Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
❮åîáõîäèìî найти êоэффициенты этого тригонометрическî✲
ãî ðÿäà✳
➬амечание✳
ðûì должны óдовлетворÿòü функция
ðÿä✳ Поэтому формально записали соответствие функции
Ïîêà ìû ничего íå ñêазали îá óсловиях✱ êîòî✲
f(x)
è тригонометрический
f(x)
ðÿ✲
äó â âèäå соотношения ✭✶✳✽✮✱ обозна÷àÿ ýòî çíàêîì ✧∼✧,à íå ✧=✧
Ñ÷èòàåì ïîêà толькî✱ ÷òî тригонометрический ðÿä ïîðîæ✲
äåí функцией
Òеорема✳
f(x)
✳
Пусть ðавенство
∞
X
a
f(x) =
0
+
2
n=1
(ancos nx + bnsin nx)
✭✶✳✾✮
имеет место äëÿ âñåõ значенийx✱ причеì ðÿä â ïðàâîé части
ðавенства сходится ðàâíîмерно íà отрезке
[−π, π]
✳ Òîãäà ñïðà✲
ведливы ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöиентов✿
π
Z
1
a0=
an=
bn=
f(x)dx,
π
−π
π
Z
1
f(x) cos nxdx, n ∈ N
π
−π
π
Z
1
f(x) sin nxdx, n ∈ N.
π
−π
✭✶✳✶✵✮
.
➘îêазательство✳
ðÿä ñõîäèòñÿ равномерно íà
Ïî óñëîâèþ теоремы тригонометрический
[−π, π]
✱ çíà÷èò✱ функция
f(x)
✱ êàê
сумма этого ðÿäà✱ непрерывна✱ è✱ следовательно✱ ìîæíî проинте✲
грировать почленно равенство ✭✶✳✾✮ íà отрезкå
π
Z
f(x)dx =
−π
Z
−π
π
a
0
2
dx +
∞
X
n=1
π
Z
cos nxdx + b
a
n
−π
[−π, π]
π
Z
n
−π
✿
sin nxdx.
✷✶
Ðàíåå ✭íà ñòð✳ ✶✻✮ áûëî ïîêазано✱ ÷òî
π
Z
cos nxdx = 0,
−π
π
Z
sin nxdx = 0
−π
✭ñì✳ ✭✶✳✺✮ è ✭✶✳✻✮✮✳ Поэтому â ïðàâîé части îñòàåòñÿ толькî îäíî
ñëàãаемое✱ îòличное îò íóëÿ✿
π
Z
a
0
dx =
2
−π
π
Z
Получили
f(x)dx = πa0✳ ❰òêóäà
−π
Ýòî первая формуëà èç ✭✶✳✶✵✮✱ êоторая соответствуåò
a
0
x
2
a0=
π
−π
1
π
Z
−π
=
π
a
0
π +
2
f(x)dx.
a
0
π = πa0.
2
n = 0
Чтобы ïîëó÷èòü вторую ôîðìóëó äëÿ êоэффициентов✱ äî✲
ìíîæèì равенство ✭✶✳✾✮ íà
cos kx
è проинтегрируåì íà
[−π, π]
✿
✳
π
Z
f(x) cos kxdx =
−π
+
Z
−π
∞
X
n=1
π
a
0
2
a
cos kxdx+
π
Z
cos nx cos kxdx + b
n
−π
π
Z
sin nx cos kxdx.
n
−π
➶ ñèëó ортогональности тригонометрическîé системы ✭ñòð✳ ✶✺✮
â правой части толькî îäíî ñëàãаемое îòлично îò íóëÿ ïðè
✷✷
n = k
✿
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
π
Z
f(x) cos nxdx = a
−π
π
Z
cos nx cos nxdx.
n
−π
Правый èнтеграл óæå ранее вычислен ✭ñì✳ ñòð✳ ✶✽✮✱ ïîэтому
сразу запишем äëÿ
n ∈ N
π
Z
f(x) cos nxdx = anπ.
