Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа. Учебное пособие
.pdf
Из определения следует, что функция ()
f
x
f
x
f
f
f
f
x может иметь на
, ab
конечное число разрывов первого рода.
ТЕОРЕМА 1. Признак Дирихле (достаточный признак поточечной
сходимости).
Если периодическая на
, LL функция ()fx удовлетворяет
условиям Дирихле, то ряд Фурье сходится во всех точках, причем:
а) в точках
()Sx равна значению ()
б) в точках разрыва
где
(0)lim()
xfx
,
1
непрерывности функции ()fx сумма ряда Фурье
0
x в этих точках, т. е.
:
1
1
() ( 0) ( 0)
Sx fx fx
xx
0
1
11 1
2
(0)lim()
xfx
1
.
xx
1
0
() ()Sx f x
00
,
;
Замечание. Такая сходимость называется поточечной.
Класс функций, разложимых в ряд Фурье, гораздо шире, чем класс
функций, разложимых в степенной ряд, поскольку у функции допускаются разрывы.
Идея представлять разрывные функции рядами по синусам и косинусам, высказанная Фурье в 1807 году, была настолько нова, что
встретила энергичную оппозицию самого Лагранжа.
ТЕОРЕМА 2. Если
ряд Фурье сходится по признаку Дирихле, то он
сходится и в среднем.
ТЕОРЕМА 3. Если ()
фициенты тригонометрического ряда Фурье 0, 0
k
.
x кусочно-непрерывна на
ab при
, LL, то коэф-
kk
Отметим, что это свойство есть следствие теоремы Римана (леммы
Римана–Лебега).
ТЕОРЕМА РИМАНА. Если функция ()
x абсолютно интегриру-
ема на интервале (, )ab, конечном или бесконечном, то
bb
fx kxdx fx kxdx
lim ( ) cos lim ( ) sin 0
kk
aa
.
ТЕОРЕМА 4. Равенство Парсеваля для тригонометрического ряда
Фурье.
21
Пусть ()
f
f
f
f
f
x – кусочно-непрерывная на
вимая тригонометрическим рядом Фурье
a
fx b a
() sin cos
0
2
1
k
kx kx
kk
LL
тогда
, LL функция, предста-
,
L
1
222
()
xdx a b
L
L
2
a
0
1
k
kk
2
.
Теорема следует из равенства Парсеваля для обобщенного ряда
Фурье.
ТЕОРЕМА 5. Порядок убывания коэффициентов Фурье.
Если периодическая функция ()
x непрерывна вместе со своими
производными до (m – 1)-го порядка, а ее производная m-го порядка
удовлетворяет условиям Дирихле, то порядок убывания коэффициен-
тов Фурье
янная с, что для всех значений k
a и kb не ниже, чем
k
, т. е. существует такая посто-
11m
k
a
,
c
b
1km
k
c
.
1km
k
Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции
x
; [0, 1],
ex
()
fx
0; [ 1, 0)
x
с периодом T = 2.
Графики функции и суммы ряда Фурье (с учетом теоремы Дирихле) показаны на рис. 1. Периодическая функция ()
интервале задания (1, 1]
график суммы ряда ()
. В точках непрерывности функции ()
Sx повторяет график функции на интервале, в
x изображена на
x
точке разрыва сумма ряда есть средняя величина между значениями
функции слева и справа от разрыва (отдельно стоящая точка на графике). Стрелками показаны выколотые точки, обеспечивающие однозначность задания функции ()
фик на интервале (1, 1]
Sx. Функция ()Sx периодическая, гра-
повторяется вдоль всей оси x.
22
Рис. 1. График функции
f
()
fx
x
; [0, 1],
ex
0; [ 1, 0)
x
и график суммы ряда Фурье
Функция ()
x общего вида, поэтому ряд Фурье имеет вид
a
fx b a
() sin cos
0
2
kk
k
1
Находим коэффициенты Фурье:
11
11
afxdxedxe e
0
afx dxekxdx
k
2
1
() 1
11
10
11
1
()cos cos
1
10
xk
ee
cos sin
kx k kx
22 22
kk
2
1
kx kx
при L = 1.
LL
1
1
e
xx
kx
0
x
L
1
((1) 1)
1
0
;
;
23
11
f
1
bfx dxekxdx
k
()sin sin
1
10
kx
x
L
1
xk
Ответ:
eke
2
1
() cos sin
xkxkx
sin cos
kx k kx
22 22
kk
2
1
1 ((1) 1) ((1) 1)
ee ke
2
1
k
kk
22 22
kk
11
Функция, заданная на интервале
0
, LL
((1) 1)
.
