Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Пример✳
Предстàâüòå функцию интегралом Ôóðüå✿
(
1,
åñëè
åñëè
|x| ≤ 1,
|x| > 1.
1
π
−∞
1
λπ
1
cos λt
λπ
−1
Z
0 cos λtdt+
sin λt
1
−1
1
−1
= 0.
=
2 sin λ
λπ
,
Ðешение✳
a(λ) =
1
Z
1
+
1 cos λtdt +
π
−1
b(λ) =
f(x) =
0,
❮айдем êоэффициенты Фурье✿
∞
Z
1
f(t) cos λtdt =
π
−∞
∞
Z
1
0 cos λtdt =
π
1
1
Z
1
sin λtdt = −
π
−1
Ïîäñòавляем выражåíèÿ äëÿ êоэффициåíòîâ â интеграл Фурье✿
∞
Z
2
f(x) ∼
sin λ
π
0
cos λxdλ, |x| ≤ 1.
λ
➬амечание✳
❮å âñÿêóþ функцию ìîæíî ïðåäñòавить â âèäå
интеграла Фурье✱ îá ýòîì ñêазано â теореме✱ ïðè÷åì убрать ìîäóëü
èç ïîдынтегральной функциè òîæå нельзя✳ ❮àïðèìåð✱ интегрируÿ
функцию
∞
Z
−∞
f(x) = x
xdx = lim
A→∞
áåç ìîäóëÿ✱ получим
A
Z
xdx = lim
−A
A→∞
x
2
2
A
−A
=
1
A→∞
2
lim
(A2− ( − A)2) = 0,
à ñ ìîäóëåì
✽✶
∞
Z
|x|dx = lim
−∞
= − lim
A→∞
A→∞
2
x
2
+
A
Z
|x|dx = lim
−A
0
+ lim
−A
1
lim
A→∞
2
0
Z
A→∞
−A
2
A
x
= −
A→∞
(A2− 0) = li m
2
0
A→∞
(−x)dx + lim
1
lim
A→∞
2
A→∞
(0 − (−A)2)+
A2= ∞.
A
Z
0
xdx =
❰тсутствие ограничения íà функцию
f(x)
íå позволит ãà✲
рантировать ñõîäимостü интегралов✱ ñ помощью êоторых вычис✲
ляютсÿ êоэффициåíòû
➬амечание✳
a(λ), b(λ).
Формуëû äëÿ êоэффициентов интеграла Ôó✲
ðüå â случае ÷➻òíîé èëè íå÷➻òíîé ôóíêöèè упрощаютсÿ ïî анало✲
ãèè ñ ðядами Фурье äëÿ ÷➻òíûõ è íå÷➻òíûõ случаев✳
➓✻✳ ➘войные ðÿäû Фурье
Ðассмотрим â квадрате
[−π, π] × [−π, π]
всевозмоæíûå ïðî✲
изведения функций
cos mx cos ny,
sin mx cos ny, (m 6= 0),
✭✷✳✶✵✮
cos mx sin ny, (n 6= 0),
sin mx sin ny, (m 6= 0, n 6= 0),
ãäå
m, n ∈ Z+✖ целые ïîëîжительные числа✳ Ýòè функции îáðà✲
çóþò ортогональную систему✳ ➘îêазываетсÿ ýòîò ôàêò аналогично
îдномерíîìó случаю ✭ñì✳ ñòð✳✶✺✮✳
Ðасполоæèì âñå произведения âèäà ✭✷✳✶✵✮ â âèäå неограни✲
ченной ïðямоугольной òаблицы тригонометрических функций✶✺✱
✶✺
Ïîäробнее îá ýòîì ñì✳ ❬✸✱ ñòð✳ ✷✺✺✕✷✺✼❪✳
✽✷
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
заданных íà квадрате
T2= [−π, π] × [−π, π]
✿
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ...,
cos y, cos x cos y, sin x cos y, cos 2x cos y, ...,
sin y, cos x sin y, sin x sin y, cos 2x sin y, ...,
..................................................................................... .
