Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов
.pdf
1.4. Необходимое условие сходимости ряда
1n
n
a
0lim
nn
a
0lim
nn
a
11n
n
1
lim 0
nn
0lim
nn
a
1
1
31
n
n
n
131
n
n
a
n
.0
3
1
13
1
limlim
n
n
a
n
n
n
1
sin .nnx
.Zk,kx
.0sinsin
nknx
0000
1n
Теорема 1.6. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю, то есть
.
Запомни! Начинать исследовать ряд на сходимость нужно с проверки не-
обходимого условия сходимости.
Заметим, что обратное утверждение неверно. То есть из того, что
не следует, что ряд (1.1) сходится (необходимое условие сходимости
не является достаточным). Примером служит основной гармонический ряд
, но он расходится.
Следствие 1.7. Если
(в том числе не существует), то ряд расхо-
дится.
(1.1)
:
Пример 1.4. Исследовать ряд на сходимость
.
Δ Общий член этого ряда определяется формулой:
.
Проверим, выполняется ли для данного ряда необходимое условие сходи-
мости:
Так как необходимое условие сходимости ряда не выполняется, то по
следствию 1.7 ряд расходится. Δ
Пример 1.5. Исследовать, при каких х сходится ряд
Δ Рассмотрим 2 случая:
1. Пусть
Тогда
Получим ряд
.
11
Данный ряд сходится и его сумма
.00limlim
n
n
n
SS
., Zkkx
.,,0sinlim Zkkxnx
n
,0)1sin(lim xn
n
0)sincoscos(sinlim
xnxxnx
n
0cossin
n
xnx
0sin x
.,,0coslim Zkkxnx
n
,0)cos(sinlim
22
nxnx
n
1cossin
22
Zkkx ,
1
,0
nn
n
aa
2
1nn
a
,...
21 nn
aaaS
....
22
2
2
1 nn
aaaC
)(nC
)(nC
,...
2
1
2
1
22
2
2
11
nnnnn
aCaaaaC
NnCCaCC
nnnnn
,,0
1
2
11
)(nC
0
n
a
constSaaaaaaC
nnnn
22
21
22
2
2
1
)...(...
n
nC
lim
2. Пусть
Докажем, что в этом случае ряд расходится. Дока-
зательство проведем методом от противного. Предположим, что ряд сходится.
Тогда должно выполняться необходимое условие сходимости ряда:
(1.4)
Отсюда следует, что
или
.
Так как
и
, то должно выполняться условие
(1.5)
Из (1.4) и (1.5) получаем равенство:
которое противоречит формуле
. Из полученного противоречия заключаем, что предположение о сходимости данного ряда неверно. Следовательно, при
Пример 1.6. Доказать, что если ряд
, ряд расходится. Δ
сходится, то ряд
также сходится.
Δ Пусть
Покажем, что
1.
возрастает. В самом деле:
сходится:
то есть
.
2.
ограничена. В самом деле, так как
и первый ряд сходится, то:
.
Таким образом, по теореме о пределе монотонной последовательности су-
ществует
, то есть по определению второй ряд сходится. Δ
12
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
...;
8
1
4
1
2
1
1
...;
16
81
8
27
4
9
2
3
...;
45
1
35
1
25
1
5
1
1
2/5
1
n
n
...;
64
27
16
9
4
3
1
1
3/2
3
n
n
1
1
( 2)
k
kk
1
)14)(34(
1
n
nn
1
)2)(1(
1
n
nnn
1
)12)(12(
1
n
ncnc
,...2,1),12(, nncconstc
1
21
32
n
n
n
1
2
2
1
sin
n
n
n
11
n
bn
n
a
1
1
1
cos
n
n
1
1
1
n
n
1
0,001
n
n
1
3
3
42
2
n
nn
n
1
2
1
1
n
n
arctgn
1
/1
/1
n
n
nn
nn
n
1
2
351236
12
n
nn
1
13
3
n
nnn
n
1
11
23
nn
n
1
21
2
n
n
n
1
sin
n
n
qn
1q
1
cos
n
n
qn
1q
1
2
1
1ln
n
n
1
2
3
cos
2
1
sin
n
nn
№ 1.1. Решить вопрос сходимости рядов; в случае сходящегося геометри-
ческого ряда найти его сумму.
