Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
X(x)T′(t) = a2X′′(x)T (t).
❒û èùåì нетривиальное решение✱ поэтому ñ÷èòàåì
T (t) 6= 0
ãäå
✳ Ðазделим переменные✿
X′′(x)
X(x)
=
T′(t)
a2T (t)
λ2✖ êîíñòàíòà✱ îòличная îò íóëÿ✳
= −λ2,
Получаем систему уравнений
(
′′
(x)
X
X(x)
′
T
(t)
a2T (t)
= −λ2,
= −λ2,
(
X′′(x) + λ2X(x) = 0,
T′(t) + λ2a2T (t) = 0.
➬апишем толькî нетривиальные решения уравнений систе✲
ìû ✭â функции
T (t)
отбросим постоянную èнтегрирования✮✿
(
X(x) = C1cos λx + C2sin λx,
2a2
−λ
t
,
зависÿò îòλ✳
ãäå постоянные
T (t) = e
C1= C1(λ)èC2= C2(λ)
➹раничных óсловий ó íàñ íåò✱ ïîэтому ïараметрλпроиз✲
вольный✳ ➶ернемсÿ ê функциè
u(x, t) = e
−λ
u(x, t) = X(x)T (t)
2a2
t
C1cos λx + C2sin λx.
✿
X(x) 6= 0
✱
➪óäåì èñêàòü решение уравнения ✭✷✳✹✸✮ â âèäå áåñêонечного ðÿäà
X
e
λ
−λ
2a2
t
C1(λ) cos λx + C2(λ) sin λx.
➶ñå çíàченияλравноценны✱ поэтому заменим ñóììó ïî êàæ✲
äîìó çíàчениюλíà интеграл ïî параметруλîò
−∞äî∞
✳
✶✵✶
Ïîëîæèì
∞
u(x, t) =
Z
e
−∞
−λ
2a2
t
C1(λ) cos λx + C2(λ) sin λxdλ.
✭✷✳✹✺✮
Проверим✱ ÷òî данная функция являетсÿ решением уравне✲
íèÿ ✭✷✳✹✸✮✳ Применим формуëó дифференцирования ïîä çíàêîì
интеграла ✭ñ÷èòàåì✱ ÷òî соответствующие несобственные интегра✲
ëû ñõîäÿòñÿ✮✳ ➘ифференцируåì ✭✷✳✹✺✮ äâàæäû ïîx✿
∂u(x, t)
∂x
∂2u(x, t)
2
∂x
=
−∞
= −
Z
λe
∞
Z
−∞
−λ
λ2e
2a2
t
− C1(λ) sin λx + C2(λ) cos λxdλ,
2a2
t
−λ
C1(λ) cos λx + C2(λ) sin λxdλ.
∞
❰ñòалось ïðîдифференцировать ✭✷✳✹✺✮ ïîtè ïîäñòавить â
уравнение ✭✷✳✹✸✮✿
∞
∂u(x, t)
∂t
=
Z
−λ2a2e
−∞
−λ
2a2
t
C1(λ) cos λx + C2(λ) sin λxdλ.
➘ействительно✱ выражåíèå ✭✷✳✹✺✮ являетсÿ решением óðàâ✲
нения ✭✷✳✹✸✮✳ Перехîäèì теперь ê íàчальному óсловию ✭✷✳✹✹✮✿
∞
Z
u(x, 0) = f (x) =
C1(λ) cos λx + C2(λ) sin λxdλ
−∞
Ïîëîæèâ êоэффициåíòû
C1(λ) =
∞
Z
1
f(ξ) cos λξdξ, C2(λ) =
π
−∞
∞
Z
1
f(ξ) sin λξdξ,
π
−∞
✶✵✷
✭✷✳✹✻✮
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
выражåíèå
u(x, 0)
являетсÿ представлением функции
f(x)
â âèäå
интеграла Фурье ✭ñì✳ ñòð✳✼✾✮✿
f(x) =
1
2π
Z
−∞
∞
dλ
∞
Z
f(ξ) cos λ(ξ − x)dξ.
−∞
Ïîäñòавляя выражåíèÿ äëÿ êоэффициентов ✭✷✳✹✻✮ â ôóíê✲
öèþ
u(x, t)
u(x, t) =
✭✷✳✹✺✮✱ получим
∞
Z
1
f(ξ)dξ
−∞
∞
Z
1
f(ξ)dξ
−∞
=
2π
2π
Z
−∞
Z
−∞
∞
∞
2a2
t
−λ
e
−λ
e
cos λξ cos λx + sin λξ sin λxdλ =
2a2
t
cos λ(ξ − x)dλ.
➶ ñèëó òîãî✱ ÷òî ïîдынтегральная функция четная ïîλ✱ имеем
∞
Z
2a2
t
−λ
e
0
cos λ(ξ − x)dλ.