−π
Получаем çíàчение êоэффициентà
π
Z
1
an=
f(x) cos nxdx.
π
−π
an✿
➘ëÿ получения третьей формуëû èç ✭✶✳✾✮ проведем анало✲
гичные рассуждения✱ домноæàÿ равенство ✭✶✳✶✵✮ íà
π
Z
f(x) sin kxdx =
−π
+
Z
−π
∞
X
n=1
π
a
0
2
sin kxdx+
π
Z
a
cos nx sin kxdx + b
n
−π
π
Z
n
−π
sin kx
✳
sin nx sin kxdx.
➶ ñèëó ортогональности тригонометрическîé системы â ïðà✲
âîé части полученного равенства îòлично îò íóëÿ толькî послед✲
íåå ñëàãаемое ïðè
n = k,
π
Z
f(x) sin nxdx = b
−π
следовательно✱
π
Z
sin nx sin nxdx.
n
−π
✷✸
Правый èíòåãðàë óæå ранее вычислен ✭ñì✳ ñòð✳ ✶✽✮✱ поэтому
сразу çàïèøåì äëÿ
n ∈ N
π
Z
f(x) sin nxdx = bnπ,
−π
π
Z
1
bn=
f(x) sin nxdx.
π
−π
Òеорема äîêазана✳
❰пределение✳
✭✶✳✶✵✮✱ называютсÿ
ðåçêå[✕
π, π]
✱ à ðÿä ✭✶✳✾✮ ✖ å➻
➬амечание✳
✃оэффициенты✱ вычисленные ïî формуëàì
êîýôфициенòàìè Фурье
ðÿäîì Фурье
функции
✳
f(x)
íà îò✲
Существуют тонкие различия между общими
тригонометрическими ðядами✱ ñõîдящимисÿ âî âñåõ òî÷êàõ✱ è òðè✲
гонометрическими ðядами Фурье функций✱ интегрирóåìûõ íà èí✲
тервале
[−π, π]
✳
❮апример✱ тригонометрический ðÿä
∞
X
sin nx
ln n
n=2
ñõîäèòñÿ âñþäó✱ íî íå являетсÿ ðÿäîì Фурье íèêàêîé интегрируå✲
ìîé ✭ïî ❐ебегу✮ функции✳
➘àëåå íàì понадобитсÿ лемма Римана✳ Ñôîðìóëèðóåì å➻
áåç äîêазательства ✭ïîдробнее ñì✳ ❬✷✶✱ ñòð✳ ✸✽✷✕✸✽✸❪✮✳
Утверждение
рывна èëè кусочно✲непрерывна íà ïðîмежутке
b
Z
lim
n→∞
f(x) sin nxdx = 0, lim
a
✭лемма Римана✮✳
n→∞
➴ñëè функция
[a, b]
b
Z
f(x) cos nxdx = 0.
a
f(x)
✱ òî
непре✲
➮ç ýòîé леммы следуют äâà важных утверждения✳
✷✹
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Фурье
Утверждение
an✱
bnкусочно✲непрерывной функции ïðè
✭î êоэффициентàõ Фурье✮✳
✃îýôфициенты
n → ∞
ñòðåìÿò✲
ñÿ ê íóëþ✳
Утверждение
Фурье функции
f(x)
✭✧принцип ëîêàëизации✧✮✳
â некоторой точке
x0зависит òîëüêî îò
Поведение ðÿäà
значений✱ которые принимает ýòà функция â ñêîëü угодно малой
окрестности ýòîé точки✳
Последнее утверждение îçíà÷àåò следующее✳ ➴ñëè взять äâå
функции✱ çíà÷åíèÿ êоторых â произвольной малой окрестности
x
совпадают✱ òî äàæå åñëè âíå ýòîé окрестности çíàчения функций
îòëè÷àþòñÿ✱ соответствующие ýòèì функциям ðÿäû Фурье ведут
ñåáÿ â òî÷êå
x0îäèíàêîâî✿ èëè îáà ñõîäÿòñÿ✱ ïðè÷åì ê îäíîé è òîé
æå сумме✱ èëè îáà ðàñõîäÿòñÿ✳ Ïðè ýòîì✱ óдивительным ÿâëÿåòñÿ è