1
.
, раскладывается на этом
интервале в ряд Фурье. Вид ряда Фурье зависит от выбора периода
разложения. Функция (сигнал) может быть задана и на полупериоде, и
на части периода. Тогда сигнал продолжают различными методами на
весь период: четным образом, нечетным образом, нулем, полиномом
(метод Малиева). В различных случаях получатся различные разложения
в ряд. Подробности разложений зависят от технической постановки задачи. В технических приложениях частоты и другие характеристики сигналов определяются имеющимся оборудованием, это относится и к периоду разложения.
Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде
Если функция задана на полупериоде (0, )L , то ее можно разло-
жить:
а) по синусам, если продолжить нечетным образом на интервал
(, 0)L , в этом случае верны все формулы для нечетных функций;
б) по косинусам, если продолжить ее четным образом на (, 0)L
и
применять все формулы для четных функций.
Продолжение функции нечетным образом получается симметричным отображением относительно начала координат. Продолжение
четным образом – зеркальным отражением относительно оси ординат.
После этого функцию, заданную на полном периоде, можно расклады-
24
вать в ряд Фурье. Графики функции и суммы ряда Фурье также изоб-
f
f
ражаются после продолжения функции на весь период.
Ошибкой является построение графика суммы ряда ()Sx и нахож-
дение самого ряда лишь по части функции ()
x на полупериоде (без
продолжения ее на полный период).
Каким образом продолжать функцию, четным или нечетным, зависит от условия задачи. Если требуется разложить функцию по синусам,
то продолжаем ее нечетным образом, если по косинусам – то четным.
Функция может быть задана и на полупериоде (, 0)L
, в этом слу-
чае следует поступить аналогично изложенному правилу, продолжив
ее на правую половину периода.
5. СПЕКТР ФУНКЦИИ. ЭНЕРГИЯ СПЕКТРА.
ОЦЕНКА ВКЛАДА k-й ГАРМОНИКИ
В ОБЩУЮ ЭНЕРГИЮ СПЕКТРА
Разложение функции в сумму простых гармонических колебаний
называется гармоническим анализом.
Пусть функция ()
x с периодом 2TL представима рядом Фурье
a
fx b a
() sin cos
0
2
1
k
kx kx
kk
LL
.
Можно переписать это разложение только по косинусам (или только
по синусам). Разложение по косинусам получается следующим образом:
aba
fx a b
() sin cos
0
2
1
k
22
kk
AA
0
kk
22 22
ab ab
kk kk
cos .
kk
1
k
kx kx
LL
kx
L
По синусам можно получить разложение аналогично.
25
Функция ()
f
x
f
f
a
0
A
0
A есть амплитудный спектр. Начальная фаза
, а
2
k
x описывает гармонические колебания, при этом
Aab есть амплитуда колебаний. Набор чисел
kkk
22
формуле
b
arg arctg
kk
A
k
a
k
определяется по
k
,
а числа
спектр – дискретные величины. Отношения
образуют фазовый спектр. Амплитудный и фазовый
k
k
представляют собой
L
волновые числа.
В физике гармонические колебания ()
() cos( )xt A t
где
t – время; A – амплитуда;
или
0
– начальная фаза; – угловая (цик-
0
t записываются в виде
() sin( )xt A t
0
лическая) частота. Рассматривается также круговая частота
В радиотехнике функцию
чают ()
t . Интеграл
()fxL
b
2
()
tdt
a
называют сигналом и обозна-
2
имеет смысл энергии сигнала.
Пример. Угловая частота гармонических колебаний
12
фаза
, смещение точки от нулевого положения через 2 секунды со-
6
ставляет 0,1. Найти амплитуду гармонических колебаний.
() cos
xt A t
0,1 cos
12 6
A
A
,
, x = 0,1, t = 2. Отсюда 0,1 cos 2
.
0, 2A
A
32
,
2 k
.
T
, начальная
12 6
,
26
Можно показать, используя равенство Парсеваля, что
E
E
E
L
f
f
спектра
находится по формуле
LA
1kk
2
,
энергия
L
2
()
fxdx L
L
2
a
0
.
