Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
H
p,j−1
− 2H
∆y
p,j
2
+ H
p,j+1
+ λpH
p,j
= V
p,j
.
➶ ýòîé системе
H
= H
p,1
r
λp=
2
n + 1
∆x
V
=
p,j
p,max j
n
X
q=1
2
cos
2
ξ
q+1,j+1
pπ∆x
X
= 0,
sin
− 1.
qπp∆x
X
,
Хокни ïîêàçàë возможность эффективного использования
этого решения äëÿ расчетов â ïредполоæåíèè✱ ÷òî
n = 3 · 2k✱ ãäå
k ∈ Z
✳ ➚налогичнûå ìåòîäû развивали è многие
n = 2kèëè
другие авторы ✭ïîдробнее ссылки íà работы ñì✳ â ❬✶✻✱ ñòð✳ ✷✵✹✕
✷✵✺❪✮✳
➶ернемсÿ ê решению уравнения✳ Ðассмотрим ñëó÷àé ïðÿìî✲
угольной области ñ граничным óсловием ➘ирихле
f 6= 0
шение уравнения
âñþäó✳ ➶ведем вспомогàòåëüíóþ функцию
∇2u∗= ξ
ñ граничными óсловиями
u = f (x, y)
✱ ãäå
u∗✖ точное ðå✲
u∗= 0
íà
âñåé границе✳ ➶ведем åùå вторую вспомогательную функцию˜u✖
точное решение êонечно✲разностного уравнения
íûì óсловием
˜u = f(x, y)
✳ Òочное ðåøåíèå получаетсÿ ñ помощью
∇2˜u = 0
ñ гранич✲
ìåòîäà разделения переменнûõ ✭ñì✳ описание ìåòîäà íà ñòð✳ ✽✼✮✱
êоторый применяетсÿ ê êонечно✲разностному уравнению✳
➶ ñèëó ëèнейности îêончательное решение получаетсÿ ñó✲
перпозицией
∇2u∗= ξ, ∇2˜u = 0 ⇒ ∇
2
u∗+ ˜u= ξ
ñ граничными óсловиями
u∗= 0, ˜u = f(x, y) ⇒ u∗+ ˜u = f (x, y).
Òàêèì образом✱ функцèÿ
íèþ
∇2u = ξ
è граничному óсловию
u = u∗+ ˜u
u = f(x, y)
óдовлетворÿåò уравне✲
✳
✶✷✶
➶ случае ãðàíичных óсловий òèïà ❮еймана ñ íóлевым ãðà✲
диентом разлоæåíèå провоäèòñÿ â ðÿä ïî êосинуñàì✳
➘ëÿ íåïðямоугольной области решение çàäà÷è описано ïî✲
дробнее â ❬✶✻✱ ñòð✳ ✷✵✺✲✷✵✼❪✳
✶✶✳✷✳ ❒åòîä исследования âîëí íà âîäå✱ основанный
íà ðÿäàõ Фурье✳
➶ гидродинамикå изучают периодические è другие анали✲
тически заданные волны â òÿæåëîé æèäêîñòè✳ ➶ реальной жизни
взволнованная морскàÿ поверхность ïредставляет собой непрерûâ✲
íî изменяющуюсÿ систему✱ имеющую случайный õарактер✳ ➘олгое
время ñ÷èòалось✱ ÷òî ýòîò õаотический процесс невозмоæíî îïè✲
ñàòü математически✳ ✃лассическàÿ волновая теория íå ïîäõîäèò
ïðè описании ðåàëüíûõ морских âîëí✳
Сравнительно недавно получиë развитие новый ïîäõîä ê èñ✲
следованию морских âîëí✳ ❰í основан íà ñòатистикå✱ ðÿäàõ Ôó✲
ðüå è гидроäèнамикå✳ ➘ëÿ ïîëучения óстойчиâûõ параметров îïè✲
сания случайной взволнованной морскîé поверхности используют
ìåòîäû ñòатистики✳ ➬àòåì ñ помощью ðÿäîâ Фурье раскладыва✲
þò случайный процесс íà ãàðмонические êомпоненòû✳ ➚ óæå ïî✲
ведение êаждой ãармоники анализируют✱ èñõîäÿ èç êлассическîé
гидродинамическîé теории✳
Ðèñ✳ ✸✷
❮à рисункå ✸✷ изображåíà функциÿ✱ описывающая волно✲
âûå äâèæåíèÿ поверхности✳ ➮спользованы обозна÷åíèÿ✿
✶ ✖ волновой периоä❀ ✸ ✖ высотà волны❀
✶✷✷
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
✷ ✖ îðäèíàòà ïîâåðхности❀ ✹ ✖ огибающие✳
❮åêоторые ñòатистические õарактериñòèêè реальной ìîð✲
ñêîé поверхности описаны ïîдробно â ❬✶✹✱ ñòð✳ ✷✽✵✲✷✽✷❪✳ ➶ данной
работе íà ýòîì моменте îñòанавливатьсÿ íå áóäåì✳
Ðассмотрим волновое äâèæåíèå êàê случайный процесс✳
Ïîëîæèì✱ ÷òî
η = A cos(mx + kt + ε)
ñèíóсоидальная волна✱ ãäåA✖ амплитуäà❀
m =
2π
L
è
k =
2π
T
✭L✖ длина волны✱ àT✖ периоä✮ èε✖ ôàçîâûé óãîë✳
❮àáëþäàÿ äâèæåíèå â íåêоторой òî÷êå✱ êолебания уровня
áóäóò функцией✱ зависÿùåé толькî îò времени✳ ➴ñëè íà÷àëî îò✲
ñ÷åòà совпадает ñ íóлевой íàчальной фазой✱ òî ýòè êолебания
η = A cos kt.