а)
б)
в)
д)
е)
№ 1.2. Найти сумму ряда
а)
;
б)
;
№ 1.3. Доказать расходимость рядов
г)
в)
г)
где
;
.
;
,
а)
б)
в)
;
г)
;
;
д)
е)
;
;
;
ж)
з)
и)
Указание. В задаче 1.3 используйте необходимое условие сходимости.
№ 1.4. Найти сумму рядов:
а)
б)
в)
;
;
;
д)
е)
ж)
,
,
;
;
;
;
.
г)
;
з)
.
13
§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
12
1
nn
n
а а а a
0
n
a
n
n
S
n
S
...
321
1
aaaa
n
n
...
321
1
bbbb
n
n
с неотрицательными членами
Определение 2.1. Положительным рядом называется ряд, все члены кото-
рого неотрицательны.
(Правильнее было бы назвать такие ряды неотрицательными, но по тради-
ции они называются положительными).
, где
,
(2.1)
Ряды, все члены которых положительны, будем называть строго положи-
тельными.
Рассмотрим частичные суммы ряда (2.1):
S1=a1;
S2=a1+a2= S1+a2≥ S1;
S3=a1+a2+a3= S2+a3≥ S2;
……………..
Sn=a1+a2+…+ a
n-1+an
Последовательность
= S
+ an≥ S
n-1
n-1
.
неотрицательная, неубывающая. Напомним, что
имеет место следующее утверждение: всякая неубывающая и ограниченная
сверху последовательность имеет предел. Из этого утверждения следует
Теорема 2.1. (необходимое и достаточное условие сходимости).
Для того чтобы ряд (2.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы по-
следовательность его частичных сумм
была ограничена сверху.
2.1. Признаки сравнения
Как можно было заметить из примеров § 1, задача установления сходимости ряда по определению является достаточно сложной, а в большинстве случаев и вовсе нерешаемой. Поэтому возникает необходимость в утверждениях,
позволяющих в обход определения решать вопрос о сходимости и расходимости рядов. Сформулируем наиболее распространенные признаки сходимости
числовых рядов.
Рассмотрим положительные числовые ряды
, (А)
. (В)
14
Теорема 2.2. (общий признак сравнения). Пусть
nn
ba 0
0
nn
0
0, 0,
nn
a b n n
lim 0
n
n
n
a
C
b
C
0
n
b
11
0
.,
nn
nn
ab
nn
ab
11n
n
q
(геометрический ряд) сходится при
,1q
расходится при
1q
.
11n
n
(гармонический ряд) сходится при
1
,
расходится при
1
.
1
1
1
n
n
2
0
3
13
n
n
n
, начиная с неко-
торого номера
. Тогда если (В) сходится, то (А) также сходится. Если же
ряд (А) расходится, то и ряд (В) расходится.
Теорема 2.3. (частный признак сравнения). Если
, и су-
ществует конечный предел
,
то ряды (А) и (В) ведут себя одинаково (сходятся или расходятся одновременно). Если же С=0, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А). Если
, то из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А).
Замечание. Название «частный признак сравнения», по-видимому, объясняется тем, что частный признак легко выводится из общего. На практике частный признак сравнения оказывается наиболее универсальным по сравнению с
общим признаком.
Теорема 2.4.(второй частный признак сравнения). Пусть даны два положи-
тельных ряда (А) и (В), причем
. И начиная с некоторого номера выполнено
неравенство
Тогда из сходимости (В) следует сходимость
(А).
При использовании признаков сравнения сходимость или расходимость
данного ряда устанавливается из сходимости или расходимости некоторого известного ряда. В качестве таких рядов, сходимость или расходимость которых
уже известна, часто берут гармонический и геометрический ряды.
Запомни!
(При
- основной гармонический ряд, расходящийся.)
Пример 2.1. Используя признаки сравнения, исследовать ряды на сходи-
мость:
а)
.