✭✷✳✹✼✮
u(x, t) =
1
π
Z
−∞
∞
f(ξ)dξ
Функция ✭✷✳✹✼✮ являетсÿ решением уравнения ✭✷✳✹✸✮✳
➓✾✳ Пример дифференциального уравнения вращения
òâåðäîãî òåëà вокруг íåïîдвижной îñè
Приведем пример ïðименения ðÿäîâ Фурье ïðè решении çà✲
äà÷è теоретическîé ìåõàíèêè✳
Пример✳
Òâåðäîå òåëî✱ ïîдвешенное íà упругой проволокå✱
совершает крутильные êолебания ïîä действием внешнего момен✲
òà
m = f(t)
✱ ãäå
f(t)
✖ îднозна÷íàÿ периоäè÷åñêàÿ функция ïå✲
ðèîäàτ❀c✖ êоэффициент упругости проволоки✱ упругий момент
êоторой пропорционален óãëó закручивания✿
mz= −cϕ
✳
✶✵✸
❰пределите çàêîí вынужден✲
íûõ крутильных êолебаний
òâåðäîãî òåëà✱ åñëè åãî ìî✲
ìåíò инерции относительно
îñèz✱ направленной вдоль
проволоки✱ равен
сопротивления пренебречь✳
Ðешение✳
Функция
óдовлетворÿåò óсловиям ➘è✲
рихле✱ ïîýòîìó å➻ ìîæíî ðàç✲
ëîæèòü â ðÿä Фурье íà интер✲
âàëå
Ðèñ✳ ✷✹
[0, τ]
✳ Перейдем ê îáîçíàчениям✱ êоторые использовались ðà✲
íåå✱ заменимτíà2l✳ Òîãäà разлоæåíèå â ðÿä Фурье íà
∞
X
f(t) =
a
0
+
2
ancos
n=1
nπ
t + bnsin
l
nπ
l
t.
✃оэффициенты вычисляютсÿ ïî формуëàì✿
Iz✳ Силой
m = f (t)
[0, 2l]
✿
a0=
2l
Z
1
f(t)dt, an=
l
0
bn=
1
l
2l
Z
0
f(t) sin
1
l
Z
0
nπ
2l
l
f(t) cos
tdt.
➘ифференциальное уравнения вращения òâåðäîãî òåëà âî✲
êðóã îñèzимеет âèä✿
n
X
Iz¨ϕ =
k=1
mz(F
e
).
k
Òàê êàê моменты ñèëû âåñà òâåðäîãî òåëà è ñèëû ðåàêöèè
проволоки относительно îñèzравны íóëþ✱ òî
✶✵✹
nπ
tdt,
l
✭✷✳✹✽✮
✭✷✳✹✾✮
n
X
k=1
mz(F
➹ëàâà ✷✳
e
) = mz+ m = −cϕ + f (t).
k
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Учитывая разлоæåíèå â ðÿä Фурье функции
f(t)
✱ çàïèøåì✿
n
X
k=1
mz(F
e
) = −cϕ +
k
∞
X
a
0
+
2
ancos
n=1
nπ
t + bnsin
l
nπ
t.
l
➶ернемсÿ ê уравнению ✭✷✳✹✾✮✿
∞
Iz¨ϕ = −cϕ +
X
a
0
+
2
ancos
n=1
nπ
t + bnsin
l
nπ
t.
l
❒û получили дифференциальное уравнения вынужденных
крутильных êолебаíèé òâåðäîãî òåëà✳ Ðазделим уравнение íà
обозна÷èì
¨ϕ + k2ϕ =
k2=
c
✿
I
z
∞
2I
0
+
I
z
z
ancos
n=1
X
1
a
nπ
t + bnsin
l
nπ
l
t.
Izè
✭✷✳✺✵✮
Полученное уравненèå являетсÿ линейным íåîднороäíûì диффе✲
ренциальным уравнением ✷✲îãî ïîðÿäêà ñ постоянными êоэффи✲
циентàìè ñî специальной правой частьþ ✭❬✺✱ ñòð✳ ✷✺✸✕✷✽✹❪✮✳ ➘ëÿ
определения çàêîíà вынужденных крутильных êолебаний äîñòà✲
точно найти толькî частное решение✳ ➪óäåì èñêàòü åãî â âèäå✿
∞
ϕ÷í= A0+
X
Ancos
n=1
nπ
t + Bnsin
l
nπ
t.
