Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Методические указания
.pdf
3
3sin
2
2sin
sin2sin
)1(
2)(
1
1
xx
xnx
n
xf
n
n
:2
).()(
3
xxxf
.2,1
,22,0
,2,1
)(
xесли
xесли
xесли
xf
.0,2
,0,2
)(
xеслиx
xеслиx
xf
.232,1
,22,1
)(
xесли
xесли
xf
.0,sin
,0,0
)(
xеслиx
xесли
xf
)(xf
laa 2,
l2
2
,t
l
x
t
l
f
2,
ll
t
l
f
t
2,
ll
З а д а ч и
Изобразить графики и найти ряды Фурье следующих функций, полагая, что они
имеют период
.
1.
2.
3.
4.
5.
4 Ряд Фурье функции с произвольным периодом
Если нужно разлагать в тригонометрический ряд Фурье функцию
менте
произвести подстановку
ваться на сегменте
Выполним разложение функции
час рассматриваем ее как функцию от
, длина которого
и функция
, вообще говоря, отличается от
будет как функция от t зада-
уже привычной нам длины 2.
(подчеркнем еще раз, что мы сей-
) в ряд Фурье на сегменте
- 11 -
на сег-
, то можно
:
1
0
),sincos(
2
n
nn
ntbnta
a
t
l
f
2
,cos
1
l
l
n
ntdtt
l
fa
...,3,2,1,0n
2
,sin
1
l
l
n
ntdtt
l
fb
...,3,2,1n
t
l
f
2
,cos1ntdtt
l
fa
n
...,2,1,0n
,sin1ntdtt
l
fb
n
...,2,1n
x
l
x
1
0
,sincos
2
)(
n
nn
x
l
n
bx
l
n
a
a
xf
,cos)(
1
l
l
n
xdx
l
n
xf
l
a
l
l
n
xdx
l
n
xf
l
b cos)(
1
l2
ll,
.2,2
,20,
,0,0
)(
lxlприl
lxприx
xlпри
xf
где
(13)
Напомним, что здесь так же имеем право, продолжив
периодичности, вместо интегралов (14) – (15) вычислять интегралы
Остается вернуться к переменной
выражение для ряда Фурье (13) всюду вместо переменной t ее выражение через пере-
, т.е. подставить как в интегралы (16) – (17), так и в
, (14)
. (15)
по
, (16)
. (17)
-
менную x, т.е.
где
сегменте
. Мы получим
Пример 4.1
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом
следующим образом (рис. 3):
- 12 -
.
, заданную на
)(xf
;
8
3
2
111
0
1
)(
1
2
2
0
0
0
ldx
l
dxx
l
dx
l
dxxf
l
a
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
n
dx
l
xn
l
dx
l
xn
x
l
dx
l
xn
l
dx
xn
xf
l
a
2
2
0
0
cos
2
11
cos
1
cos0
1
2
cos)(
1
;1
2
cos
1
sin
2
cossin
22
2
2
0
22
2
0
n
nl
xn
n
l
l
xn
n
l
l
xn
n
x
l
l
ll
l
l
l
n
dx
l
xn
l
dx
l
xn
x
l
b
2
2
0
sin
2
1
sin
1
l
l
ll
l
xn
nl
xn
n
l
l
xn
n
x
2
2
0
22
2
0
cos
2
1
sincos
2
coscos
2
1
2
sin
2
cos
2
22
n
n
n
n
n
ln
n
l
.)1(
22
sin
22
n
n
ln
n
l
,1n
;
2
2
2
,
22
11
l
ll
b
l
a
2
,2n
;
4
,
2
22
l
b
l
a
2
,3n
;
18
23
69
,
9
22
33
l
ll
b
l
a
2
,4n
;
8
,0
44
l
ba
Рис. 3. График функции
Решение:
Если
то
- 13 -
,5n
;
50
52
1025
,
25
22
55
l
ll
b
l
a
2
l
x
l
x
l
x
l
x
lxf
2
sin
4
12
cos
2
1
sin
2
2
cos
1
16
3
)(
222
...
3
sin
18
323
cos
9
1
22
l
x
l
x
:2l
.42
;31,0
,11,1
)(
l
xесли
xесли
xf
.32
;32,3
,21,1
,10,
)( l
xеслиx
xесли
xеслиx
xf
.
2
2
;0,sin
,0,0
)( l
xеслиx
xесли
xf
ba,
,
)(xf
,
)(xf
)()( xfxf
)()( xfxf
)(xf
…
Следовательно
З а д а ч и
Нарисовать графики и найти ряды Фурье следующих функций, считая, что они
имеют период
6.
