Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
∂u(x, t)
∂t
∂u(x, t)
∂t
=
t=0
∞
X
n=1
nπ
sin
l
= ϕ1(x) =
➹ëàâà ✷✳
x− A
∞
X
n=1
B
n
n
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
anπ
l
anπ
anπ
sin
sin
l
l
nπ
l
t + B
x.
n
anπ
l
cos
anπ
l
t,
➴ñëè функция
Фурье ïî ñèíóñàì✱ òî â êàчестве
ϕ1(x)
раскладываетсÿ íà отрезкå
anπ
B
n
ìîæíî âçÿòü êоэффици✲
l
åíòû Фурье äëÿ íå÷➻òíûõ функциé ✭ñì✳ ñòð✳ ✺✽✮✿
anπ
B
=
n
l
ò✳å✳
2
anπ
u(0, t) = u(l, t) = 0
Пример✳
Ðешите уравнение ✭✷✳✶✼✮ êолебаний струны ñ íåïî✲
движными êонцами
Bn=
u(x, 0) = ϕ0(x) = sin5x,
Ðешение✳
➪óäåì èñêàòü решение уравнения â âèäå ðÿäà
✭✷✳✷✺✮✱ ãäå êоэффициенты
è ✭✷✳✷✼✮✳ Òàê êàê ïî óсловию
åíò
Bn= 0
✳ Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè
2
ϕ1(x) sin
l
0
l
Z
ϕ1(x) sin
0
Anè
Bníàõîäÿòñÿ ïî формуëàì ✭✷✳✷✻✮
ϕ1(x) = 0
f(x)
nπ
xdx,
l
nπ
xdx.
l
ïðè íàчальных óсловиях✿
∂u
= ϕ1(x) = 0.
∂t
t=0
✱ òî â ñèëó ✭✷✳✷✼✮ êоэффици✲
â ðÿä Фурье â ýòîì случае
l
Z
примет âèä✿
[0, l]
â ðÿä
✭✷✳✷✼✮
∞
X
u(x, t) =
ãäå
An✖ êоэффициенты â разлоæåíèè ôóíêöèè
Ansin
n=1
nπ
l
x cos
anπ
l
t,
ϕ0(x)
â ðÿä Фурье
✾✶
ïî ñèíóñàì✳
❮à ñòð✳ ✼✵ â примере áûëî получено разлоæåíèå функциè
sin5x
â ðÿä ïî ñèíóñàì✿
Следовательно✱ êоэффициенты
à îñòальные
5
sin5x =
sin x −
8
Anравны íóëþ✳
5
sin 3x +
16
A1=
1
16
5
8
sin 5x.
✱
A3= −
16
5
✱
A5=
1
16
Òàêèì образом✱ решение уравнения êолебаíèé струны ñ íåïî✲
движными êонцами имеет âèä✿
u(x, t) =
Полученная функция
π
sin
8
l
x cos
aπ
5
t −
l
16
sin
3π
l
u(x, t)
x cos
3aπ
l
t +
16
1
sin
5π
l
x cos
5aπ
l
являетсÿ êонечной суммой✱ ïî✲
5
этому вопрос ñõîдимости íå àêòóàëåí✳
❰òâåò✿
u(x, t) =
решение уравнения êолебаний струны
5
π
sin
8
l
x cos
aπ
5
sin
3π
l
t−
l
16
x cos
3aπ
1
sin
5π
l
t+
l
16
x cos
5aπ
l
✼✳✷✳ Струна ñ ïîëóсвободными êонцами✳
Ðассмотрим случай✱ êîãäà струна длиныlзакреплена îáîè✲
ìè êонцами íà êîëüöàõ✳ Уравнение вынужденных êолебаний òàêîé
струны ïðè
x ∈ (0, l)✱t > 0,
✱
t.
t.
∂2u(x, t)
∂t
ñ íàчальными
u(x, 0) = ϕ0(x),
è краевыми óсловиями
∂u(0, t)
∂x
✾✷
∂2u(x, t)
2
= a
2
∂x
= 0,
+ f (x, t)
2
∂u(x, 0)
∂t
∂u(l, t)
∂x
= ϕ1(x)
= 0.
✭✷✳✷✽✮
✭✷✳✷✾✮
✭✷✳✸✵✮
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Ðешение соответствующего ✭✷✳✷✽✮ îднородного уравнения
∂2u(x, t)
2
∂t
= a
∂2u(x, t)
2
∂x
2
èùåì â âèäå произведения äâóõ функций✿
u(x, t) = X(x)T (t).