Ïóñòü äàíà функция äâóõ переменных
âñå двойные интегралы ïî области
π
π
Z
Z
T2âèäà✿
f(x, y)
✳ ❰бозна÷èì
f(x, y)ϕmn(x, y)dxdy = cmn,
−π
−π
ãäå
ϕmn(x, y)
✖ тригонометрические функции èç системы ✭✷✳✶✶✮✳
Ñîñòàâèì двойной ðÿä
∞
∞
X
X
cmnϕmn(x, y).
n=1
m=1
❰пределение✳
êðатным✮ðÿäîì Фурье
ìûå ïî формуëå ✭✷✳✶✷✮✱ называютсÿ
öèè
f(x, y)
ïî тригонометрическîé системе ✭✷✳✶✶✮✳
➘войной ðÿä ✭✷✳✶✸✮ называетсÿ
двойным
✱ à êоэффициенты этого ðÿäà✱ вычисляе✲
êîýôфициенòàìè Фурье
➶опрос î ñõîдимости двойного ðÿäà Фурье функцииfê ýòîé
функции являетсÿ ñëîæíûì✳ ➬аметим толькî✱ ÷òî функция
раскладываетсÿ â òî÷êå
(x0, y0)
â äâîéíîé ðÿä Фурье✱ åñëè выпол✲
íåíû äâà óсловия✿
✶✮ âñþäó существуþò è ограничены частные произвоäíûå
∂f
первого ïîðÿäêà
✷✮ â окрестности точки
èçâîäíàÿ второго ïîðÿäêà
òî÷êå✳
∂x
∂f
è
❀
∂y
(x0, y0)
∂2f
∂x∂y
существуåò смешаííàÿ ïðî✲
èëè
∂2f
∂y∂x
✱ непрерывная â ýòîé
✭✷✳✶✶✮
✭✷✳✶✷✮
✭✷✳✶✸✮
✭èëè
ôóíê✲
f(x, y)
✽✸
❒ногие свойства îдинарнûõ ðÿäîâ Фурье имеют место è äëÿ
кратных ðÿäîâ Фурье â ñîîòветствующей формулировкå✳
➴ñëè функция
f(x, y)
являетсÿ ÷➻òíîé ✭èëè íå÷➻òíîé✮ ïî ïå✲
ременнойxïðè любомy✭èëè ïîyïðè любомx✮✱ òî формуëû
êоэффициентов Фурье óïðîùàþòñÿ✳
➚налогично îдномерному случаю ââîäèòñÿ понятие è äâîé✲
íîãî ðÿäà Ôóðüå2l✕периодическîé функцииf✳
➓✼✳ Уравнение свобоäíûõ малых êолебаний ñòðóíû
✼✳✶✳ Струна ñ закрепленными êонцами✳
Ðассмотрим гибкую упругую струну длиныl✳
➪óäåì ñ÷èòàòü струну òîíêîé✱ åñëè å➻ поперечные ðàçìåðû
ìàëû ïî сравнению ñ длиной✳ ➴ñëè íàïðÿæåíèå направлено òîëü✲
êî âäîëü ñòðóíû✱ òî струна являетсÿ ãèáêîé✳ Óïðóгость струны
связана ñ обратимостью процесса å➻ деформации ✭â ýòîì случае
íåò потери энергии✮✳
Ïóñòü â состоÿíèè равновесия струна располоæåíà вдоль
îñèOx✳ ❮à÷àëî ✖ òî÷êà
x = 0
✱ êîíåö ✖ òî÷êà
x = l
✳ ➶оздействие
íà струну íåêîòîðîé силой âûâîäèò å➻ èç состоÿíèÿ равновесия
è привоäèò ê êолебаниям✳ ➪óäåì ñ÷èòàòü✱ ÷òî äâèæåíèå струны
происõîäèò â îäíîé плоскîñòè✱ перпендикулярно îñèOx✳ ❰бозна✲
÷èì
u(x, t)
✖ смещение точкиxструны çà времяt✳ Ñ÷èòàåì✱ ÷òî
деформации струны ìàëû✳
Ïîëîæåíèå êаждой точкиxструны â момент времениtîïè✲
сываетсÿ функцией äâóõ переменных
u = u(x, t)
✳
Ðассмотрим элемент струны â ðàâíîвесном ïîëîæåíèè íà
отрезкå
момент âðемениtэлемент струны перейдет â ïîëîæåíèå
✭ðèñ✳ ✷✸✮✳ ➘ëèíó äóãè кривой
[x, x + ∆x]
✳ ➘ëèíà этого элементà равна∆x✳ ➶ íåêоторый
M1M
M1M2ìîæíî найти ïî ôîðìóëå ✭❬✹✱
ñòð✳ ✺✷✽❪✮✿
2
✽✹
x+∆x
Z
p
M
1M2
=
x
L
1 + (u
′
)2dx.