òîò ôàêò✱ ÷òî êоэффициенты Фурье рассматриваемых äâóõ ôóíê✲
öèé ✭è зависÿùèå îò âñåõ èõ çíàчений✮ могут áûòü различными✳
➓✺✳ ➘îñòаточные óсловия
разложимости функции â ðÿä Фурье
➶ернемсÿ ê ñîîòíîøåíèþ ✭✶✳✽✮✳ ➴ñëè требовать îò функции
f(x)
толькî интегрируемость íà
[−π, π]
✱ òî✱ вообще ãîâîðÿ✱ çíàê
✧∼✧ нельзя заменить íà çíàê равенства✳ ❒û ìîæåì ✭формально✮
построить òðигонометрический ðÿä è ïî формуëàì Фурье найти
åãî êоэффициенты✱ íî íè÷åãî нельзя ñêазать î ñõîдимости òàêîãî
ðÿäà✳ ❰í ìîæåò íå являтьсÿ ñõîдящимсÿ✱ à ìîæåò ñõîäèòüñÿ✱ íî
íå ê функции
f(x)
✳
➶ связи ñ ýòèì возникàåò çàäà÷à ✖ выяснить✱ â êàêèõ случа✲
ÿõ ðÿä Фурье ôóíêöèè
f(x)
ñõîäèòñÿ ê ýòîé æå функциè✳ ❰êàçû✲
ваетсÿ✱ ÷òî ýòî выполнÿåòñÿ äëÿ довольно широкîãî класса ôóíê✲
öèé✳
Сформуëèðóåì óсловия✱ накладываемые íà функцию
f(x)
ïðè âûïîëнении êîторых построенный ïî äàííîé функции ðÿä Ôó✲
ðüå ñõîäèòñÿ✳
❰пределение✳
точкой ðазрыва ✶✲îãî ðîäà
Òî÷êà ðàçðûâà
x0функции
f(x)
✱ åñëè ñóùåствуют êонечнûå пределы
называетсÿ
0
✱
✷✺
слева è справа ýòîé функции â äàííîé òî÷êå✳
Ðèñ✳ ✷
❰пределение✳
íîé
✭ðèñ✳ ✷✮ íà отрезкå
нечным числом точек
✳✳✳✱
(xn, b)
òàê✱ ÷òî íà êàæäîì èç интервалов функция монотонна✳
Òеорема✳
➴ñëè функция
ниченная íà отрезке
ðазрыва первого ðîäà✳
Ðèñ✳ ✸
✷✻
Функция
[a, b]
x1✱
[a, b]
f(x)
называетсÿ
кусочно✕монотон✲
✱ åñëè ýòîò отрезок ìîæíî разбить êî✲
x2✱ ✳✳✳✱
xníà интервалы
f(x)
кусочно✕монотонная è îãðà✲
(a, x1)✱(x1, x2)
✱ òî îíà может иметь òîëüêî точки
➘îêазательство✳
x = c ∈ (a, b)
êà разрыва функции
✭ðèñ✳ ✸✮✳ ➶ ñèëó îãðà✲
ниченности è монотонно✲
ñòè функции
f(x)
справа îò точкиcñóùå✲
ствуют êонечные îдносто✲
ронние пределы✿
lim
f(x) = f (c − 0),
x→c−0
lim
f(x) = f (c + 0).
x→c+0
✱
Ïóñòü
✖ òî÷✲
f(x)
слева è
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
➚ ýòî è åñòü определение точки разрыва ✶✲îãî ðîäà✳
Òеорема äîêазана✳
Сформуëèðóåì важное äîñòаточное óñëîâèå✳
Òеорема ➘ирихле
➴ñëè2π✕периодическая функция
è îãðаниченная íà отрезке[✕
✭î ñõîдимости ðÿäà Фурье✮✳
f(x)
кусочно✕монотонная
π, π]
✱ òî ðÿä Фурье✱ построенный
äëÿ ýòîé функции✱ ñõîäèòñÿ âî âñåõ точках✳ Сумма ïîлученного
ðÿäà
S(x)
ðàâíà значению функции
f(x)
â точках непрерывности
функции✿
S(x) = f(x).