✃раевые óсловия ✭✷✳✸✵✮ â òàêîì случае ïðèìóò âèä✿
∂u(0, t)
∂u(l, t)
= 0 ⇒ X′(0)T (t) = 0 ⇒ X′(0) = 0,
∂x
= 0 ⇒ X′(l)T (t) = 0 ⇒ X′(l) = 0.
∂x
Проведем рассуждения аналогично предыдущему случаю✳
Ïîäñòàâèì ✭✷✳✸✶✮ â îднороäíîå уравнение ✭✷✳✷✽✮✿
X(x)T
′′
(t) = a2X′′(x)T (t).
Ðазделяя переменные✱ получим✿
=
′′
X
X(x)
(x)
.
′′
T
(t)
a2T (t)
✭✷✳✸✶✮
✭✷✳✸✷✮
✭✷✳✸✸✮
❐åâàÿ часть полученíîãî уравнения зависит толькî îòt✱ à
правая ✖ толькî îòx✱ çíà÷èò✱ êаждая èç íèõ равна íåêоторой
постоянной
−λ2✱ ñ÷èòàÿ✱ ÷òî
′′
(t)
T
a2T (t)
λ 6= 0
X
=
✿
′′
(x)
X(x)
= −λ2.
Òàêèì образом✱ ïðèõîäèì ê системе уравнений✿
′′
X
(x) + λ2X(x) = 0,
T′′(t) + a2λ2T (t) = 0.
✭✷✳✸✹✮
✾✸
Первое уравнение системы ✭✷✳✸✹✮ ñ краевыми óсловиями ✭✷✳✸✷✮
✕ ✭✷✳✸✸✮ привоäèò íàñ ê
задаче Øòóðма✕❐иувилëÿ
✳ Привед➻м òîëü✲
êî нетривиальное общее решение первого уравнения ñèñòåìû ✭✷✳✸✹✮✿
X(x) = C1cos λx + C2sin λx.
❮айдем
X′(x)
✱ à затем воспользуåìñÿ óсловиями ✭✷✳✸✷✮ è
✭✷✳✸✸✮✿
X′(x) = −C1λ sin λx + C2λ cos λx.
(
0 = −C1λ sin 0 + C2λ cos 0,
0 = −C1λ sin λl + C2λ cos λl.
➮ç первого равенства ïîëó÷èì✿
второе уравнениå примет âèä✿
−C1λ sin λl = 0.
Òàê êàê
X(x) 6≡ 0èλ 6= 0
дел➻нности áóäåì ñ÷èòàòü✱ ÷òî
λl = nπ✱n ∈ Z \ {0}
✭ïðè
n = 0
Собственному çíàчению
функция
Xn(x) = cos λnx = cos
Ðешение уравнения ✭✷✳✷✽✮ áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà
✱ òî ñ÷èòàåì
C1= 1
✳ ➬íà÷èò✱
получим
nπ
λn=
l
✭✷✳✸✺✮
0 = C2λ · 1✱C2= 0
C16= 0
sin λl = 0
X ≡ 0
✮✳
✳ Òîãäà
✳ ➘ëÿ îïðå✲
✱ òî åñòü
соответствуåò собственная
nπ
x.
l
✭✷✳✸✻✮
∞
X
u(x, t) =
Tn(t)Xn(x).
n=0
Ïîäñòавляя ✭✷✳✸✼✮ â ✭✷✳✷✽✮ ñ учетом соотношения
получим✿
∞
X
n=0
′′
T
(t)Xn(x) = a
n
2
∞
X
n=0
Tn(t)X
′′
(x) + f (x, t),
n
✾✹
′′
(x) = −λ
X
n
✭✷✳✸✼✮
2
Xn(x)
n
✱
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
∞
X
′′
T
(t)Xn(x) = −a2λ
n
n=0
➶ыразим èç этого соотношеíèÿ функцию
∞
X
f(x, t) =
T
n=0
Ñ ó÷➻òîì ✭✷✳✸✻✮ функция
∞
X
f(x, t) =
n=0
′′
T
n
(t) + a
∞
X
2
n
n=0
′′
(t) + a2λ
n
f(x, t)
2
Tn(t)Xn(x) + f (x, t).
f(x, t)
2
Tn(t)Xn(x).
n
примет âèä✿
2
n2π
l
2
Tn(t)cos
nπ
l
✿
x.