7.
8.
.
5. Четные и нечетные функции
Как было установлено, задачу разложения функции на сегменте
но свести к задаче разложения несколько видоизмененной функции на сегменте
. Поэтому мы далее будем ограничиваться только этим свойством.
Итак, пусть функция
виям Дирихле. Займемся исследованием двух частных случаев. Напомним, что функ-
ция
четной, если
ции на четную, равно как и нечетной на нечетную, четно, а произведение четной и
нечетной функции нечетно.
называется четной, если
Очевидно, если функция
мож-
задана на сегменте
во всей области ее задания, и не-
. Как легко проверить, произведение четной функ-
нечетна, то
- 14 -
и удовлетворяет усло-
,0)(
dxxf
)(xf
0
.)(2)( dxxfdxxf
)(xf
)(xF
)(xf
)(xF
0)0( F
)(xF
)(xf
,
nxxf sin)(
,2,1n
.0sin)(
dxnxxf
1
0
,c os
2
)(
n
n
nxa
a
xf
.,2,1,0,0cos)(
2
0
ndxnxxfa
n
)(xf
2
)( xxf
,
.
3
2
3
22
3
0
3
0
2
0
x
dxxa
а если функция
Четность функции изменяется при их дифференцировании и интегрировании.
Т е о р е м а 1 . Производная четной функции является нечетной, а нечетной
функции – четной.
С л е д с т в и е . Вторая производная четной функции является четной, а нечетной
функции – нечетной.
Т е о р е м а 2 . Если функция
- четной. Если функция
выполняется условие
Пусть функция
четная, то
является нечетной, то ее первообразная
является четной, а для ее первообразной
, то функция
5.1 Разложение четной функции в ряд Фурье
задана на сегменте
нечетна.
, удовлетворяет условиям
Дирихле и является четной. Тогда произведение
должно быть нечетной функцией, и потому
при разложении четной функции в ряд Фурье все коэффициенты этого ряда при
синусах обращаются в нуль, и разложение принимает вид
где
Описываемое формулой (18) представление функции
жением в ряд «по косинусам».
Пример 5.1
Найдем разложение в ряд Фурье по косинусам четной функции
сегменте
. В этом случае имеем
(18)
при любом
Таким образом,
называется ее разло-
, на
- 15 -
Для вычисления остальных
n
a
)0( n
.
4
)1(sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
2
0
32
2
0
2
n
nx
n
nx
n
x
nx
n
x
dxnxxa
n
n
.
3
3cos
2
2cos
cos4
3
)(
22
2
2
xx
xxxf
,0
)()( ff
,
2
)(xf
,cos)( nxxf
.0cos)(
dxnxxf
2,0
.
2
)(
2
x
xxf
)(xf
0,2
2l
стям:
применим дважды интегрирование по ча-
Таким образом,
Заметим, что на основании признака Вейерштрасса (признак равномерной
сходимости функциональных рядов) этот ряд Фурье сходится к своей функции
равномерно на сегменте
мула (18) имеет силу для всех точек сегмента
одичности распространена на любые значения (рис. 4).
. Поскольку в нашем случае
и может быть по
(19)
, фор-
пери-
Рис. 4
5.2 Разложение нечетной функции в ряд Фурье
Аналогично предыдущему, если функция
четным (при каждом n) будет и произведение
Пример 5.2
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на полупериоде
уравнением
бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта
разложения.
1) Доопределим функцию
,
Функция может быть разложена в ряд Фурье
на сегменте
является нечетной, то не-
так что
четным образом. Имеем
- 16 -
)(xf
,
3
2
62
)
2
(
2
0
32
2
0
2
0
xx
dx
x
xa
2
0
2
2
cos
2
dx
xnx
xa
n
2
0
32
2
2
sin
2
2
cos1
2
2
sin
2
2 xn
n
xn
x
n
xnx
x
n
.,3,2,1;0,11
4
22
nb
n
n
n
1
22
2
2
cos
114
3
1
2
)(
n
n
xn
n
x
xxf
.
6
3cos
4
2cos
2
co s8
3
1
2222
xxx
)(xf
0,2
)(xf
Итак,
Рис. 5. График четной функции
2) Доопределим функцию
на сегменте
Рис. 6. График нечетной функции
нечетным образом
- 17 -
2
0
2
2
sin
2
dx
xnx
xb
n
2
0
32
2
2
cos
2
2
sin1
2
2
cos
2
2 xn
n
xn
x
n
xnx
x
n
.,3,2,1;0,11
8
33
na
n
n
n
1
33
2
2
sin
118
2
)(
n
n
xn
n
x
xxf
.
