Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
➶ычислим êоэффициенты
π
Z
1
a0=
π
−π
f(x)dx =
1
=
π
= 0 +
π
Z
1
ak=
f(x) cos kxdx =
π
−π
2
sin kx
=
kπ
= 0 +
= 0 −
0
−π
1
(π − x) sin kx
kπ
1
k2π
= −
❮айдем êоэффициенты
0
· 2x
−π
1
2π
+
π
π
2
π
(
+
cos kx
1
(−1)k− 1=
k2π
a0è
ak✿
0
Z
1
π
−π
1
+
π
π2−
0
Z
cos kxdx +
−π
2dx +
πx −
2
π
2
π
Z
1
(π − x)dx =
π
0
π
2
x
=
2
0
− 0= 2 +
π
Z
1
π
0
π
,
2
(π − x) cos kxdx =
u = π − x dv = cos kxdx
du = −dx v =
π
+
kπ
0
π
0
= −
1
(cos kπ − cos 0) =
k2π
1
k
π
Z
1
sin kxdx =
0
1 − (−1)
k2π
sin kx
k
.
bk✿
)
=
bk=
= −
π
Z
1
f(x) sin kxdx =
π
−π
= −
kπ
2
cos 0 +
kπ
2
cos kx
2
cos kπ −
kπ
0
Z
2
sin kxdx +
π
−π
(
0
−π
u = π − x dv = sin kxdx
+
du = −dx v = −
1
(π − x) cos kx
kπ
π
Z
1
(π − x) sin kxdx =
π
0
1
k
π
−
0
cos kx
Z
1
kπ
0
)
π
cos kxdx =
=
✹✶
k
= −
2
kπ
+
2(−1)
kπ
− 0 +
1
1
−
k
k2π
sin kx
➬апишем ðÿä Фурье функции✿
∞
f(x) ∼ 1 +
X
π
+
4
1 − (−1)
k=1
k2π
k
cos kx +
(
➶ ýòîé формуëå
f(x) =
2, −π < x < 0,
π − x, 0 < x < π.
Функция
ðüå ñòîèò çíàê ✧∼✧
Сумма ðÿäà
f(x)
íå являетсÿ непрерывной✱ поэтому â ðÿäå Ôó✲
.
S(x)
внутри интервала
âñåõ òî÷êàõ непрерывности ñ функцией
суммы ðÿäà â òî÷êàõ разрыва✳
➶ òî÷êàõ âèäà
x = 2kπ✱k ∈ Z
✱ çíàчение
π
2(−1)k− 1
=
0
kπ
2(−1)k− 1+ π
kπ
(−π, π)
f(x)
✳ ❮айдем çíàчения
S(x)
совпадает âî
✿
1
+
.
k
sin kx.
➶ òî÷êàõ âèäà
➹рафик суммы
❰òâåò✿
f(x) ∼ 1 +
✹✷
S(2kπ) =
2 + π
2
x = (2k + 1)π✱k ∈ Z
S(2k + 1)π=
S(x)
0 + 2
2
изображåí íà ðèñ✳ ✶✷✳
разлоæåíèå â ðÿä Фурье
∞
X
π
+
4
1 − (−1)
k=1
k2π
k
cos kx +
, k ∈ Z.
✱ çíàчение
= 1, k ∈ Z.
2(−1)k− 1+ π
kπ
S(x)
✿
sin kx.