Последнее равенство представляет собой разлоæåíèå
â ðÿä Фурье ïî êосинуñàì✳ ❈ другой ñòîðîíû✱ функцию
ìîæíî разлоæèòü â ðÿä Фурье ïî êосинуñàì✿
∞
f(x, t) =
X
fn(t) cos
n=0
nπ
l
x,
ãäå êоэффициенты Фурье
✭✷✳✸✽✮
f(x, t)
f(x, t)
✭✷✳✸✾✮
l
Z
2
f0(t) =
f(x, t)dx, fn(t) =
l
0
➮ç равенства äâóõ ðÿäîâ ✭✷✳✸✽✮ è ✭✷✳✸✾✮ следуåò равенство
êоэффициентов Фурье✿
′′
T
n
Ñîãласно ✭✷✳✸✼✮ è ✭✷✳✷✾✮✕✭✷✳✸✵✮ íàõîäèì íàчальные óсловия
äëÿ
Tn(t)
✳ Первое íàчальное óñëîâèå✿
(t) + a
2
n2π
l
2
2
l
Z
2
f(x, t) cos
l
0
Tn(t) = fn(t).
nπ
l
x dx.
✭✷✳✹✵✮
✾✺
ϕ0(x) = u(x, 0) =
ãäå êоэффициåíòû Фурье
∞
X
n=0
Tn(0) cos
nπ
x,
l
l
Z
2
T0(0) =
ϕ0(x) dx, Tn(0) =
l
0
➶торое íàчальное óсловие✿
ϕ1(x) =
∂u(x, 0)
ãäå êоэффициåíòû Фурье
l
Z
T
0
′
(0) =
2
ϕ1(x) dx, T
l
0
Ðåøèì соответствующее ✭✷✳✹✵✮ îднороäíîå уравнение✿
′′
T
(t) + a
n
Характеристическîå уравнение✿
∂t
k2+ a
2
=
n
n2π
2
∞
X
n=0
′
(0) =
2
Tn(t) = 0.
2
l
2
n2π
2
l
2
l
′
T
n
2
l
= 0.
l
Z
ϕ0(x) cos
0
(0) cos
l
Z
ϕ1(x) cos
0
nπ
l
x,
nπ
nπ
l
l
x dx.
x dx.
Получим õарактеристические êîðíè
➶ случае
✾✻
k1= a
n = 0
õарактеристическèå êîðíè совпадают✿
nπ
i, k2= −a
l
nπ
l
i.
k1= k2= 0
✳
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Поэтому общее решение îднороäíîãî уравнения запишем òàê✿
îî
T
(t) = C10+ C20t, C10, C20∈ R,
0
îî
T
(t) = C1ncos
n
anπ
t + C2nsin
l
anπ
t, C1n, C2n∈ R.
l
Частное решениå ✭✷✳✹✵✮ áóäåì íàõîäèòü✱ используÿ ìåòîä âà✲
риации постоянных ✭❬✺✱ ñòð✳ ✷✹✺❪✮✿
֒
T
(t) = C10(t) + C20(t)t,
0
֒
T
(t) = C1n(t) cos
n
anπ
t + C2n(t) sin
l
anπ
l
t,
✭✷✳✹✶✮
ãäå неизвестные функции
C10(t)✱C10(t)✱C1n(t)èC2n(t)
ðÿþò следующим линейным ñèñтемам✿
(
(
C
1n
−C
′
(t) cos
′
1n
(t)
anπ
l
anπ
l
t + C
sin
C
C
anπ
′
(t) + C
10
′
(t) = f0(t);
20
l
′
(t) sin
2n
t + C
′
(t)t = 0,
20
anπ
′
(t)
2n
l
anπ
Ðешением äâóõ ñèñòåì являютсÿ выражåíèÿ✿
(
′
C
(t) = −tf0(t),
10
′
C
(t) = f0(t);
20
(
′
C
1n
′
C
2n
(t) = −fn(t)
(t) = fn(t)
➮нтегрируåì êаждое выражåíèå è íàõîäèì неизвестные ôóíê✲
öèè
C10(t)✱C10(t)✱C1n(t)èC2n(t)
t
Z
C10(t) = −
C1n(t) = −
τf0(τ) dτ, C20(t) =
0
anπ
l
✿
t
Z
fn(τ) sin
0
t = 0,
cos
l
anπ
Z
0
anπ
l
t = fn(t),
l
l
anπ
l
cos
anπ
t
f0(τ) dτ,
τdτ,
sin
anπ
anπ
l
óдовлетво✲
t,
l
t.
✾✼
t
Z
C2n(t) =
l
anπ
fn(τ) cos
0
anπ
l
τdτ.
