Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
π
Z
2
=
π
+
=
=
1
1
k − 2
bk=
1
22π
h
1
π
−
k + 2
cos 0=
1
=
π
f(x) sin kxdx =
π
0
π
Z
sin(k + 2)x + sin(k − 2)xdx =k 6= 2=
0
1
−
1
cos(k + 2)x −
k + 2
cos(k + 2)π −
1
π
2k(−1)
−
k2− 4
➬íà÷åíèå êîýôôèциентà
π
Z
2
b2=
cos 2x sin 2xdx =
π
0
1
= −
4π
(cos 4π − cos 0) = −
−
k
(−1)
k + 2
+
k2− 4
2
π
k − 2
1
cos(k − 2)π +
k − 2
k
(−1)
−
k − 2
2k
bkïðè
π
Z
1
sin 4xdx = −
π
0
π
Z
cos 2x sin kxdx =
0
1
cos(k − 2)x
=
π
k = 2
k
1
1
+
k + 2
2k1 − (−1)
k2− 4
вычислим îòдельно✿
1
4π
1
(1 − 1) = 0.
4π
k + 2
+
k − 2
cos 4x
i
1
k
π
=
0
1
.
cos 0+
=
π
=
0
➘ëÿ красивой записи ðÿäà выпишем êоэффициент
k
k=1
= −
4
3π
.
b1=
2k1 − (−1)
1
π
k2− 4
➬апишем ðÿä Фурье функции
∞
X
cos 2x ∼ b1sin x + b2sin 2x +
bksin kx =
k=3
b1✿
✺✶
k
sin kx.
2k1 − (−1)
k2− 4
π
|x|−
2
π, π]
k
sin kx
2
x
â ðÿä Фурье
4
непрерывна
✳
❰òâåò✿
Пример✳
íà отрезкå[✕
Ðешение✳
4
3π
1
π
sin x +
4
3π
sin x +
= −
cos 2x ∼ −
Ðàçëîæèòå ôóíêöèþ
π, π]
✳
Функция
f(x)
∞
X
2k1 − (−1)
1
π
k2− 4
∞
X
k=3
k=3
f(x) =
внутри îòðåçêà[✕
è êóсочно✕монотонна✳ Ïðîдолжим периодически ýòó функцию íà
âñþ действительную ïðÿìóþ✳ ➬аметим✱ ÷òî
çóåìñÿ ✭✶✳✶✺✮ è учтем✱ ÷òî íà
π
Z
π
a0=
2
π
ak=
0
=
x −
2
2
π
π
2
π
(
π
u =
2
du =
x
4
2
π
2
sin kx
=
2
kπ
=
π
x −
2
(
u =
=
du = −
[0, π]
2
x
dx =
4
3
3
π
−
4
π
Z
0
x −
x
−
2
π
−
2
1
dx, v = −
2
=
12
π
x
x −
2
2
x
, dv = cos kxdx,
4
dx, v =
π
−
kπ
0
x
, dv = s i n kxdx,
2
функция
2
π
2π
2
π
2
4
Z
2
0
f(x)
f(x) =
2
π
x
−
2
2
3
2
π
=
12
3
cos kxdx =
1
sin kx
k
π
π
x
−
2
2
1
cos kx
k
÷➻òíàÿ✳ ➶осполь✲
x −
=
2
x
4
x
12
π
2
3
π
0
,
)
=
sin kxdx =
)
=
✳
✺✷
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
=
= 0 −
2
k2π
"
2
kπ
π
π
−
2
2
= 0 −
1
−
k
cos kπ −
k2ππ2
π
2
2
x
−
2
2
k2π
+ 0 = −
cos kx
π
− 0cos 0 +
2
1
k
π
−
0
, bk= 0.
2
2k
π
Z
1
0
cos kxdx#=
1
sin kx
k2π1k
π
=
0
f(x)
π
2
|x| −
2
x
=
4
∞
2
X
−
k=1
cos kx
2
k
.
π
6
f(x)
=
S(x)
π
2
|x| −
2
x
=
4
∞
2
X
−
k=1
cos kx
2
k
π
6
➓✶✵✳ Ðÿäû Фурье ñ произвольным периоäîì
Ðассмотрим2l✕периоäическую функцию
íà отрезкå
отрезкå
Получим ôóíêöèþ
[−l, l]✱l > 0
[−l, l]
â ðÿä Фурье✱ ñделаем замену переменной
✳ ➘ëÿ òîãî чтобы разлоæèòü функцèþ íà
l
g(t) = f
t✳ Проверим✱ ÷òî îíà являетсÿ2π✕
π
периодическîé✳ ➘ëÿ ýòîãî вместоtïîäñòàâèì
÷òî выполняетсÿ равенствî✿
g(t + 2π) = f
l
(t + 2π)= f
π
=â ñèëó периоäèчности
Òàê êàê функция
íî разлоæèòü íà отрезкå
g(t) = f
l
π
t∼
g(t + 2π) = g(t)
l
t + 2π
π
l
f= f
g(t)
являетсÿ2π✕периодическîé✱ òî å➻ ìîæ✲
[−π, π]
a
2
â ðÿä Фурье ✭✶✳✽✮✿
∞
X
0
+
k=1
t= g(t).
