Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа. Учебное пособие
.pdf
b
f
22
()
xdx c c
a
nn
kk k
kk
11
2
.
Первое и последнее слагаемые не зависят от выбора многочлена
Qx, а среднее слагаемое достигает минимума при
()
n
c , что и
kk
требовалось доказать.
Свойство 2. Неравенство Бесселя
b
22
cfxdx
k
1
()
a
k
n
, или
n
2
cf
k
1
k
2
.
Доказательство
Из доказательства теоремы (свойство 1) следует, что при
выполняется
b
2
() () 0
fPx fxdx c
nk
22
a
k
n
, откуда следует нера-
1
венство Бесселя.
Свойство 3. Равенство Парсеваля
b
22
cfxdx
k
1
()
a
k
, или
2
cf
1kk
2
.
Доказательство
Из определения сходимости в среднем (2) и неравенства Бесселя
2
() 0
fPx при n , т. е.
n
b
22
() 0
fxdx c
a
k
n
, что и требова-
k
1
лось доказать.
c
kk
11
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
1. ПРИМЕРЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ В
L
СИСТЕМ
2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Выше рассмотрен обобщенный ряд Фурье с некоторым бази-
. Известно, что волновые процессы в физике описываются
сом
k
через тригонометрические функции – синусы и косинусы. Приведем
L
примеры ортогональных в пространстве
систем тригонометриче-
2
ских функций, которые, как можно показать, являются полными, и далее их можно будет выбирать в качестве базисов рядов Фурье.
Пример 1. Система функций
sin , cos , ...kx kx на интервале (, ]
1, sin , cos , sin 2 , cos 2 , ...,xx x x
или на [0, 2 )
(период T = 2π).
Проверим, чему равны скалярные произведения различных функций в
L .
2
mx kx mx kx dx m k x m k x dx
(sin , cos ) sin cos sin( ) sin( )
()
mk
1cos( ) cos( )
2
cos ( 1)
mkx mkx
mk mk
k .
k
1
2
0
. Здесь использована формула
Вообще формулы
kk
cos ( 1) , sin 0
k
(k – целое)
часто используются при решении задач, и их следует запомнить.
mx kx mx kx dx m k x m k x dx
(sin , sin ) sin sin cos( ) cos( )
()
mk
1
2
12
1sin( ) sin( )
2
mkx mkx
mk mk
.
0
mx kx mx kx dx m k x m k x dx
(cos , cos ) cos cos cos( ) cos( )
()
mk
1sin( ) sin( )
2
(1, sin ) sin 0
(1, c o s ) cos 0
kx kx kx dx kx dx
(cos , cos ) cos (1 cos 2 )
mkx mkx
mk mk
kx kx dx
kx kx dx
1
xkx
2
1
2
.
0
.
.
cos
2
1
2
sin 2 .
k
kx
k
sin
kx
k
1
2
Следовательно,
2
12, 12dx
систему функций
cos kx
1sin cos
; ; , 1, 2, ...
2
. Аналогично вычисляем sin kx
. Отсюда получаем ортонормированную
kx kx
13
k
.
L
f
f
Видно, что единичная функция в пространстве
ничную норму, как можно было бы предположить по аналогии с дли-
ной в пространствах
синуса:
ции синус и косинус по модулю единицу не превосходят.
Равенства нулю скалярных произведений функций и отличие от
нуля скалярных квадратов функций и означает ортогональность системы функций.
Замечание. Для любой периодической функции с периодом T
интегрирование можно проводить по любому промежутку длины T,
при этом результат не изменится. Например, ( ) sin
2
0
Таким образом, ортогональные на интервале (, )
остаются ортогональными на любом отрезке длины 2T
на [0,2 ) .
Пример 2. Система функций
Проверяем ортогональность, как и в примере 1, вычислением соответствующих скалярных произведений функций.
Пример 3. Система функций
Показывается ортогональность аналогично примеру 2.
Пример 4. Система функций
интервале (, ]LL (период 2TL
Пример 4 сводится к примеру 1 заменой
обобщением при 2TL
Пример 5. Система функций
1, 2 , . . .k на [, ]ab (период
превосходит единицу, в то время как «школьные» функ-
()sin
xkxdx
.