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Ðèñ✳ ✶✷
➓✾✳ Ðàçëîæåíèå функции â ðÿä Фурье
ïî ñèíóñàì èëè ïî êосинуñàì
Ðассмотрим функцию
f(x)
✱ заданную íà отрезкå
[0, π]
✱ êî✲
торая óдовлетворÿåò óсловиям ➘èðèõëå ✭ñòð✳ ✷✼✮✳ ➬íàчения ýòîé
функции íà отрезкå
пример✱ ìîæíî определить функцию
чтобы îíà óäîâëåòâîðÿëà равенству
ÿõ говорÿò✱ ÷òî функция
íûì îáðàçîì
✳✽➶ ýòîì случае å➻ ðÿä Фурье áóäåò ñîäåðæàòü толькî
[−π, 0]
f(x)
ìîæíî доопределить ïî разному✳ ❮à✲
f(x)
f(−x) = f (x)
íà отрезкå
íà отрезкå
[−π, 0]
продолжена ÷➻ò✲
[−π, π]
òàê✱
✳ ➶ òàêèõ случа✲
êосинуñû✳
➴ñëè æå определить функцию
чтобы îíà óдовлетвоðÿëà равенству
÷òî
f(x)
íà отрезкå
[−π, 0]
продолжена íå÷➻òíûì îáðàçîì
f(x)
íà отрезкå
f(−x) = −f(x)
[−π, π]
òàê✱
✱ òî говорÿò✱
✱ è òîãäà
å➻ ðÿä Ôóðüå áóäåò ñîäåðæàòü толькî ñèíóñû✳
Ïðè разлоæåíèè ÷➻òíîé èëè íå÷➻òíîé ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå
вычисление êоэффициентов ìîæíî çíàчительно упростить✳ ➘ëÿ
этого íàì понадобÿòñÿ äâà важных свойства✳
✽
Функция
f(x) = −f (−x)
f(x)
называетсÿ
äëÿ âñåõxè−xèç îáëàñòè определения✳
÷➻òíîé
✱ åñëè
f(x) = f (−x)èíå÷➻òíîé
✱ åñëè
✹✸
Утверждение ✶✳
➴ñëè функция
ψ(x)
÷➻òíàÿ✱ òî
π
Z
ψ(x)dx.
0
ðåçêà✿
π
Z
−π
➘îêазательство✳
[−π, 0]è[0, π]
✳ ➶ ýòîì случае интеграл â ëåâîé части равен✲
ψ(x)dx = 2
Ðазобъем промежуток
ñòâà ïредставляетсÿ суммой äâóõ интегралов✿
π
Z
ψ(x)dx =
−π
0
Z
ψ(x)dx +
−π
π
Z
ψ(x)dx.
0
Сделаем замену переменной â первом ñëàãаемом è применим
óсловие ч➻тности ôóíêöèèψ✳
Z
−π
= −
0
ψ(x)dx =
0
Z
ψ(−t)dt = −
π
(
x = −t, −π → π
dx = −dt, 0 → 0
0
Z
ψ(t)dt =
π
Z
0
[−π, π]
)
π
ψ(x)dx.
íà äâà îò✲
✭✶✳✶✹✮
=
✹✹
➶ернемсÿ ê равенству ✭✶✳✶✹✮✿
π
Z
ψ(x)dx =
−π
0
Z
ψ(x)dx +
−π
Утверждение ✶ äîêазано✳
Утверждение ✷✳
➴ñëè функция
π
Z
ψ(x)dx = 0.
−π
π
Z
ψ(x)dx = 2
0
ψ(x)
π
Z
ψ(x)dx.
0
íå÷➻òíàÿ✱ òî
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
➘îêазательство✳
❮à÷àëî äîêазательства аналогично преды✲
дущему✳ ➶ равенстве ✭✶✳✶✹✮ ñäелаем замену переменной â ïåðâîì
ñëàãаемом è ïрименим óсловие неч➻тности функцииψ✳
π
Z
ψ(x)dx =
−π
= −
0
Z
−π
0
Z
ψ(−t)dt +
π
ψ(x)dx +
Z
0
π
Z
= −
0
π
Z
ψ(x)dx =
0
π
ψ(x)dx =
ψ(x)dx +
(
dx = −dt, 0 → 0
0
Z
ψ(t)dt +
π
π
Z
ψ(x)dx = 0.
0
x = −t, −π → π
π
Z
ψ(x)dx =
0
)
=
Утверждениå ✷ äîêазано✳
Формуëû äëÿ êîýôôèöиентов Фурье
÷➻òíûõ è íå÷➻òíûõ функций
Ñ учетом свойств ✭утверждения ✶ è ✷✮
циентов Фурье
✶✮
Ïóñòü
çíàчительнî упрощаютсÿ✳
f(x)
✖ функция ÷➻òíàÿ
ôîðìóëû äëÿ êîýôôè✲
✳ Проверим✱ êàê изменитсÿ
õарактер функции ïðè óìíîæåíèè å➻ íà ñèíóñ ✭êосинуñ✮✳
f(−x) cos k(−x) = f(x) cos kx,
f(−x) sin k(−x) = f(x)(−sin kx) = −f(x) sin kx.
