Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа. Учебное пособие
.pdf
LL
x
E
f
11
bx dxx dx
k
LLL LkkL
kx kx L L kx
sin cos cos
00
22
1
LL
Lk
k
(1) sin
22
k
L
0
1
k
(1)
k
k
L
.
Отсюда имеем разложение в ряд
kx
1
k
cos(2 1) ( 1) sin
fx
LL L
()
4
22
11
nk
2
n
n
(2 1)
LL
.
k
Для единообразия записи можно обозначить в первой сумме
E
Вклад
k-й гармоники 100 %
, где общая энергия
L
0
k
k
E
2
15
L
23
xdx L L
,
42 24
nk
.
равен
E
k
Пример 3. Разложить функцию () 3
3
L
, четное;
k
22
33
LL
22 44
kk
k
4
, нечетное.
k
xx , заданную на интервале
(–2, 2], в ряд Фурье. Найти число гармоник, содержащих в сумме не
менее 90 % энергии.
Функция нечетная, поэтому в разложении в ряд Фурье
22
2
bxdxxdx
k
3 sin 3 sin интегрируем по частям
22 2
00
kx kx
aa
00k
.
31
2
22 12
3sin cos (1)
22
k
kx x kx
22
kk
2
k
1
.
0
Порядок убывания коэффициентов ряда для нечетной функции
c
b
~
, что соответствует результатам теоремы 5.
k
k
1
k
fx
1
k
12 ( 1)
() sin
k
kx
.
2
Для нечетной функции формула для энергии
L
222
2()23 48
Efxdx xdx
00
Энергия
Вклад
k-й гармоники в общую энергию (в процентах) есть
Вычисляем:
6
3
,
100 % 2, 43 %
100 % 6,75 %
2
9
2
, поскольку
0
k-й гармоники для нечетной функции равна
23
43 2 288
22
EALbL
kk k
E
k
k
6
1
6
100 % 100 %
E
100 % 60,79 %
2
,
4
6
100 % 1,68 %
2
36
22 22
kk
6
22
k
,
2
6
100 % 3,79 %
2
16
.
0a
.
.
2
E имеет вид
.
6
100 % 15,20 %
4
,
5
В сумме вклад шести гармоник равен 90,64 %, что соответствует
условию задачи.
Пример 4. Разложить функцию
fx
()
x
6; ( 2,0]
в ряд Фурье,
x
6; (0, 2],
найти число гармоник, дающих в сумме не менее 90 % энергии.
,
6
2
25
32
Функция нечетная, поэтому разложение будет
1
k
26 1 (1)
() sin
fx
1(1)
1
k
kkn
2, нечетное,21
1
k
0, четное,
k
k
kx
2
(2 1)
nx
sin
46
1
n
2
n
21
24 1 3 1 (2 1)
xx nx
sin sin ... sin ...
23 2 21 2
n
.
Порядок убывания коэффициентов (при нечетных значениях k)
имеет вид
Вычисляем энергию сигнала
b ~
k
c
.
k
2
2
26 144Edx.
0
Далее при нечетных значениях k имеем
22
16 6 2 16 6 2
2
EbL
k
k
22 2 2
kn
(2 1)
.
Вклад k-й гармоники в общую энергию есть
E
k
k
100 % 100 % 100 %
E
88
22 2 2
kn
(2 1)
.
При четных значениях k вклады гармоник в энергию нулевые.
Получаем
E
1
3
100 % 100 % 81, 06 %
1
E
E
2
100 % 100 % 9,00 %
E
8
2
8
2
,
,
9
что достаточно по условию задачи, так как
33
13
90,06 %
.
() 2
f
f
f
Пример 5. Разложить функцию
xx
на интервале (1, 1) в
ряд Фурье. Определить порядок убывания коэффициентов ряда и
найти вклад первой гармоники в энергию.
Функция ()
имеет вид
Находим
x четная, поэтому 0
a
() cos
axkxdx
k
0
xakx
.
2
22
axdx
0
1
1
22
1
0
221
22
k
k
k
1
1
.
0
2
cos интегрируем по частям
2
11
4cos sin
22
k
k
(( 1) 1)
b , разложение в ряд Фурье
k
x
kx kx
k
0; 2 ;
8
n
kn
22
(2 1)
1
0
kn
; 2 1.
Следовательно,
() 1 cos 1
fx kx
4(1)1 8cos(21)
22 2 2
kn
Видно, что порядок убывания коэффициентов ряда
k
kn
11
nx
(2 1)
a ~
k
.
1
.
2
k
Для четной функции вычисляем энергию
11
22
2() 124
Efxdx xdx
00
2
a
0
223
34
3
41 2
.
Энергия k-й гармоники равна
f
что
kk
44
k
64
2
EaL
, откуда находим,
В частности,
E
96
1
n
n
E
100 % 98,55 %
4
100 % 100 %
96
44
n
(2 1)
.
.
Для четной функции сумма ряда Фурье есть функция непрерывная
и порядок убывания коэффициентов ряда более высокий, чем для нечетной функции, т. е. ряд быстрее сходится. Уже первая гармоника
дает больший вклад в энергию, чем у нечетной функции (сравните с
примерами 2 и 3).