x
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Òàê êàê ìû ñ÷èòàåì✱ ÷òî âå✲
личины смещений
u(x, t)
ñòðó✲
íû ìàëû✱ çíà÷èò✱ ìàëû è óã✲
ëû поворотà элементà струны✳
Òангенс óãëà поворотà ✖ ýòî è
′
åñòü произвоäíàÿ
ïðè малом çíà÷åíèè
íà äóãè кривой
✱ поэтому
u
x
′
äëè✲
u
x
M1M2прибли✲
æåííî равна äëèíå элеменòà
струны â ðàвновесном ïîëî✲
L
M1M
Ðèñ✳ ✷✸
≈
2
x+∆x
Z
x
√
1 + 0dx = (x + ∆x) − x = ∆x.
æåíèè✱ ò✳å✳
Ñ÷èòàåì✱ ÷òî íà êолебания струны íå влияют сопротивление
среды è другие ñèëû✱ кроме ñèë íàòÿæåíèÿ✳
Ñèëû íàòÿæåíèÿT✱ действуþùèå íà êîíöû элементà ñòðó✲
íû✱ направлены ïî êасательным✳ Óãëû наклона êасатеëüíûõ ê îñè
Ox
обозна÷èìϕè
ϕ + ∆ϕ
✳
➬апишем проекцию равнодействующей ýòèõ ñèë íà îñüu✳
Ïðè ýòîì óãëûϕè
ϕ + ∆ϕ
являютсÿ противолежащими ê ïðî✲
екциям✱ поэтому используåì ñèíóñ✱ à знаки â ôîðìóëå связаны ñ
направлениями ñèë íàòÿæåíèÿ✿
Òàê óãëûϕè
−T sin ϕ + T sin(ϕ + ∆ϕ).
ϕ+∆ϕ
ìàëû✱ воспользуåìñÿ эквивалентностью
✭✷✳✶✹✮
функций ñèíóñ è òангенс ïðè малых аргументàõ è перепишем âû✲
ðàæåíèå ✭✷✳✶✹✮ â âèäå✿
−Tt❣ϕ + Tt❣(ϕ + ∆ϕ)
èëè
Tt❣
(ϕ + ∆ϕ) −t❣ϕ.
➬аменим òангенсы óãëîâ наклона êасательных íà произвоä✲
✽✺
íûå â соответствующих òî÷êàõ✿
∂u(x + ∆x)
T
∂x
−
Ñèëà инерции✱ действующàÿ íà элемент
∂2u
ρ∆x
∂t
,
2
ãäåρ✖ плотность струны❀ произведение
∂u(x)
∂x
ρ∆x
.
′
M
M
1
✖ ýëементарная ìàñ✲
ñà✱ à частная ïðоизвоäíàÿ второго ïîðÿäêà функции
ременнойtдважды ✖ ýòî óñêорение струны✳
Ñîãласно âòîðîìó çàêîíó ❮ьютона приравняем ✭✷✳✶✺✮ è ✭✷✳✶✻✮✿
∂u(x + ∆x)
T
Ðазделиì равенство íà
T lim
∆x→0
∂x
∆x
u
−
è перейдем ê пределу ïðè
′
(x + ∆x) − u
x
∆x
∂u(x)
∂x
= ρ∆x
′
(x)
x
= ρ
∂2u
∂t
∂2u
∂t
.
2
.
2
➶ левой части получили частную произвоäíóþ второго ïî✲
ðÿäêà ôóíêöèè
u(x, t)
ïî переменнойxдважды✿
′
✱ равна
2
u(x, t)
∆x → 0
✭✷✳✶✺✮
✭✷✳✶✻✮
ïî ïå✲
✿
струны
❰бозна÷èì
✿
T
= a2✱ òîãäà
ρ
T
∂2u
∂t
∂2u
∂x
2
∂2u
2
= ρ
∂t
.
2
óðавнение свободных êîëåáàíèé
∂2u
2
= a
∂x
.