,EE . Такая же ситуация с нормами косинуса и
23
sin kx , k = 1, 2,… на интервале [0, )
1, c o s kx , k = 1, 2,… на интервале [0, )
kx kx
.
1, c o s , sin , 1, 2, . . .
).
Tba
).
LL
k
L
2( ) 2( )
kx a kx a
1, c o s , sin ,
ba ba
имеет не еди-
2
xkxdx
функции
, например,
k
на
m
и является его
.
.
14
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
f
f
f
f
В РЯД ФУРЬЕ НА ПРОМЕЖУТКЕ (–π, π) (ПЕРИОД
T
= 2π)
Пусть имеется ортогональная система
периодических на (, )
функций.
1, s i n , coskx kx , k = 1, 2,…
Линейная комбинация функций
a
0
1 sin cos ... sin cos ...
bxa x b kxa kx
11
2
kk
есть периодическая функция. И, наоборот, периодичную функцию
()
x с периодом 2T
представим рядом
a
() sin cos
0
xbkxakx
2
kk
1
k
, (1)
который называется тригонометрическим рядом Фурье. Коэффициенты
тригонометрического ряда Фурье находятся из общих формул для :
(, cos ) 1
fkx
afxkxdx
k
(, sin ) 1
fkx
bfxkxdx
k
sin
a
0
22
2
cos
kx
2
kx
(, 1) 1
f
2
1
()cos
()sin
xdx
()
,
, (2)
.
c
k
Разложить функцию в ряд Фурье означает найти коэффициенты
, ,
aab и подставить их в формулу (1).
0
kk
Замечание. Если сказано, что функция ()
x периодическая, то ра-
венство (1) имеет место на всей числовой оси в точках непрерывности
функции. Далее это более детально указано в теореме Дирихле. Если
функция дана на промежутке (, )
, то равенство (1) верно для точек
непрерывности лишь на этом промежутке.
15
Поэтому часто пишут ()
f
f
f
f
x ~
0
2
bkxa kx
. Здесь
sin cos
kk
1
k
a
знак «~» означает просто соответствие: функции ставится в соответствие ее ряд Фурье. Мы же в дальнейшем, учитывая это замечание,
будем писать знак «=», что довольно распространено в литературе.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
Случай 1. Функция f(x) четная
Найдем коэффициенты Фурье:
12
a fxkxdx fxkxdx
k
xkx.
()cos
bfxkxdx
k
()cos ()cos
1
()sin 0
0
в силу нечетности подынтегральной
в силу четности функции
функции.
12
0
() ()afxdxfxdx
0
.
Следовательно, для четной функции
a
0
() cos
xakx
2
k
k
1
,
2
0
0
2
afxkxdx
k
0
()cos
, (3)
()afxdx
.
Случай 2. Функция f(x) нечетная
Аналогично случаю 1 получаем, что
представляют собой интегралы от нечетных функций ()
16
aa , поскольку они
00k
x и
()cos
f
f
x
xkx по симметричному промежутку. Ряд Фурье для нечетной
функции имеет вид
() sin
xbkx
k
1
k
,
где
2
bfxkxdx
k
0
()sin
, (4)
aa
00k
.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию sign
1; 0,
(, ) , т. е.
fx x
() 0; 0,
1; 0 .
Поскольку функция нечетная, получаем
b вычисляем по формуле (4) для нечетных функций:
ент
k
22 2cos
b kxdx kxdx
k
22
(cos 1) (1 ( 1) ) , 1, 2, ...
kk
1sin sin
00
kn
x
x
aa . Коэффици-
00k
kx
k
0, 2
kn
k
4
,21
kn
k
Тогда разложение функции в ряд имеет вид
sign sin ...
4sin(21) 4 sin3sin5
xx
n
nx x x
21 3 5
n
1
Из задачи следует интересный результат при значении
1
411 (1)
1 1 ... ...
35 2 1
nn
, откуда получаем
на интервале
0
.
x
:
2
17
f
f
x
f
x
x
x
x
357
.
111
4 1 ...
Рассмотрим функции, имеющие разрывы первого рода. Частичные
суммы ряда Фурье таких функций обладают одной особенностью. При
()
Sx
сколь угодно большом значении n частичная сумма
отклоняться от функции ()
x на сколь угодно малую величину.
