
( )
:42 yyxy +
′
=
′′
( )
( )
5
4
3
2
Используя начальные условия, найдем значение
y
Из (21) найдем значение коэффициента
ay
Найдем теперь коэффициент
.0010
:
a
,020
.0
a
Для этого продифференцируем
.3a
уравнение (18) и соотношение (21):
′′′
−=
′′′
xyxyy −
;2
2
...60246
+++=
xaxaay
543
2
′
Подставим сюда найденные значения
y
.0012010
От сюда
ay
3
Проделаем ту же операцию для нахождения
2IV
′
′′
−
−= 222
.03=a
:
a
′
yxyxyxyy
−−⋅
,060
==
или
2IV
′′
−=
IV
′
−
yyxxyy −
,24
...12024
++= xaay
54
Получим
IV
212104000
−=⋅−−⋅−⋅−=y
и
IV
,2240
−== ay
1
.
−=a
4
Ограничимся пятью членами ряда, тогда решение примет вид
из (18):
1
4
.
1
xxxy −−=
В тех случаях, когда дифференциальное уравнение линейное,
удобнее искать коэффициенты ряда методом неопределенных коэффициентов.
Для этого представляем решение уравнения в виде ряда
210
2
3
3
72 73
4
,...
+++++= xaxaxaxaaxy
4
.x
yyxy 42 +
′
=
′′
′
( )
,0=x
,0=y
( )
,0=x
,1=′y
1
( )
( )
1
==
′
1
=
1
=
( )
( )
( )
:42 yyxy +
′
=
′′
( )
( )
5
4
3
2
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
затем подставим его в уравнение и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях
Пример 3.8.3. Найти частное решение уравнения
(22)
при
y
,00=
y
=x
.10=
=x
Запишем искомую функцию в виде
2
210
3
3
Подставляя в (23) начальные условия
,00
== ay
0
.00=a
4
4
Продифференцируем (23) и, используя начальные условия
найдем
′
Подставим
:
a
2
321
,10
ay
.1
a
,00=a
1
a
3
4
в (23) и дважды продифференцируемем
4
...,5432
+++++=
xaxaxaxaaxy
5
это соотношение:
2
2
′
3
3
32
′′
4
4
2
4
2
432
5
...,
+++++= xaxaxaxaxxy
5
3
4
...,54321
+++++=
xaxaxaxaxy
5
3
...201262
++++=
xaxaxaaxy
5
Полученные выражения подставим в уравнение
5
5
(23)
...
++++++= xaxaxaxaxaaxy
найдем
:
a
0
432
32
2
3
2
2
3
...201262
xaxaxaa
5
4
4
=++++
3
4
...543212
xaxaxaxax
5
5
++++++
xaxaxaxax
++++++=
....4
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
2
=
2
=
=+=
=
224
=+=
4
=
2
( )
2
x
,cos xxyy +⋅=
′′
( )
( )
=
′
( )
,2 xyy −=
′′
( )
( )
′
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
0
при х
a
-
,02
;0
a
при х
при х2
при х3
a
3
,6426
aaa
=+= aaa
335
;1
a
3
,04412
,104620
;0
a
1
.
=a
5
Сохраняя шесть членов ряда, получим решение в виде
1
53
.
xxxxy ++=
Здесь можно получить ряд в общем виде и показать, что он сходится при всех
(мы не будем этого делать).
Примеры для самостоятельного решения
Найти первые пять членов разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд:
2
′
,cos2
xyxy −=
,10=y
y
;00
;10=y
,10 =y
y
.10 =
74 75
Рекомендуемая литература
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике /
Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2013.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление : учеб.
пособие : в 2 т. / Н. С. Пискунов. – Изд. стер. – М. : Интеграл-Пресс, 2001.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления : учеб. для вузов : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – 8-е изд. – М. : Физматлит,
2001.
4. Бугров Я. С. Высшая математика : учеб. для вузов : в 3 т. / Я. С. Буг-
ров, С. М. Никольский. – 5-е изд., стер. – М. : Дрофа, 2003.
5. Красоленко Г. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды :
рабочая программа, метод. указания и контр. задания / Г. В. Красоленко,
Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина; СПбГАСУ. – СПб., 2012.
6. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985.
7. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и уча-
щихся втузов : учеб. пособие / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – СПб.;
Краснодар : Лань, 2009.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
Оглавление
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды........................................................ 3
1.1. Основные понятия и определения .................................................... 3
1.2. Частичный остаток ряда. Необходимый признак сходимости
рядов .......................................................................................................... 7
1.3. Арифметические операции со сходящимися рядами...................... 9
1.4. Положительные ряды. Признаки сравнения сходимости
положительных рядов............................................................................. 10
1.5. Признак Даламбера сходимости положительных рядов ............... 14
1.6. Оценка частичного остатка сходящегося положительного ряда,
удовлетворяющего условиям сходимости признака Даламбера ........ 18
1.7. Интегральный признак сходимости Коши ..................................... 19
1.8. Некоторые рекомендации для эффективного использования
признаков сходимости ............................................................................ 24
Глава 2. Знакочередующиеся ряды .................................................................. 29
2.1. Признак Лейбница ...................................................................................... 29
2.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды................................ 31
2.3. Схема исследования на сходимость знакочередующегося ряда... 34
Глава 3. Функциональные ряды. степенные ряды .......................................... 40
3.1. Основные понятия. Теорема Абеля ................................................ 40
3.2. Интервал сходимости степенного ряда .......................................... 44
3.3. Свойства степенных рядов .............................................................. 47
3.4. Разложение функций в степенной ряд............................................ 48
3.5. Основные разложения функций в степенные ряды ....................... 58
3.6. Представление функций в виде степенного ряда .......................... 59
3.7. Применение рядов для вычисления приближенных
значений функций, интегралов и иррациональных чисел ................... 64
3.8. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи
степенных рядов ..................................................................................... 70
Рекомендуемая литература ................................................................................ 75
76 77
Учебное издание
Башмакова Инна Борисовна,
Кораблёва Ирина Ивановна,
Прасникова Светлана Станиславовна
РЯДЫ
Учебное пособие
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 23.06.15. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 4,5. Тираж 100 экз. Заказ 58. «С» 33.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова Ряды
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
78 79
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]