➬íà÷èò✱
f(x) cos kx
✖ ÷➻òíàÿ функция✱ à
f(x) sin kx
✖ íå÷➻òíàÿ✳
Поэтому ñ учетом утверждений ✶ è ✷ разлоæåíèå â ðÿä Ôó✲
ðüå áóäåò ñîäåðæàòü толькî êосинуñû✱ à êоэффициенты ïðè ñèíó✲
ñàõ áóäóò равны íóëþ✿
a0=
π
Z
2
f(x)dx, ak=
π
0
π
Z
2
f(x) cos kxdx, bk= 0.
π
0
✭✶✳✶✺✮
✹✺
Ïðè ýòîì разлоæåíèå â ðÿä Фурье примет âèä✿
✷✮
Ïóñòü теперь
f(x) ∼
f(x)
✖ íå÷➻òíàÿ
a
2
âåðÿåì произведения функции
f(−x) cos k(−x) = −f(x) cos kx,
f(−x) sin k(−x) = −f(x)(−sin kx) = f(x) sin kx.
0
∞
X
+
akcos kx.
k=1
функция✳ ➚íàëîãè÷íî ïðî✲
f(x)
íà ñèíóñ è êосинуñ✿
Получаем✱ ÷òî
f(x) cos kx
✖ íå÷➻òíàÿ ôóíêöèÿ✱ à
f(x) sin kx
✖ ÷➻òíàÿ✳ Ñ учетом утверждений ✶ è ✷ разлоæåíèå â ðÿä Фурье
áóäåò ñîäåðæàòü толькî ñèíóñû✱ à êоэффициенты ïðè êосинуñàõ
✭â òîì числе
a0✮ áóäóò равны íóëþ✿
a0= 0, ak= 0, bk=
π
Z
2
f(x) sin kxdx.
π
0
✭✶✳✶✻✮
Ïðè ýòîì разлоæåíèå â ðÿä Фурье примет âèä✿
∞
X
ðåçêå[✕
Пример✳
π, π]
✳
Ðешение✳
f(x) ∼
Ðàçëîæèòå функцию
Функция
f(x) = |x|
k=1
bksin kx.
y = |x|
внутри[✕
â ðÿä Фурье íà îò✲
π, π]
непрерывна è
êóсочно✕монотонна✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия теоремы ➘èðè✲
õëå✳ Ïðîдолжим периодически функцию
(
f(x) =
x, 0 ≤ x ≤ π,
−x, −π ≤ x < 0
ñ îòðåçêà
✹✻
[−π, π]
íà âñþ действительную ïðÿìóþ✳
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Ðаскладывая функцию
y = |x|
íà отрезкå
[−π, π]
â ðÿä Ôó✲
ðüå✱ ìîæíî воспользоватьсÿ формуëàìè ✭✶✳✶✵✮ äëÿ êоэффициен✲
òîâ✳ ❮î åñëè заметить✱ ÷òî данная функция ÷➻òíàÿ✱ òî вычисления
ìîæíî çíàчительно упростить✳ ➘ëÿ ýòîãî воспользуåìñÿ формуëà✲
ìè ✭✶✳✶✺✮ è учтем✱ ÷òî íà îòðåçêå
π
Z
2
ak=
=
a0=
π
Z
2
π
0
2x
=
sin kx
kπ
1
(cos πx − 1) =
k2π
x cos kxdx =
π
0
π
0
xdx =
−
kπ
2
[0, π]
функция
2
π
x
2
π
2
1
=
0
· π2= π,
π
(
u = x, dv = cos kxdx,
2
k2π
1
k
cos kx
du = dx, v =
π
Z
sin kxdx =
0
1
(−1)k− 1, bk= 0.
k2π
f(x) = x
sin kx
π
=
0
✳
)
=
Получаем
∞
|x| =
X
π
+
2
k=1
1
(−1)k− 1cos kx.