15
Δ Сравним данный ряд, общий член которого
n
n
n
a
2
313
0
1
3
n
n
,...2,1,0,
3
1
3
3
31
3
22
nb
n
nn
n
n
n
0n
n
b
1
3
1
q
32
1
3
21
n
n
n n n
1
2
1
n
n
21
01
12
3
lim
1
:
12
3
lim
23
23
223
nnn
nn
nnnn
n
nn
3
22
1
2
sin
n
n
nn
1sin
2
n
1
sin
1
2
n
n
n
n
n
n
nn
n 12
sin
2
2
3
2
3
22
3
11n
n
1
1
2
2 5/2
1
arcsin
( 3)
n
n
n
2 5/2
arcsin 0,
( 3)
n
n
n
arcsin , 0,x x x
2 5/2
2 5/2
2 5/2
arcsin
( 3)
lim 1 0, lim 0
( 3)
( 3)
nn
n
n
n
n
n
n
с геометриче-
ским рядом
. Поскольку
,
и ряд
сходится
, то на основании общего признака сравнения
заключаем, что данный ряд сходится. Δ
б)
Δ Сравним данный ряд с рядом
ский с
. Так как
.
, который сходится как гармониче-
,
то по частному признаку сравнения ряды ведут себя одинаково, а значит, дан-
ный ряд сходится. Δ
в)
Δ Так как
.
, то есть
Сравним данный ряд с рядом
ский с
. По общему признаку сравнения данный ряд расходится. Δ
г)
Δ Так как
, то
.
, который расходится как гармониче-
.
, и
т.е.
то данный ряд ведет себя так же, как ряд
16
,
1
2/52
)3(nn
n
. (2.3)
1
4
1
n
n
41
01
)3(
lim
1
:
)3(
lim
2/52
5
42/52
n
n
nn
n
nn
2 5/2 4
11
1
()
nn
n
nn
1n
n
а
0
n
an
q
a
a
n
n
n
1
lim
1q
1q
1q
Сравним ряд (2.3) с рядом
, который сходится как гармонический с
. Так как
,
то по частному признаку сравнения ряд (2.3) сходится, следовательно, и
данный ряд сходится. Δ
Замечание. При исследовании положительных рядов на сходимость иногда возникают трудности с ответом на вопрос, с каким рядом нужно сравнивать. Избежать их поможет следующая «хитрость»: при выборе ряда для сравнения нужно отбросить в исходном ряде «незначащие» слагаемые, полученный
ряд - искомый. Рассмотрим для примера ряд (2.3). Отбросим в знаменателе сла-
гаемое «3» внутри степени. Получим ряд
- гармонический. С
ним и сравниваем.
2.2. Признаки Даламбера и Коши
Признаки сравнения для рядов с положительными членами не всегда дают
ответ на вопрос о сходимости того или иного ряда, поскольку мы имеем в запа-
се лишь 2 вида рядов (гармонический и геометрический), с которыми можем
сравнивать. Ряды более сложной структуры требуют иных методов исследования. Более сильными признаками исследования числовых рядов на сходимость
являются признаки Даламбера и Коши.
Теорема 2.5. (признак Даламбера). Пусть дан строго положительный ряд
(А)
,
. Если существует конечный или бесконечный предел
,
то
1) ряд (А) сходится при
;
2) ряд (А) расходится при
В случае
бегнуть к другим методам исследования).
.
вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужно при-
17
Например,
11n
n
1
1
1
lim lim : lim 1
1
1
n
n n n
n
an
q
n
a n n
1
2
1
n
n
2
1
2 2 2
11
lim lim : lim 1
( 1) ( 1)
n
n n n
n
an
q
a
n n n
0
n
a
0
nn
qa
n
n
n
lim
1q
1q
1q
11n
n
1
lim lim 1
n
n
n
nn
qa
n
1
3
1
n
n
3
1
lim lim 1
n
n
n
nn
qa
n
n
fn
fn
! 2 .
n
n
nn
e
1n
n
a
)(xf
1 ax
n
anf )(
1n
n
a
a
dxxf )(
расходится,
, а ряд
сходится,
Теорема 2.6. (признак Коши). Если
, начиная с некоторого номера
.