l
✭✷✳✺✶✮
❮еизвестные êоэффициенты
A0✱
Anè
Bnнайдем ñ ïîìî✲
ùüþ ìåòîäà неопределенных êоэффициентов✳ Ïðîдифференциру✲
åì✶✻дважды
✶✻
Ñ÷èòàåì✱ ÷òî ðÿä ✭✷✳✺✶✮ ñõîäèòñÿ✱ à òàêæå ñõîäÿòñÿ ðÿäû✱ êоторые получа✲
ϕ÷í✿
✶✵✺
∞
X
˙ϕ÷í=
n=1
¨ϕ÷í= −
nπ
l
− A
2
n
∞
X
n=1
nπ
l
è ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå ✭✷✳✺✵✮✿
nπ
sin
Ancos
l
t + B
nπ
nπ
n
t + Bnsin
l
nπ
cos
l
nπ
t,
l
t
l
∞
X
2
l
Ancos
n=1
+ k
2
∞
X
n=1
=
nπ
t + Bnsin
l
Ancos
a
0
+
2I
z
1
I
z
nπ
t + Bnsin
l
∞
X
n=1
nπ
t+ k2A0+
l
ancos
nπ
nπ
t=
l
t + bnsin
l
nπ
t.
l
−
nπ
➶ равенстве слева è справа íàõîäÿòñÿ тригонометрические
многочлены✳ ➘ëÿ òîãî чтобы îíè áûëè равны✱ ïðиравняем посто✲
янные ñëàãаемые è êоэффициенты ïðè ñèíóñàõ è êосинуñàõ✿
a
0
2I
,
z
1
an,
I
z
1
bn.
I
z
−
−
k2A0=
2
nπ
An+ k2An=
l
2
nπ
Bn+ k2Bn=
l
Следовательно✱ неизвестíûå êîэффициенты✿
A0=
a
2k2I
a
0
0
=
,
2c
z
þòñÿ èç äàííîãî ïðè двукратном почлеííîì дифференцировании ïît✳
✶✵✻
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
a
An=
Bn=
I
z
I
z
k2−
k2−
n
2
nπ
l
b
n
2
nπ
l
Ïîäñòавляя êоэффициенты
=
=
A0✱
l2k2− n2π
I
z
I
l2k2− n2π
z
Anè
l2a
n
,
2
l2b
n
.
2
Bnâ ✭✷✳✺✶✮✱ получим
уравнение вынужденных крутильных êолебаний òâåðäîãî òåëà✿
X
a
0
ϕ÷í=
2c
+
n=1
ãäå êоэффициенты
➶ случае êîãäà
∞
I
a0✱
z
2
l
l2k2− n2π
anè
bnопределяютсÿ ïî формуëàì ✭✷✳✹✽✮✳
l2k2− n2π2= 0✱n ∈ N
2
ancos
nπ
t + bnsin
l
✱ ò✳å✳
k =
nπ
t,
l
nπ
✱ òâåðäîå
l
òåëî попадает â резонанс✳ Òàêèå резонансные êолебания имеют
ïîðÿäîên✳
Ïðè îдинакîâîì ïîðÿäêå величин
anè
bnâ случае увеличе✲
íèÿ ïîðÿäêà резонансных êолебаний èõ амплитуäû уменьшаютсÿ✳
Поэтому наиболее опасными являютсÿ резонансные êолебания áî✲
ëåå низких ïîðÿäêîâ✳
➓✶✵ Применение ðÿäîâ Фурье â теории изгиба балок
✶✵✳✶✳ ➮çãèá áàëêè✳
➪óäåì назывàòü
áалкой
äîñòаточно æ➻ñòêîå è òîíêîå óïðó✲
ãîå òåëî✳ Ñ÷èòàåì✱ ÷òî áàëêà ïðямолинейная è îднороäíàÿ ïî длине✳
➶ îòëè÷èå îò струны ✭ñòð✳ ✻✺✮✱
áàëêà îêàçûâàåò сопротивление
толькî èçãèáàþùèì óсилиям ✭ò✳å✳
изменяющим кривизну✮✳ Ðàñòÿ✲
гивающие óсилия ✭изменяющие
длину✮ íà балку íå влияют✳
Ðèñ✳ ✷✺
Предполоæèì✱ ÷òî áàëêà распо✲
ëîæåíà вдоль îñè
Ox
между òî÷✲
✶✵✼
êàìè
x = 0èx = l
точки балки
✭ðèñ✳ ✷✺✮✳ ❰бозна÷èì вертикальное перемещение
v(x)
✳
❰ñüvнаправим âíèç✳ ➪óäåì рассматривать толькî òå óñè✲
ëèÿ✱ прикладûâаемые ê áàëêå✱ êоторые действуют â плоскîñòè
xOv
✳
❰бозна÷èì
MR(x)✱MS(x)
✖ изгибающие моменты✱R✱S✖
системы нагрузок✱ прилоæенных ê áàëêå✳
➪óäåì ñ÷èòàòü✱ ÷òî
MR(x) + MS(x) = M
Предполоæèì✱ ÷òî èзгибаþùèé момент
R+S
(x).