2
✭✷✳✶✼✮
➘анное уравнение описывает ëþáîå ñâîáîäíîå êолебаниå ñòðó✲
íû незавèñèìî îò своего происõîждения è способов закрепления
êîíöîâ струны✳
➘ëÿ определения äâèæåíèÿ струны кроме уравнения ✭✷✳✶✼✮
✽✻
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
íåîáõîäèìî задать åù➻
функцииuè ñêорость
u(x, 0) = ϕ0(x),
начальные óñловия
′
u
â íàчальный момент времени
t
∂u(x, 0)
∂t
✖ величину смещения
= ϕ1(x).
t = 0
✿
✭✷✳✶✽✮
Òàêæå требуåòñÿ описать õарактер поведения êонцов струны
â ïроцессе å➻ êолебаний✱ ò✳å✳ çàäàòü
ãðаничные óñловия
çàäà÷è✳
Ðассмотрим простейший случай✱ êîãäà êîíöû струны çà✲
креплены íåïîдвижно✿
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.
✭✷✳✶✾✮
➹раничные óсловия ✭✷✳✶✾✮ вместе ñ íà÷àëьными ✭✷✳✶✽✮ íàçû✲
âàþò
êðаевыми óñловиями
✳
❒åòîä разделения переменных
Способ решения уравнений êолебаний струны ìåòîäîì ðàç✲
деления переменных называют
методоì Фурье
✱ â êотором приме✲
íÿþò ðÿäû Фурье✳
Ðассмотрим уравнение êолебания струны ✭✷✳✶✼✮ ñ закрепë➻í✲
íûìè íåïîäвижно êонцами ✭✷✳✶✾✮ è íàчальными óсловиями ✭✷✳✶✽✮✳
➬аметим✱ ÷òî òîждественно равное íóëþ решение
✭åãî называют
тривиальным
✮ ìîæåò áûòü толькî â случае✱ åñ✲
u(x, t) ≡ 0
ëè â íàчальный момент времени струна íàõîäèòñÿ â равновесии
ϕ0(x) ≡ 0
è íåïîдвижна
ϕ1(x) ≡ 0
✳
➪óäåì èñêàòü нетривиальное решение óðàâíåíèÿ ✭✷✳✶✼✮✱ óäî✲
влетворяющее граничнûì óсловиям ✭✷✳✶✾✮✱ â âèäå ïðîèçведенèÿ
äâóõ функцèé
u(x, t) = X(x)T (t).
✭✷✳✷✵✮
Функция
толькî îòt✳
Ïîäñòàâèì функцию ✭✷✳✷✵✮ â уравнение ✭✷✳✶✼✮✳ ➘ëÿ этого
X(x)
зависит толькî îò переменнойx✱ à
T (t)
✖
✽✼
найдем частные произвоäíûå второго ïîðÿäêà✿
∂2u
= X(x)T′′(t),
2
∂t
∂2u
= X′′(x)T (t)
2
∂x
è получим✿
X(x)T′′(t) = a2X′′(x)T (t).
Ðазделèì переменные ✭òàê êàê ìû èùåì нетривиалüíîå ðå✲
шение✱ òî
T (t) 6= 0✱X(x) 6= 0
T′′(t)
a2T (t)
✮✿
X′′(x)
=
X(x)
.
➶ левой части функция çàâèñèò толькî îòt✱ à â правой ✖
толькî îòx✳ Òàêîå равенствî возмоæíî✱ толькî åñëè отношения
функций ✭äðîáè✮ слева è справа являютсÿ постоянными✳ ❰áîçíà✲
÷èì òàêóþ постоянную
−λ2✱ ñ÷èòàÿ✱ ÷òî
T′′(t)
a2T (t)
=
X′′(x)
X(x)
λ 6= 0
= −λ2.
✳ Ò✳å✳
Òàêèì образом✱ ïðèõîäèì ê ñèñòåìå уравнений
(
′′
(x)
X
X(x)
′′
T
(t)
a2T (t)
= −λ2,
= −λ2,
(
X′′(x) + λ2X(x) = 0,
T′′(t) + λ2a2T (t) = 0.
Ïîäðîáíîå решение êаждого èç ýòèõ дифференциальных
уравнений описано â ❬✺✱ ñòð✳ ✹✶✶✕✹✶✸❪✳ ➬äåñü ïриведем нетриâè✲
альные îáùèå решения уравнений äëÿ функций
X(x)èT (t)
✿
(
X(x) = C1cos λx + C2sin λx,
✭✷✳✷✶✮
T (t) = C3cos aλt + C4sin aλt,
ãäå êîíñòàíòû
C1, C2✱
C3è
C4найдем èç краевых óсловий✳
✽✽
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
➶ернемсÿ ê функции
u(x, t) = (C1cos λx + C2sin λx)(C3cos aλt + C4sin aλt).