Пример 6. Функция
Функция четная, поэтому
2
25
2
axdx
k
22
2 5 2 2 1 2 1 80( 1)
22 2
cos 2 раза интегрируем по частям
0
223
xkxx kx
cos sin
22 33 22
kkk
() 5
xx задана на интервале (2, 2].
() cos
fx a
axdx
0
kx
2
a
0
25 40
23
22
1
k
2
2
0
kx
k
.
.
2
k
,
k
0
c
откуда порядок убывания коэффициентов
20 80 ( 1)
() cos
fx
Разложение в ряд есть
32
35
a ~
22
k
1
.
k
2
k
k
kx
.
k
Энергия вычисляется как
f
f
f
22
24
2() 225
Efxdx xdx
00
2
a
0
2945
16 5 2
2
EaL
kk
вклад k-й гармоники в энергию есть
90
1
100 % 92,39 %
4
.
44
25 25
45 2 85 2
25
,
k
E
k
k
100 % 100 %
E
90
44
;
k
Выводы получаются такими же, как и в предыдущем примере.
Сведение к нечетной функции
В некоторых случаях функцию общего вида можно привести к
функции, обладающей симметрией (нечетной либо четной), что упрощает вычислительную часть задачи. Рассмотрим этот подход на примерах.
5; [0, 2],
x
Пример 7. Функция
щего вида. Приведем ее к нечетной функции:
3; [0, 2],
xx
3; ( 2, 0).
ние
() 2 ()
xfx .
Графики функций ()
Вернуться к функции ()fx можно через соотноше-
1
x ,
()
fx
1; ( 2 , 0 )
x
()fx и суммы ряда Фурье ()Sx (с учетом
1
является функцией об-
() () 2fx fx
1
теоремы Дирихле) показаны на рис. 2. График ()Sx строится по гра-
фику исходной функции ()
x , а вспомогательная функция 1()fx ис-
пользуется для нахождения ряда Фурье (с последующим сдвигом).
Ошибкой будет здесь построение графика ()Sx по новой симмет-
ричной функции
()fx .
1
,
36
а
б
Рис. 2. График f(x), f
37
(x) и S(x)
1
Раскладываем функцию
f
f
f
f
функций:
fx b
1
1
k
() sin
как
()fx
в ряд по формуле для нечетных
1
kx
k
. Здесь коэффициенты ряда вычисляются
2
2
226
bdx
k
22 2
0
kx kx
3sin 3 cos (1 ( 1) )
kk
2
0
k
1
.
Получаем
1
k
61(1)
() sin
fx
1
1
k
kx
,
2
тогда разложение исходной функции в ряд Фурье имеет вид
1
k
() 2 sin
fx
61(1)
k
1
kx
.
2
Замечание. Если в этом примере вычислить по общим формулам
4, 0
коэффициенты, то нетрудно убедиться, что
a
4
0
нас сразу получилось
, это и есть сдвиг на две единицы при
2
aa . В ответе у
0
k
22
сведении исходной функции к нечетной функции.
Пример 8. Дана функция () 4 3
xx
на интервале (, )
, яв-
ляющаяся функцией общего вида. Если пользоваться общими формулами для вычисления коэффициентов ряда, то придется считать три
,,
коэффициента
Введем вспомогательную функцию
aab
0
kk
.
() () 4 3
xfx x
1
, являю-
щуюся нечетной, и разложим ее в ряд Фурье.
Аналогично примеру 3 для функции вида ()
xbx на интервале
(,)LL находим разложение
1
k
(1)
1
(при 3,bL).
k
38
xkx
() 6 sin
1
k
Тогда получаем
f
f
f
f
f
f
f
1
k
(1)
1
.
k
k
xkx
() 4 6 sin
На рис. 3 показаны графики функции и суммы ряда Фурье. Вспомогательную функцию
график ()
x на четыре единицы вверх.
()fx можно изобразить аналогично, перенеся
1
Рис. 3. Графики функции () 4 3
Пример 9. Функция
xx
и ее суммы ряда Фурье
() 2 3
xx
2
задана на полупериоде (0, 1].
Разложить ее в ряд Фурье по синусам.
Следует продолжить функцию ()
x на интервал (1, 0) нечетным
образом. Графики функции (после нечетного продолжения) и суммы
ряда Фурье показаны на рис. 4.
() 2 3
Разложение в ряд Фурье периодической функции
периодом 2T (1L
) имеет вид 1() sin
39
xbkx
k
. Находим
k
xx
2
с
1
f
2(2 3 )sin 2 раза интегрируем по частям
bxkxdx
k
0
2
22sin12
2 ( cos ) 3 cos cos
kk
1
kx x kx kx
0
23
k
xkx
2(1) 1 1 3( 1)
22 33
kk
11
kk
2
22
k
.
1
0
Получаем ряд Фурье
23sin
() 2(1) 1 1 3(1)
fx
k
1
11
kk
22
k
kx
.
k
Рис. 4. Графики функции
() 2 3
xx и суммы ряда Фурье
40
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]