π
akcos kt + bksin kt,
✳
l
π
y = f (x)
t + 2π
= f
ãäå êоэффициåíòû íàõîäÿòñÿ ïî формуëàì ✭✶✳✶✵✮✿
a0=
π
Z
1
π
−π
l
f
tdt, ak=
π
1
bk=
π
Z
−π
π
l
f
π
π
Z
1
f
π
−π
tsin ktdt.
l
tcos ktdt,
π
l
t + 2l=
π
✱ заданную
l
x =
π
è ïîêàæåì✱
t
✳
Сделаем обратную замену✿
❰êîí÷àтельнî
✺✹
t =
π
x, dt =
l
π
dx.
l
ðÿä Фурье функции íà отрезке
[−l, l]
имеет âèä✿
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
f(x) ∼
à
êîýôфициенты Фурье
l
Z
1
a0=
f(x)dx, ak=
l
−l
bk=
➬амечание✳
∞
X
a
0
+
2
akcos
k=1
kπx
l
+ bksin
вычисляютсÿ ïî формуëàì✿
l
Z
1
f(x) cos
l
−l
l
1
l
Z
f(x) sin
−l
kπx
l
dx.
➶ñå теоремы✱ êоторые справедливы äëÿ ðÿ✲
kπx
kπx
l
l
dx,
,
✭✶✳✶✽✮
✭✶✳✶✾✮
äîâ Фурье2π✕периоäèческих функций✱ имеют место è äëÿ2l✕
периодических функций✳
Пример✳
Фурье íà отрезкå
Ðешение✳
Ðàçëîæèòå функцию
[1, 4]
✳
Функция
f(x)
внутри отрезкà
f(x) = x2− 6x + 8
[1, 4]
непрерывна
â ðÿä
è êóсочно✕монотонна ✭ðèñ✳ ✶✽✮✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия òåî✲
ðåìû ➘ирихле✳
Ïðîäîëæåíèå
2l
✕периоäическîé функцией✳
f(x)
являетсÿ
❰пределим çíàчениеl✿
Ðèñ✳ ✶✽
3
2l = 4 − 1, l =
.
2
❮айдем êоэффициенты Фурье
ñ ó÷åòîì ✭✶✳✶✾✮✿
3
2
Z
2
a0=
x2− 6x + 8dx =
3
3
−
2
✺✺
=
x2− 6x + 8
=
=
3
3
2
x
− 3x2+ 8x
3
3
Z
2
ak=
3
3
−
(
u = x2− 6x + 8, dv = cos
=
du = (2x − 6)dx, v =
2
kπ
sin
2
3
−
2
3
2
x2− 6x + 8cos
3
2
2kπx
3
3
−
2
(
= 0 +
3(2x −6)
2k2π
=
u = 2x − 6, dv = sin
du = 2dx, v = −
3
2
2kπx
2
9(−1)
k2π
2
cos
k
−
3
9
4k3π
−
sin
3
=
−
3
2
2
3
1
kπ
−
k2π
2kπx
9
2 ·
8
3
2kπ
3
2
Z
(2x −6) sin
3
−
2
3
2kπ
3
2
−
3
2
3
−
+ 2 · 12=
2kπx
dx =
3
2kπx
dx,
3
2kπx
sin
3
2kπx
dx,
3
2kπx
cos
3
3
2
Z
2kπx
cos
3
2
9(−1)
=
k2π
3
2
3
)
)
2
35
=
2kπx
3
=
dx =
k
,
2
,
dx =
✺✻
= −
bk=
(
u = x2− 6x + 8, dv = sin
=
du = (2x − 6)dx, v = −
x2− 6x + 8
kπ
3
2
Z
2
x2− 6x + 8sin
3
3
−
2
3
2kπx
3
2
+
3
−
2
cos
1
kπ
Z
−
2kπx
dx =
3
2kπx
dx,
3
3
2kπx
cos
2kπ
3
2
(2x −6) cos
3
2
)
=
3
2kπx
dx =
3
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
(
kπ
k
3(2x −6)
+
18(−1)
kπ
k
u = 2x − 6, dv = cos
+
du = 2dx, v =
2kπx
sin
2
2k2π
k
+ 0 +
f(x)
3
9
3
2k3π
✖ разрывная функция✱ поэтому â ðÿäå
cos
3
2
−
2kπx
3
2
18(−1)
=
18(−1)
=
kπ
=
Ïðîäîëæåíèå
Фурье íåîáõîäèìî ïîñòавить çíàê ✧∼✧✿
f(x) = x2− 6x + 8 ∼
➹рафик суммы
∞
X
35
4
S(x)
9(−1)
+
k=1
изображåí íà ðèñ✳ ✶✾✳
kπ
k
dx,
3
2kπx
3
3
2
sin
3
2
18(−1)
kπ
+ 2 sin
3
)
=
2kπx
3
k
.
dx =
2kπx
3
.