➶ точках ðазрыва функции
íåìó àðèôметическоìó çíàчению предеëîâ функции
f(x)
сумма ðÿäà
S(x)
f(x)
ðàâíà ñðåä✲
ñëåâà è
ñïðàâà✿
S(x) =
✃ðîìå òîãî✱ сумма ðÿäà
S(−π) = S(π) =
f(x − 0) + f (x + 0)
2
S(x)
íà концах отрезка
f(−π + 0) + f(π − 0)
2
.
[−π, π]
.
ðàâíà
➘îêазательство ýòîé теоремы âûõîäèò çà пределы изучения
данного раздела✱ поэтому здесь îíî íå привоäèòñÿ✳
➬амечание✳
Óсловия ➘ирихле включают êóсочную непре✲
рывность è êóсочную монотонность функции✳ ❮î íè îäíî èç ýòèõ
óсловий нельзя отбросить✳ ❮апример✱ ñóùествуåò íепрерывная
функция✱ êоторая íå описываетсÿ своим ðÿäîì Фурье✳
Пример периодическîé интегрируåìîé ✭ïî ❐ебегу✮ ôóíê✲
öèè✱ ðÿä Фурье êоторой ðàñõîäèòñÿ âñþäó✱ ñêонструировал
➚✳ ❮✳ ✃олмогоров â ✶✾✷✷ ã✳✺Ýòà работà ñделала åãî всемирíî èç✲
вестным ìàтематикîì â ✶✾ ëåò✳
➮ç теоремы ➘ирихле íàì понадобитсÿ следующее следствие✳
✺
Построение примера требуåò более ãлубоких знаний èç курса математиче✲
ñêîãî анализа✱ поэтому здесь íå привоäèòñÿ✳ Ñì✳✱ íàïð✳✱ ❬✼✱ ñòð✳ ✹✽✽❪✳
✷✼
Следствие✳
✃усочно✕линейная✻непрерывная2π✕периоди✲
ческая функция ðаскладывается â ðàâíîмерно сходящийся ðÿä Ôó✲
ðüå✳
➓✻✳ Случай непериодическîé функции
➶ñ➻ описанное âûøå èñõîäèò èç предполоæåíèÿ✱ ÷òî задан✲
íàÿ функция опредåëåíà íà âñåé числовой ïðÿìîé è являетсÿ2π✕
периодическîé✳ ❮î часто ïðèõîäèòñÿ иметь äåëî ñ непериоäè÷å✲
ñêîé функциейf✱ à èíîãäà äàæå çàäàííîé толькî íà отрезкå
➶ ýòîì случае рассматривают вспомогательную функциþ˜f
ðàÿ íà промежуткå
(−π, π]
˜
f(x) = f (x) − π < x ≤ π,
совпадает ñf✿
[−π, π]
✱ êîòî✲
✳
â òî÷êå
x = −π
определяем функцию˜f
˜
f(−π) = f(π),
òàê✿
à äëÿ îñòальных äåéñтвительных çíàченийxфункцию˜f
чески ïðîäîëæàåì✳
Òàêîå построение позволяет непериоäическую функциюf✱
заданную íà отрезкå
åé˜f
✱ ê êоторой óæå ìîæíî применить разлоæåíèå â ðÿä Фурье✳
[−π, π]
✱ заменить2π✕периодическîé функци✲
➴ñëè тригонометрический ðÿä ñõîäèòñÿ ê функцииfíà ïðî✲
межуткå
периоä
функцией✳ ➶íå óêазанного промежуткà сумма
ñ непериодическîé функцией
вспомогательной функцией˜f
â ðÿä Фурье íà интервале
✻
➹рафик êóсочно✲линейíîé функции ✖ ëîìàíàÿ линия✳
[−π, π]
2π
è сумма
Пример✳
✱ òî îí ñõîäèòñÿ âñþäó✱ òàê êàê åãî ÷ëåíû имеют