2
5
sin
5
1
2
3
sin
3
1
2
sin
16
333
xxx
1
,sin)(
n
n
nxbxf
.,3,2,1,0sin)(
2
0
ndxnxxfa
n
)(xf
xxxf 0,cos)(
xxxf 0,sin)(
:0,)( xexf
ax
)(xf
,0
0,
,
,
Итак,
В нуль обращаются все коэффициенты Фурье при косинусах, а также свободный
член. В результате получим
где
(20)
Формула (20) иногда называется разложением функции
нусам».
З а д а ч и
9. Разложить функцию
10. Разложить функцию
11. Разложить функцию
б) в ряд Фурье по косинусам.
6. Примеры разложения функции в ряд Фурье
и суммирования числового ряда с помощью ряда Фурье
Предположим теперь, что функция
. Чтобы разложить её в ряд Фурье на этом отрезке, мы можем поступить
следующим образом. Доопределим нашу функцию на сегменте
тогда иметь функцию, заданную на всем сегменте
в ряд Фурье по синусам.
в ряд Фурье по косинусам.
а) в ряд Фурье по синусам;
задана нам только на сегменте
, и получим возможность
в ряд «по си-
. Мы будем
разлагать доопределённую функцию в ряд Фурье на всём сегменте
.
- 18 -
Так как реально заданной является только часть функции на сегменте
,0
0,
,0
0,
)(xf
0,
),()( xfxf
x0
)(xf
0,
)()( xfxf
0,
0,
xxf )(
,0
(добавочная часть на промежутке
вольно на основании главным образом соображений удобства), мы полученный
ряд Фурье должны рассматривать только для тех значений переменной x, которые
расположены на сегменте
Рис. 7 Рис. 8
Очевидно, получившийся ряд будет зависеть от того, как именно мы произведём
.
«пристраивается» сравнительно произ-
доопределение нашей первоначальной функции на промежутке
нам могут представиться различные варианты. Рассмотрим два из них.
Во-первых, мы можем продолжать функцию
четным образом, т. е. положить
будем иметь дело с четной функцией, которая раскладывается в ряд по косинусам
согласно формуле (18).
Во-вторых, мы можем продолжить функцию
нечетным образом, т.е. положить
дем иметь дело с нечетной функцией, которая раскладывается в ряд по синусам
согласно формуле (20).
Не следует думать, что нам удалось получить для одной и той же функции
два различных разложения в ряд Фурье. В действительности мы разлагали весьма
отличающиеся друг от друга функции (они могут отличаться друг от друга на всём
промежутке
использовать разложение в ряд Фурье для отрицательных значений x. Поясним
сказанное на примере.
Пример 6.1
) и только отбросили часть полученного ответа, отказываясь
(рис. 8). В этом случае мы бу-
на промежуток
(рис. 7). Тогда мы
на промежуток
. При этом
Разложим на сегменте
и по косинусам (что будет отвечать соответственно продолжению этой функции
на сегмент
по нечетности и по четности). Разложение по синусам:
функцию
- 19 -
в ряды Фурье по синусам
.
sin
1
2
2sin
sin2
n
nxx
xx
n
,
2
22
0
2
0
x
dxx
.
1121cos2
cos
1
si n
2
cos
2
22
0
2
0
nn
n
nx
n
nx
n
x
dxnxx
n
.
)12(
)12cos(
3
3cos
cos
4
2
22
n
xnx
xx
,
,0,4
,0,0
,0,4
)(
xесли
илиxесли
xесли
xf
,0cos)(
1
dxnxxfa
n
0
0
cos
2
1
sin
4
2
sin)(
1
n
nx
dxnxdxnxxfb
n
.,1
,,0
11
2
1
нечетноnеслиn
четноnесли
n
n
1
.
12
)12sin(
)(
n
n
xn
xf
,2x
1
1
.
7
1
5
1
3
1
1
12
1
4
n
n
n
Для того чтобы найти разложение в ряд по косинусам, вычислим интегралы
Таким образом, другое интересующее нас разложение будет иметь вид
Сходимость этого ряда является равномерной на всём сегменте
Пример 6.2
Зададим функцию f формулой
и найдем её коэффициенты Фурье:
(21)
.
Таким образом, для заданной функции найден её ряд Фурье:
Полагая в нем
найдем сумму замечательного числового ряда
(22)
так как функция f нечётна;
- 20 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]