Ïîäñòàâèì полученные выражåíèÿ â ✭✷✳✹✶✮✿
anπ
l
t
Z
(t −τ )f0(τ) dτ,
0
τdτ +
anπ
τdτ =
l
֒
T
0
֒
T
n
(t) = −
(t) = −
=
t
Z
τf0(τ) dτ + t
0
l
cos
anπ
l
+
anπ
t
Z
l
anπ
0
anπ
l
anπ
sin
l
fn(τ) sin
t
Z
t
0
t
anπ
t
Z
f0(τ) dτ =
0
fn(τ) sin
t
Z
fn(τ) cos
0
(t −τ )dτ.
l
❰áùåå ðåøåíèå íåîднородного уравнения ✭✷✳✹✵✮ áóäåò иметь âèä✿
t
Z
T0(t) = T
Tn(t) = T
= C1ncos
îî
(t) + T
0
îî
(t) + T
n
anπ
0
n
t + C2nsin
l
֒
(t) = C10+ C20t +
֒
(t) =
anπ
t +
l
l
anπ
(t −τ )f0(τ) dτ,
0
t
Z
fn(τ) sin
0
anπ
l
(t −τ )dτ.
✾✽
Ïðîäèôôåðенцируåì îáà выражåíèÿ ïî переменнойt✿
t
Z
′
T
(t) = C20+
0
f0(τ) dτ,
0
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
′
T
(t) = −C
n
+
Ïîäñòàâèì â выражåíèÿ äëÿ
чение
t = 0
✱ получим✿
C10= T0(0), C20= T
❰òñþäà
T0(t) = T0(0) + T
Tn(t) = Tn(0) cos
Òàêèì образом✱ решение çàäà÷è ✭✷✳✷✽✮✕✭✷✳✸✵✮ имеет âèä✿
1n
t
Z
fn(τ) cos
0
+
anπ
anπ
l
sin
anπ
l
anπ
l
t + C
(t −τ )dτ.
2n
anπ
l
T0(t)✱Tn(t)✱T
′
(0), C1n= Tn(0), C2n=
0
t
Z
′
(0)t +
0
l
anπ
Z
0
t
(t −τ )f0(τ) dτ
0
t +
l
anπ
fn(τ) sin
l
anπ
′
T
(0) sin
n
(t −τ )dτ.
l
cos
anπ
0
✳
anπ
l
′
t+
l
(t)èT
l
anπ
t+
′
(t)
çíà✲
n
′
T
(0).
n
u(x, t) = T0(t) +
t
Z
+
(t −τ )f0(τ) dτ +
0
+
l
anπ
X
n=1
t
Z
fn(τ) sin
0
∞
X
n=1
∞
Tn(t) cos
Tn(0) cos
anπ
l
nπ
x = T0(0) + T
l
t +
l
anπ
anπ
l
(t −τ )dτcos
T
nπ
n
l
′
(0)t+
0
′
(0) sin
x.
anπ
l
t+
✾✾
➓✽✳ Уравнение òåïлопроводности
äëÿ неограниченного ñòåðæíÿ
Óðавнение теплопроводности
∂u
∂t
= a
∂2u
2
∂x
â îäíîðîäíîé среде имеет âèä
∂2u
+
2
∂y
+
2
∂2u
∂z
,
2
✭✷✳✹✷✮
s
k
ãäå
a =
c
✖ теплоемкîñòü вещества✱ρ✖ плотностü✳
✱k✖ êоэффициент внутренней теплопроводности✱
cρ
❮åîáõîäèìî åùå учитывать íàчальное óсловие✱ êоторое îïðå✲
деляет íàчальное распределение темперàòóðû ïðè
u
= f (x, y, z).
t=0
t = 0
➶ çависиìîñòè îò ïîâåðхностиS✱ ограничивающей òåëî✱ çà✲
даютсÿ è предельные óсловия✱ èñõîäÿ èç ôèçèческих õарактери✲
ñòèê✳
➶ êàчестве примера рассмотрим неограничåííûé îднороä✲
íûé ñòåðæåíü✱ ðàñïîëîæенный вдоль îñèOx✳ ➶ ýòîì случае ôóíê✲
öèÿuíå зависит îò переменныхyèz✱ поэтому уравнение ✭✷✳✹✷✮
упроститсÿ✿
∂u
∂t
= a
2
∂2u
∂x
.
2
✭✷✳✹✸✮
❮àчальное óсловие â случае ñòåðæíÿ имеет âèä✿
u
t=0
= f (x).
✭✷✳✹✹✮
Ðåøèì ýòî уравнение ìåòîäîì Фурье✳ ➪óäåì èñêàòü нетри✲
виальное частное решение óðàâíåíèÿ ✭✷✳✹✸✮✱ óдовлетворяющее óñëî✲
âèþ ✭✷✳✹✹✮✱ â âèäå произведения äâóõ ôóíêöèé✿
u(x, t) = X(x)T (t).
Ïîäñòавляем â уравнение ✭✷✳✹✸✮✿
✶✵✵
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]