Предстàâèì ñåáå волну ïðîèçвольной формы✱ íî имеющую периоä
T
è частоту
2π
✳ Периодическàÿ функция✱ óдовлетворяющая óñëî✲
T
âèÿì ➘ирихле ✭ñòð✳ ✷✼✮✱ ìîæåò áûòü представлена â âèäå ðÿäà
Фурье ñ основным периоäîìTè ãармоникàìè высших ïîðÿäêîâ✿
∞
X
η ∼
Ancos(nkt + εn).
n=1
Ðèñ✳ ✸✸
Ðассмотрим типичную запись морскîãî волнения✱ предстàâ✲
✶✷✸
ленную íà ðèñ✳ ✸✸✳ Ýòà ôóíêöèÿ íà интервале
áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Фурье✿
∞
X
η(t) ∼
a
0
+
2
ancos
n=1
2πnt
T
1
+ bnsin
✃оэффициенты Фурье íàõîäÿòñÿ ïî формуëàì✿
0 < t < T1ìîæåò
2πnt
.
T
1
✭✷✳✼✵✮
a0=
T
1
Z
2
η(t)dt, an=
T
1
0
bn=
T
1
Z
2
η(t) sin
T
1
0
T
2
1
T
1
Z
η(t) cos
0
2πnt
T
1
dt.
2πnt
T
1
dt,
➶ ðÿäå ✭✷✳✼✵✮ ìîæíî взять êонечное число членов è добить✲
ñÿ õорошего приближåíèÿ ñ реальной кривой✱ изображенной íà
ðèñ✳ ✸✸✳
❮åîáõîдимым óсловием разлоæåíèÿ функциè
η(t)
â ðÿä Ôó✲
ðüå являетсÿ✿
T
1
Z
|η(t)|dt < ∞.
0
Ýòî óсловие óдовлетворÿåòñÿ✱ åñëè величина
T1êîíå÷íà✳
Ðàçëîæåíèå ✭✷✳✼✵✮ ìîæíî çàïèñàòü è â ýêспоненциальной
форме✿
η(t) ∼
∞
X
k=−∞
cne
inkt
,
ãäå êоэффициåíòû
✶✷✹
cn=
T
1
Z
1
T
1
0
η(t)e
−inkt
dt.
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
➓✶✷ Применение äвойных ðÿäîâ Фурье
â сопротивлении материалов
❰äíèì èç распространенных элементов строительных ñî✲
îðóæåíèé являютсÿ разного âèäà ïëàñòèíû✳ ❰íè ïðèìåíÿþòñÿ â
ïëèòàõ перекрытий зданий✱ ìîñòàõ✱ äîðîæíûõ покрытиях✱ ôóí✲
даментàõ✳ Поэтому прогнозирование èõ состоÿíèÿ ïîä нагрузкîé
имеет âàæíóþ практическую çíàчимость✳
Óсловие равновесия ïðè расчете ïðÿìîугольных пластин âû✲
ðàæàåòñÿ уравнением
∂4u
∂x
4
+ 2
∂4u
∂x2∂y
∂4u
+
2
∂y
4
=
p(x, y)
D
,
ãäåu✖ прогиб пластины❀D✖ цилиндрическàÿ æåñòêîñòü❀
✖ âíåøíÿÿ нагрузкà íà пластину ✭❮/ì2✮✳
Òочное решение уравнениÿ
✭✷✳✼✶✮ ìîæíî íàéòè òîëü✲
êî äëÿ íåêоторых расчетных
ñõåì✱ êоторые íå óдовлетворÿ✲
þò запросам практики✳ Поэто✲
ìó â расчетàõ пластинчатых
элементов строительной êîí✲
струкции используют прибли✲
æенные ìåòîäû✳
Ðассмотрим ïðямоугольную
пластину ñî сторонамиaèb✱
опирающуюсÿ íà шарниры✱ íà
êоторую воздействуåò ïðîèç✲
вольная поперечная нагрузкà
✭ðèñ✳ ✸✹✮✳ ❮åîáõîäèìî найти
Ðèñ✳ ✸✹
òàêóþ функцию
ðàÿ являетсÿ решением óðàâ✲
нения ✭✷✳✼✶✮ è óдовлетворÿåò
u(x, y)
граничным óсловиям✿
✭✷✳✼✶✮
p(x, y)
✱ êîòî✲
✶✷✺
u(x, 0) = u(0, y) = 0,
u(a, y) = u( x, b) = 0,
∂2u
∂x
∂2u
∂x
(0, y) =
2
(a, y) =
2
∂2u
(x, 0) = 0,
2
∂y
∂2u
(x, b) = 0.