2kπx
3
sin
2kπ
Z
3
−
2
k2π
−
3
2
=
3
3
−
2
2kπx
1
cos
kπ
Ðèñ✳ ✶✾
➶ òî÷êàõ разрыва сумма ðÿäà равна среднему арифметиче✲
✺✼
ñêîìó çíà÷åíèþ пределов функции
∞
X
k=1
9(−1)
kπ
❰òâåò✿
f(x) ∼
35
4
+
f(x)
слева è справа✿
k
1
cos
kπ
2kπx
3
+ 2 sin
0 + 3
2
2kπx
3
=
2
.
3
Формуëû êоэффициентов Фурье äëÿ четных è нечет✲
íûõ функций✱ заданных íà произвольном ñèììåòричном
интервале✳
➶ случае✱ êîãäà íà отрезкå
[−l, l]
нужно получить разлоæå✲
íèå â ðÿä Фурье ÷➻òíîé èëè íå÷➻òíîé функцèè✱ вычисление êîýô✲
фициентов Фурье ìîæíî упростить✱ используÿ òîò æå ïîäõîä✱ ÷òî
è â случае отрезкà[✕
✶✮
➴ñëè
f(x)
π, π]
✳
✖ ÷➻òíàÿ
функция✱ òî â разлоæåíèè ðÿäà Ôó✲
ðüå áóäóò толькî êосинуñû✿
.
l
Z
2
a0=
f(x)dx, ak=
l
0
Ïðè ýòîì разлоæåíèå â ðÿä Фурье áóäåò иметь âèä✿
f(x) ∼
✷✮
➴ñëè
f(x)
✖ íå÷➻òíàÿ
Фурье áóäóò толькî ñèíóñû✿
a0= 0, ak= 0, bk=
Ïðè ýòîì разлоæåíèå â ðÿä Фурье áóäåò иметь âèä✿
f(x) ∼
l
Z
2
f(x) cos
l
0
∞
X
a
0
2
+
akcos
k=1
kπx
dx, bk= 0.
l
kπx
.
l
функция✱ òî â разлоæåíèè â ðÿä
l
Z
∞
X
k=1
bksin
2
l
kπx
f(x) sin
0
l
.
kπx
l
dx.
✺✽
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Пример✳
Ðàçëîæèòå â ðÿä Фурье функциþ
(
f(x) =
−1, −2 ≤ x < 0,
.
1, 0 ≤ x ≤ 2
Ðешение✳
❮à интервале
[−2, 2]
функция óдовлетворÿåò óñëî✲
âèÿì ➘ирихле✳ ➹рафик ïåðèîдически ïðîäîëæенной ôóíêöèè èçîá✲
ðàæåí íà ðèñ✳ ✷✵✳
Ðèñ✳ ✷✵
❮айдем êоэффициенты Фурье ïî формуëàì ✭✶✳✶✾✮ äëÿ
учитывая✱ ÷òî функция
циенты
a0= ak= 0
✳ ❮айдем êоэффициенты
f(x)
✖ íå÷➻òíàÿ✳ ➶ ýòîì случае êоэффи✲
bk✿
l = 2
✱
l
= −
2
kπ
bk=
cos
2
l
kπx
2
Z
f(x) sin
0
2
0
= −
kπx
l
2
(cos kπ − cos 0) =
kπ
➬апишем ðÿä Фурье функции✿
∞
X
2
f(x) ∼
π
1 − (−1)
k=1
dx =
k
2
Z
0
k
kπx
sin
sin kx.
dx =
2
21 − (−1)
kπ
k
.
✺✾
Функция
ðüå стоит çíàê ✧∼✧.Сумма ðÿäà
f(x)
íå являетсÿ непрерывной✱ поэтому â ðÿäå Ôó✲
S(x)
внутри интервала
совпадает âî âñåõ òî÷êàõ непрерывности ñ функцией
çíà÷åíèÿ суммы ðÿäà â òî÷êàõ разрыва
x = 2k✱k ∈ Z
f(x)
✿
(−2, 2)
✳ ❮айдем
S(2k) =
➹рафик суммы
−1 + 1
S(x)
изображåí íà ðèñ✳ ✷✶✳
= 0, k ∈ Z.
2
Ðèñ✳ ✷✶
X
❰òâåò✿
f(x) ∼
Пример✳
2
π
k=1
Ðàçëîæèòå функцию
ïî êосинуñàì íà îòðåçêå
Ðешение✳
➶ разлоæåíèè ðÿäà Фурье должны присутство✲
∞
1 − (−1)
[0, 3]
k
sin kx
k
✳
f(x) = 2x − 6
✳
âàòü толькî êîñèíóñû✱ поэтому êоэффициент
формуëû äëÿ вычисления êоэффициåíòîâ Фурье
bk= 0
a0è
â ðÿä Фурье
✳ Применим
akäëÿ
l = 3
✳
✻✵
a0=
ak=
l
Z
2
l
0
2
l
f(x)dx =
l
Z
f(x) cos
0
3
Z
2
(2x −6)dx =
3
0
kπx
dx =
l
3
Z
2
(2x −6) cos
3
0
2
x2− 6x
3
kπx
3
3
0
dx =
= −6,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]