может и не
n
Отклонение вблизи точки разрыва функции может быть довольно
ощутимым. Когда число членов в частичной сумме возрастает, эта
особенность не пропадает, а продвигается ближе к точке разрыва. Это
явление называется явлением Гиббса. Такой эффект появляется из-за
отсутствия равномерной сходимости ряда к функции. Если же ряд
равномерно сходится к заданной функции, то на всем проме-
Фурье
жутке отклонение частичной суммы ряда от графика функции не превосходит некоторой достаточно малой величины.
Функция () sign
xx
на интервале (–π, π) дает пример возникно-
вения явления Гиббса. Ее частичная сумма
4 sin3 sin 5 sin(2 1)
( ) sin ...
Sx x
n
имеет n экстремальных точек
35 21
k
, 1, 2, ...,
2
n
xnx
n
kn
, на отрезке
0,
.
2
В первой из точек экстремума максимум достигает значения примерно 1,179, что дает почти 18 % отклонения от единицы.
Замечание. Разложением в ряд Фурье может быть и сама функция.
Например, ряд Фурье для функции () 5sin3
состоит из одного члена
5sin3
xx на интервале (, )
с коэффициентом
5b
. Остальные
3
коэффициенты Фурье равны нулю, т. е. рядом Фурье является сама
функция – это объясняется тем, что
целом k). Для сравнения:
sin
на том же интервале представи´ м обыч-
есть базисный вектор (при
sin 3
3
ным рядом Фурье.
Пример 1. Не вычисляя, написать разложение функции () 2fx
4cos 3sin2
x в ряд Фурье (период 2T ).
18
Функции
f
f
f
x
f
( ) 2 4cos 3sin 2 cos sin 2
xxxaxbx , откуда находятся
коэффициенты ряда
0
a
k
,
b
1, c o s , s i n 2xx являются базисными. Рассмотрим
a
0
12
2
a
0
2, 4, 3
ab
. Остальные коэффициенты
2
0
. Несложно проверить, что по формулам (2) получается
k
11
тот же результат.
Это также пример функции, совпадающей со своим рядом Фурье.
Пример 2. Найти коэффициент
3
12yx x . Поскольку функция нечетная, все коэффициенты при
четных слагаемых нулевые, 0
a
k
, поэтому и
a ряда Фурье функции
4
0a
.
4
3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В РЯД ФУРЬЕ НА ПРОМЕЖУТКЕ (–
L, L
) (ПЕРИОД T = 2L)
Если функция ()fx является 2L-периодической, то функция
L
x
является 2π-периодической и для нее справедливы формулы
разложения в ряд из пункта 2.
Аналогично тогда выводятся формулы и для функции ()
заменить переменную
L
t
, учесть
LL
d x dt dx
x , если
, записать все
интегралы от новой переменной t и обозначить потом для единообразия все переменные опять через x. Получаем в общем случае для
2L-периодической функции следующие формулы:
a
fx b a
0
() sin cos
2
1
k
kx kx
kk
LL
;
1
L
L
L
L
()
xdx
L
()cos
19
;
kx
;
a
0
22
1
afxdx
k
LL
L
f
f
1
bfxdx
k
()sin
LL
L
kx
.
В частных случаях формулы тоже получаются аналогичными
предыдущим.
b
Для четных функций 0
fx a
() cos
afx dx
k
, формулы имеют вид:
k
a
0
afxdx
2
1
k
L
2
L
0
()cos
()
0
L
2
LL
0
kx
k
L
;
kx
.
;
Для нечетных функций
Замечание. 1. Если функция ()
разложение в ряд справедливо для функции ()
, LL , а сумма ряда Фурье ()Sx есть функция периодическая.
2. Более строгая запись
ния функции ()Sx. Можно также использовать запись
aa
00k
fx b
() sin
L
2
bfx dx
k
LL
0
, поэтому формулы будут:
1
k
()sin
kx
k
;
L
kx
.
x задана только на
x только на интервале
, LL
обеспечивает корректность зада-
, LL.
4. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ
Определение.
Говорят, что функция ()fx удовлетворяет на
условиям Дирихле, если она кусочно-монотонна и ограничена на
20
, LL, то
, ab.
, ab
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]