➘ëÿ íàõîждения êîíñòàíò
u(x, t) = X(x)T (t)
C1è
C2воспользуåìñÿ ãðаничны✲
✿
✭✷✳✷✷✮
ìè óсловиями çàäà÷è✳
Перепишем граничные óсловия ✭✷✳✶✾✮ ïðè
Ïîäñòàâèì полученнûå óñëîâèÿ â выражåíèå
✭✷✳✷✶✮ ïðè
(
u(0, t) = X(0)T (t) = 0,
u(l, t) = X(l) T (t) = 0,
x = 0èx = l
✿
⇒
T (t) 6≡ 0
(
X(0) = 0,
X(l) = 0.
X(x)
â âèäå✿
решения
(
0 = C1cos 0 + C2sin 0,
0 = C1cos λl + C2sin λl.
➮ первого равенства получим✿
0 = C1· 1✱C1= 0
✳ Òîãäà
второе уравненèå примет âèä✿
C2sin λl = 0.
Òàê êàê
λl = nπ✱n ∈ Z \ {0}
X(x) 6≡ 0
✱ òî
✭ïðè
C26= 0
n = 0
✳ ➬íà÷èò✱
получим
sin λl = 0
X ≡ 0
✮✳ ❰äíàêî â
✱ òî åñòü
ñèëó нечетности ñèíóñà ìîæíî рассмаòðèâàòü толькî натуральные
çíà÷åíèÿn✱ à íå целые✳
➬íà÷åíèå
λn=
nπ
называетсÿ
l
собственными значениями
çàäà÷è✱ à ñîответствующие èì функциè
Xn(x) = C2sin λnx = C2sin
✖
собственными функциями
Ïîäñòàâèì найденные çíàчения
шении ✭✷✳✷✶✮✿
nπ
x
l
✭✷✳✷✸✮
✳
λnâ выражåíèå
T (t)
â ðå✲
✽✾
Tn(t) = C3cos
anπ
l
t + C4sin
Ïîäñòàâèì ✭✷✳✷✸✮ è ✭✷✳✷✹✮ â ✭✷✳✷✷✮✿
anπ
l
t.
✭✷✳✷✹✮
nπ
u(x, t) = C2sin
xC3cos
l
❰бозна÷èì постоянные
anπ
l
An= C2C3✱
t + C4sin
Bn= C2C4✳
anπ
l
t.
➪óäåì èñêàòü решение уравнения ✭✷✳✶✼✮✱ óдовлетворяющее
íà÷àëüíûì óсловиям ✭✷✳✶✽✮✱ â âèäå áåñêонечного ðÿäà
∞
X
u(x, t) =
=
un(x, t) =
n=1
∞
X
sin
n=1
nπ
xAncos
l
anπ
l
t + Bnsin
anπ
l
✭✷✳✷✺✮
t.
Ñ÷èòàåì✱ ÷òî данный ðÿä ñõîäèòñÿ✱ à òàêæå ñõîäÿòñÿ ðÿäû✱
êоторые получаютсÿ èç данного ïðè двукратном почленíîì äèô✲
ференцировании ïîxè ïît✳
➶ íàчальных óсловиях ✭✷✳✶✽✮ ïðè
u(x, 0) = ϕ0(x) =
➴ñëè функция
ϕ0(x)
раскладываетсÿ íà отрезкå
Фурье ïî ñèíóñàì✱ òî â êàчестве
n=1
Anìîæíî взять êоэффициенты
∞
X
t = 0
Ansin
первое равенствî✿
nπ
x.
l
[0, l]
â ðÿä
Фурье äëÿ íå÷➻òíûõ функций ✭ñì✳ ñòð✳ ✺✽✮✿
l
Z
2
l
0
ϕ0(x) sin
An=
➶торое равенство â íàчальных óсловиях ✭✷✳✶✽✮ получиì✱ äèô✲
ференцируÿ ✭✷✳✷✺✮ ïîtè ïîäñòавляя
✾✵
nπ
l
t = 0
xdx.
✿
✭✷✳✷✻✮
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]