S(x)
òàêîãî ðÿäà являетсÿ2π✕периоäическîé
S(x)
íå совпадает
f(x)
✭íî совпадает ñ периоäè÷åñêîé
✮✳
❰пишите процесс разлоæåíèÿ функции
f(x) =
[0, 2π]
x − π
2
✳
периоäè✲
✷✽
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Ðешение✳
Функция
f(x)
✱ çà✲
данная íà âñåé действитель✲
íîé îñè✱ являетсÿ непериоäè✲
÷åñêîé ✭ðèñ✳ ✹✮✳ ❰бъясним ïî✲
дробно✱ êàê происõîäèò ðàç✲
ëîæåíèå â ðÿä Фурье òàêîé
функции✳ ➶ дальнейшем ìû
áóäåì ïðîïóñêàòü ýòè рассуж✲
дения è сразу íàõîäèòü êîýô✲
фициенты Фурье✳
æóòêå
(0, 2π]
➶ òî÷êå
Ðèñ✳ ✹
совпадает ñ данной функцией
˜
f(x) =
x = 0
определим функцию˜f
x − π
2
Ðассмотрим вспомогательную
функцию˜f
✱ êоторая íà проме✲
f(x)
✿
, 0 < x ≤ 2π.
òàê✱ чтобы å➻ çíàчение
совпадало ñî çíàчением функцииfâ правом êîíöå интервала ✭â
òî÷êå
x = 2π
✮✿
˜
f(0) = f (2π) =
2π − π
2
=
π
.
2
Ðèñ✳ ✺
➚ дальше периодически ïðîдолжим функцию˜f
îñü ✭ðèñ✳ ✺✮✳ Полученная функцèÿ˜f
являетсÿ2π✕периоäическîé è
íà âñþ числовую
✷✾
íà интервале
❮à графикå ✭ðèñ✳ ✺✮ пунктиром изображåíà ôóíêöèÿ
2π
✕периоäè÷åñêàÿ функция˜f
(0, 2π]
совпадает ñ функциейf✳
✱ описанная âûøå✱ изображåíà сплош✲
f(x)
✱ à
íûìè линиями✳ Стрелкè íà êонцах отрезкîâ îçíà÷àþò✱ ÷òî â ýòèõ
òî÷êàõ функция стремитсÿ ê соответствующему çíàчению✱ íî íå
достигàåò åãî ✭вместо стрелки ìîæíî изобразить âûêолотую òî÷✲
êó✮✳
❮àì íåîáõîäèìî разлоæèòü функциюfíà интервале
(0, 2π]
â ðÿä Фурье✱ поэтому â формуëàõ êоэффициентов áóäåò участво✲
âàòü именно функцияfáåç использования вспомогательной ôóíê✲
öèè˜f
✱ ò✳ê✳ íà ýòîì интервале èõ çíàчения совпадают✳ ➬апишем
формуëû äëÿ íàõîждения êоэффициентов Фурье íà заданном èí✲
тервале
[0, 2π]
✿
2π
Z
1
a0=
an=
bn=
x − π
π
0
2π
Z
1
π
0
2π
Z
1
π
0
2
x − π
2
x − π
2
dx,
cos nxdx,
sin nxdx.
➬äåñü íàõîäèòü êоэффициенты Фурье ìû íå áóäåì✳ ➶åðí➻ì✲
ñÿ ê ýòîìó примеру ÷óòü ïîçæå✳
➬амечание✳
ãательной функции˜f
➘àëåå✱ чтобы íå ââîäèòü обозна÷åíèÿ вспомо✲
è íå повторÿòü ïîдобные рассуждения✱ áóäåì
говорить î ✧периодическîì ïðîäîëæåíèè ✭èëè просто ïðîäîëæå✲
íèè✮ функцииfíà âñþ числовую îñü✧,èìåÿ â âèäó ýòîò перехîä
îò непериодическîé функции ê периодическîé✳
✸✵
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]