, и существует предел
,
то:
1) ряд (А) сходится при
2) ряд (А) расходится при
В случае
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Например, ряд
сходится,
расходится,
;
.
, а ряд
.
Замечание. Для ответа на вопрос, каким признаком удобнее пользоваться,
нужно рассмотреть общий член ряда. Если общий член ряда содержит выраже-
ние вида
, где
– n-ый элемент последовательности, то, как прави-
ло, используют признак Коши. Если общий член ряда содержит знак факториа-
ла, то, как правило, используют признак Даламбера. В том случае, если признак
Даламбера ответа на вопрос о сходимости не дает, можно, используя формулу
Стирлинга, избавиться от факториала и воспользоваться признаком Коши.
Формула Стирлинга
(2.4)
Теорема 2.7. (интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть
– по-
ложительный ряд. Если существует невозрастающая непрерывная неотрица-
тельная функция
, заданная при
, такая, что
, то ряд
и интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
18
Пример 2.2. Исследовать ряды на сходимость:
1
1
1 4 7 (3 2)
2!
n
n
n
n
!2
23741
1
n
n
a
n
n
!12
1323741
2
1
n
nn
a
n
n
,
12
13
237411!22
!21323741
!2
23741
:
!12
1323741
1
1
12
1
n
n
nnn
nnn
n
n
n
nn
a
а
n
n
nn
n
n
,1
2
3
22
13
limlim
1
n
n
a
a
n
n
n
n
1
3!
n
n
n
n
n
,
!3 nn
n
a
n
n
,
!13
1
1
1
1
n
n
a
n
n
n
,
1
3
1
!13
!31
!3
:
!13
1
1
1
1
1
1
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
a
a
,1
3
1
1lim
3
11
3
1
limlim
1
e
nn
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
1
31
21
n
n
n
n
n
fn
31
21
n
fn
n
,1
2
3
12
13
lim
12
13
limlim
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
2
1
4
nn
n
n arctg
n
а)
.
Δ Поскольку n-ый член ряда содержит множитель n!, то воспользуемся для
исследования данного ряда на сходимость признаком Даламбера.
,
,
переходя к пределу, получим:
значит, по признаку Даламбера ряд расходится. Δ
б)
.
Δ Поскольку
то:
по признаку Даламбера ряд сходится. Δ
в)
.
Δ Так как общий член ряда имеет вид
нее воспользоваться признаком Коши:
, где
, то удоб-
значит, по признаку Коши ряд расходится. Δ
г)
.
19
Δ Так как
,1001
4
limlim
4
limlim
2
4
2
n
arctgn
n
arctgna
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
0c
2
1
1
n
n
n
n
c
n
.
1
lim
1
limlim
e
c
n
n
c
n
n
ca
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,1
e
с
eс
1
1
,
n
n
0
0
1
fx
x
0, 0x
1
f n n
n
1
1
,
n
n
1
dx
x
1
1
1 1 1 1
lim lim limln lim ln ,
AA
A
A A A A
dx dx dx dx
xA
x x x x
01
1
1 1 1
1
lim lim lim ,
1
A
AA
A A A
dx dx dx x
x x x
1
1
1 1 1
1
11
lim lim lim .
11
A
AA
A A A
dx dx dx
x x x x
11n
n
1
1
то по признаку Коши ряд сходится. Δ
Пример 2.3. При каких значениях постоянной
сходится ряд:
?
Δ Haходим
По признаку Коши ряд сходится, если
то есть при
. Δ
Пример 2.4. Используя интегральный признак Коши-Маклорена, исследо-
вать гармонический ряд
на сходимость.
Δ Ясно, что необходимое условие сходимости для данного строго положи-
тельного ряда выполняется только в том случае, если
. Значит, если
ряд расходится.
Функция
положительна, непрерывна и убывает при
и
. Значит, ряд
ведут себя одинаково.
При
при
при
Значит,
сходится, если
и несобственный интеграл
, и расходится при всех
. Δ
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]