2
Энергия k-й гармоники есть
2
LA ,
kk
доля k-й гармоники в общей энергии спектра равна (в процентах)
а
2
ELA
kk
E
100 %
L
k
Замечания: 1) для функций общего вида
2) для четных функций
3) для четных и нечетных функций
Aa, для нечетных функций
kk
100 %
2
xdx L
()
.
2
a
0
2
2
Aa b
kk k
LL
22
() 2 ()
xdx f xdx
L
22
0
;
Ab;
kk
.
Чтобы получить более точное приближение сигнала, т. е. более высокий процент энергии при учете меньшего числа членов ряда, рассматривают быстросходящиеся ряды.
27
6. МЕТОД МАЛИЕВА ПОСТРОЕНИЯ
f
f
f
f
f
БЫСТРОСХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА
Для построения быстросходящихся рядов используется следующая
теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть функция ()
порядка на интервале (, ]LL
() ()
LfL ; ( ) ( )
LfL
x дифференцируема до (m + 1)-го
и пусть
() ()
; …;
mm
() ()
Lf L .
Тогда существует такая постоянная c, что
c
a
,
b
1km
k
c
при
1km
k
k .
Если нас не интересует поведение функции слева от нуля, что часто случается в физических приложениях (например, x понимается как
время 0t ), то мы вправе рассматривать вместо заданной на полупе-
риоде [0, ]L функции функцию, продолженную на (, 0)L
каким-
либо образом.
Можно улучшить сходимость ряда для заданной на полупериоде
функции, если не продолжить ее четным или нечетным образом, а
продолжить так, чтобы функция удовлетворяла условиям теоремы 1.
Берется многочлен степени 21tm
c
,
a
k
, тогда сходимость будет
c
.
b
1km
1km
k
Описанное выше явление Гиббса – дополнительное предостережение против прямого использования рядов Фурье в вычислениях, если
только коэффициенты их не убывают хотя бы как
,
k
kx
c
4
k
c
. Здесь m = 3, 2 3 1 5t.
b
k
4
k
Пример. Пусть () , [0, 1]
функции ()
x , чтобы
fx e x. Построим продолжение
a
3
k
.
Строим
()
Fx
() , [1, 0].
Gxccxcxcxcxcxx
01 2 3 4 5
fx e x
kx
() , [0, 1];
2345
28
Коэффициенты
f
, 0;5
ci находятся из условий (их иногда назы-
i
вают «условия сшивки»):
fG
(0) (0),
fG
(0) (0),
fG
(0) (0),
откуда
1;
c
0
ck
1
k
c
2
2
;
2
.
Коэффициенты
Читателю предлагается самостоятельно найти
, , ccc находятся из граничных условий:
345
fG
(1) ( 1);
fG
(1) ( 1);
fG
(1) ( 1).
, , ccc из систе-
345
мы трех линейных алгебраических уравнений и убедиться, что при таком продолжении функции коэффициенты ряда быстро убывают и ряд
быстросходящийся.
7. ПРИМЕРЫ
Пример 1.
Найти для функции () sign
xx , заданной на интерва-
ле (–π, π), число гармоник, содержащих в сумме не менее 90 % энергии.
В примере (см. стр. 17) уже найдены для этой функции коэффици-
енты разложения:
четных
k.
aa
00k
Поскольку функция нечетная,
44 4
будет
A
k
, , , ...
23
b
,
.
0
при четных k и
k
Ab
kk
4
, амплитудный спектр
k
4
b
k
при не-
k
29
Энергия
x
Энергия
Доля
k-й гармоники
(sign ) 2Exdxdx
ELA
2
k-й гармоники в общей энергии спектра равна (в процентах)
2
kk
k
.
.
2
k
2
416
E
k
k
100 %
E
8 100 %
22
k
2(9,86) ,
90,14 %
.
12
81,13 % ,
1
9,01 %
,
2
По условию задачи достаточно двух гармоник.
0, 0,
Lx
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию
Выразить вклад
k-й гармоники в энергию спектра.
()
fx
,0 .
xL
Эта функция общего вида, симметрией не обладает, следовательно,
нужно находить все виды коэффициентов ряда Фурье по общим формулам.
L
1
axdx
0
L
0
LL
11
ax dxx dx
k
LLLLkkL
1
cos (cos 1) (( 1) 1)
kLk
kx kx L L kx
cos sin sin
00
L
kx L L L
22 22
kk
0
0, 2 ,
kn
2
L
22
k
, 2 1.
L
.
2
L
0
k
kn
k
2
Следовательно,
a
k
L
22
n
(2 1)
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]