k2π
Òàê êàê функция
отрезкà[✕
y = |x|
π, π]
✱ непрерывна✱ òî функциÿ
Ðèñ✳ ✶✸
✱ периоäè÷åñêè ïðîäîëæенная âíå
S(x) = f(x)
✭â ðÿäå Фурье
✹✼
ìîæíî ïîñòавить çíàê ✧=✧✮✳ Ïðè ýòîì ãðàôèêè функции è суммы
S(x)
ðÿäà Фурье ñовпадают ✭ðèñ✳ ✶✸✮✳
∞
❰òâåò✿
|x| =
Пример✳
X
π
+
2
k=1
Ðàçëîæèòå функцию
1
(−1)k− 1cos kx
k2π
✳
y = π − x✱x ∈ [0, π]
✱ â ðÿä
Фурье✿ à✮ ïî êосинуñàì❀ á✮ ïî ñèíóñàì✳
Ðешение✳
æåíèè íà отрезок
à✮ ❰тобразим функцию
[−π, 0]
✱ à затем ïðîдолжим ïåðèîдически íà âñþ îñü ✭ðèñ✳ ✶✹✮ è
применим формуëû ✭✶✳✶✺✮ ✭
➘анная функция ïðè ÷➻òíîì è нечетном ïðîäîë✲
[−π, 0]
óдовлетворÿåò óсловиям ➘ирихле✳
f(x)
÷➻òíûì образом íà отрезок
bk= 0
✮✿
✹✽
a0=
ak=
=
π
Z
2
(π − x)dx =
π
0
π
Z
2
(π − x) cos kxdx =
π
0
2
(π − x) sin kx
kπ
Ðèñ✳ ✶✹
π
2
πx −
π
(
u = π − x, dv = cos kxdx,
du = −dx, v =
π
+
Z
2
sin kxdx = 0 −
kπ
0
π
0
2
x
2
2
=
π2−
π
0
2
π
= π,
2
)
=
π
=
0
2
k2π
1
sin kx
k
cos kx
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
2
= −
(cos kπ − cos 0) = −
k2π
×➻òíîå ïðîäîëæåíèå
поэтому сумма ðÿäà
S(x)
ïîñòавить çíàê ✧=✧✿
f(x) = π − x =
á✮ ❰тобразим функцию
[−π, 0]
✱ à затем ïðîдолжиì периодически íà âñþ îñü ✭ðèñ✳ ✶✺✮ è
применим формуëû ✭✶✳✶✻✮ ✭
2
(−1)k− 1=
k2π
f(x)
являетсÿ непрерывнîé ôóíêöèåé✱
совпадает ñ
∞
+
f(x)
X
2
π
k=1
íå÷➻òíûì образом íà отрезок
π
2
a0= ak= 0
2
1 − (−1)
k2π
f(x)
è â ðÿäå Фурье ìîæíî
1 − (−1)
k
cos kx.
2
k
✮✿
k
.
bk=
π
Z
2
(π − x) sin kxdx =
π
0
2
= −
(π − x) cos kx
kπ
= 0 +
2
π cos 0 −
kπ
Ðèñ✳ ✶✺
(
u = π − x, dv = sin kxdx,
=
1
k
2
.
k
du = −dx, v = −
π
−
2
Z
2
kπ
0
sin kx
cos kxdx =
π
0
π
0
k2π
cos kx
)
=
✹✾
❮å÷➻òíîå ïðîäîëæåíèå
f(x)
✖ разрывная функция✱ поэтому
â ðÿäå Фурье íåîáõîäèìî ïîñòавить çíàê ✧∼✧✿
∞
X
k=1
1
sin kx.
k
f(x) = π − x ∼ 2
➶ òî÷êàõ разрыва сумма ðÿäà равна среднему арифметическîìó
çíà÷åíèþ пределов функции
❰òâåò✿
Пример✳
ñèíóñàì íà îòðåçêå
Ðешение✳
à✮
f(x) = π − x =
á✮
f(x) = π − x ∼ 2
Ðàçëîæèòå функцию
[0, π]
✳
Функция
f(x)
f(x)
слева è справа✿
2
π
+
2
π
∞
X
1
k
k=1
f(x) = cos 2x
внутри
−π + π
∞
X
k=1
1 − (−1)
k
cos kx;
2
k
sin kx.
â ðÿä Ôóðüå ïî
[0, π]
непрерывна è êóсочно✕
= 0.
2
монотонна✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия теоремы ➘ирихле✳ ❮à
ðèñ✳ ✶✻ изображåí график функции
y = cos 2x
✱ ïðîäîëæенной
íå÷➻òíûì образом íà âñþ îñü✳
Ðаскладывая ôóíêöèþ â ðÿä Фурье ïî ñèíóñàì✱ учтем✱ ÷òî
êоэффициåíòû Ôóðüå
k ∈ N
✿
✺✵
Ðèñ✳ ✶✻
a0= ak= 0
✳ ❮àéäåì êоэффициент
bkïðè
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]