MR(x)
✭✷✳✺✷✮
непрерывно
зависит îò нагрузкиRâ êаждой òî÷êåx✳
➴ñëè нагрузкуRувеличить âαðàç✱ òî
MαR(x) = αMR(x).
✭✷✳✺✸✮
Ðассмотрим балку✱ íà êоторую действуåò распределенная
нагрузкàRñ интенсивностью
q(x)
✳ Харакòåð ïðèкрепления áàë✲
êè ê несущим å➻ êîíñòðóêöèÿì ✖ реакция левой опоры состоит
èç ñèëûPè моментà
M
✭ðèñ✳ ✷✻✮✳ Òîãäà изгибающий момент â
поперечном сечении балки
x
Z
MR(x) = M + P x −
(x −t)q(t)dt.
0
Ïðîäèôôåðенцируåì ýòî âû✲
ðàæåíèå ïîx✳ Ðавенство ñî✲
äåðæèò интеграл ñ перемен✲
íûì âåðõíèì пределомx✱ êî✲
торый ê òîìó æå являетсÿ è
интегралом ñ параметромx✳
Формуëà äëÿ äифференциро✲
вания функции
Ðèñ✳ ✷✻
✶✵✽
➹ëàâà ✷✳
I(x) =
имеет âèä ✭ñì✳ ❬✷✶✱ ñòð✳ ✶✹✻❪✮✿
b(x)
Z
′
f
I′(x) =
a(x)
(t, x)dt + b′(x)fb(x), x− a′(x)fa(x), x.
x
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
b(x)
Z
f(t, x)dt
a(x)
✭✷✳✺✹✮
➶ íàøåì случае
dMR(x)
=M + P x −
dx
= P −
x
Z
q(t)dt + 1 · (x − t)q(t)
0
Ïðîäèôôåðенцируåì åùå ðàç✱ используÿ ✭✷✳✺✹✮ ïðè
b(x) = x✱f(x, t) = q(t)
d2MR(x)
dx
2
=P −
x
Z
=
0
❰êончательно✱
a(x) = 0✱b(x) = x✱f(x, t) = (x −t)q(t)
x
Z
(x −t)q(t)dt
0
′
x
t=x
= P −
− 0 = P −
x
Z
(x −t)q(t)dt
0
x
Z
0
✳ Получим✿
q(t)
x
Z
q(t)dt
0
′
dt − 1 · q(t)
x
d2MR(x)
2
dx
′
x
= −q(x).
=
t=x
x
Z
q(t)dt
0
= −q(x).
′
x
q(t)dt.
a(x) = 0
=
✱ òîãäà
′
x
✭✷✳✺✺✮
=
✱
✶✵✾
Ðассмотрим теперь
äåôîðмации
балок✳
Ïîëîæèì нагрузкàR✱ прило✲
æенная ê áàëêå✱ состоит èç
äâóõ моментов✱ прилоæенных
ê êонцам✱ равных ïî ìîäóëþ
M
✱ противополоæíûõ ïî íà✲
правлению è постоÿííûõ ïî
Ðèñ✳ ✷✼
длине балки✿
MR(x) = M.
➮çãèá балки выпуклый âíèç изображåí íà ðèñ✳ ✷✼✳ Ñ÷èòà✲
åì✱ ÷òî других óсилий ê áàëêå íå прилоæåíî✳ ❰бозна÷èìϕ✖ óãîë
поворотà правого êîíöà балки относительно левого✳ Ýòîò óãîë ÿâ✲
ляетсÿ функцией✱ зависÿùåé îò изгибающего моментàM✿
ϕ = ϕ(M ).
Ðассмотрим линейную зависимость
ϕ = kM,
✭✷✳✺✻✮
êоторая ñîîòветствуåò çàêîíó ➹óêà ✭деформации ïðîïîðциональ✲
íû óсилиям✮✳ ➶ ñèëó предполоæåíèé è выбора направленèé îñåé
êîîðдинатu✱xóãîëϕотрицательный✱ поэтому
k < 0
✳
➮ç курса сопротивления материалов известно✱ ÷òî êоэффи✲
циент
k = −
EI
,
✭✷✳✺✼✮
l
ãäål✖ длина балки❀I✖ момент èнерции å➻ поперечного ñå÷å✲
íèÿ относительно горизонтальной ïðÿìîé✱ ëåæàùåé â плоскîñòè
сечения è ïðîõîдящей через åãî центр òÿæåñòè❀E✖ ìîäóëü Þíãà
материала балки✳
Ïîäñòàâèâ ✭✷✳✺✼✮ â ✭✷✳✺✻✮✱ получим
✶✶✵
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]