2
∂y
✭✷✳✼✷✮
➘ëÿ òîãî чтобы граничные óсловия выполнялись✱ предстà✲
âèì функцию прогиба
u(x, y)
â âèäå двойного òðигонометрическî✲
ãî ðÿäà ïî ñèíóñàì✿
∞
∞
X
X
u(x, y) =
n=1
k=1
ãäå
Ank✖ неизвестные êоэффициенты✳
Чтобы функция
u(x, y)
áûëà решением✱ îíà должна óдовле✲
Anksin
nπx
a
sin
kπy
b
,
✭✷✳✼✸✮
òâîðÿòü уравнению ✭✷✳✼✶✮ è граничным óсловиям ✭✷✳✼✷✮✳ Ïîäñòà✲
âèì
u(x, y)
â ✭✷✳✼✶✮✱ ïðîдифференцировав íåîáõîдимое число ðàç
✭ñ÷èòàåì✱ ÷òî ñîîтветствующие ðÿäû ñõîäÿòñÿ✮✿
∞
∞
X
n=1
X
k=1
A
nk
nπ
a
4
+ 2
2
nπ
kπ
a
b
2
+
kπ
b
4
sin
=
nπx
a
p(x, y)
D
sin
.
kπy
b
=
Предстàâèì внешнюю нагрузку
Фурье ïî ñèíóñàì✿
p(x, y) =
✶✷✻
∞
X
n=1
∞
X
k=1
Bnksin
p(x, y)
nπx
a
â âèäå двойного ðÿäà
kπy
sin
,
b
ãäå
Bnk✖ êоэффициенты Фурье
a
Z
Bnk=
4
ab
0
➹ëàâà ✷✳
b
Z
p(x, y) sin
0
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
nπx
a
sin
kπy
b
Ïðè заданной внешней нагрузкå ñ÷èòàåì✱ ÷òî êоэффициен✲
òû
Bnkопределены✳ Òîãäà получим равенство
∞
∞
X
n=1
X
k=1
A
nk
nπ
a
=
4
+ 2
1
D
∞
X
n=1
nπ
a
X
k=1
2
∞
kπ
b
Bnksin
2
nπx
+
4
kπ
b
kπy
sin
a
b
Приравнивая êоэффициенты ïðè îäèíàêîâûõ линейно íåçà✲
висимых ôóíкциях✱ получим систему уравнениé✿
dxdy.
sin
.
nπx
a
sin
✭✷✳✼✹✮
kπy
b
=
4
2n2k
n
4
Ankπ
Ankπ
+
4
a
a2b
2
n
4
2
a
Òîãäà неизвестные êоэффициенты
формуëàì✿
Ank=
Dπ
Ank=
ãäå
Bnk✖ êоэффициенты Фурье ✭✷✳✼✹✮✳
Dπ
4
❰êончательно ïîäñòàâèâ
шение уравнения ✭✷✳✼✶✮✿
+
4
k
b
2
=
B
nk
D
,
=
4
B
nk
D
2
2
2
k
2
b
Ankáóäåì íàõîäèòü ïî
B
nk
2
n
4
+
2
a
a4b4B
a2k2+ b2n
nk
,
2
2
k
2
b
,
2
2
✭✷✳✼✺✮
Ankâ ôóíêöèþ ✭✷✳✼✸✮✱ получим ðå✲
✶✷✼
u(x, y) =
a4b
Dπ
∞
∞
4
X
X
4
n=1
k=1
B
nk
a2k2+ b2n
nπx
sin
2
2
a
sin
kπy
b
.
Пример✳
❰пределите прогиб â центре шарнирно закреплен✲
íîé ïî ïåðиметру квадратной пластины îò равномерного давления
p0ïî âñåé поверхностè✳
Ðешение✳
ñòîянной
p0✳ Ïîëîæèì сторона пластины равнаa✳ ❮айдем êîýô✲
фициенты Фурье
4p
0
=
nkπ
Òîãäà êоэффициентà
➶ данной çàäà÷å внешняя нагрузкà являетсÿ ïî✲
Bnk✱ используÿ ✭✷✳✼✹✮✿
a
Z
Bnk=
4p
=
a
4p
0
2
a
a
0
·
2
nπ
0
cos
sin
nπx
a
nπx
a
(−1)n− 1)(−1)k− 1) =
2
a
Z
0
a
kπy
sin
cos
(
0, n
16p
nkπ
a
kπy
a
0
2
dy =
a
0
n
=
✖ ÷➻òí✳✱
✖ íå÷➻òí✳
dx
a
·
kπ
0
Ankðÿäà✱ аппроксимирующего проги✲
áû пластины✱ â ñèëó ✭✷✳✼✺✮✿
Ank=
Dπ
a4B
4
k2+ n
nk
0, n
=
2
2
Dnkπ
16p
6
a
0
2+k2
n
4
2
✖ ÷➻òí✳✱
n
✖ íå÷➻òí✳
Ïîäñòàâèì êоэффициåíòû
Ankâ ✭✷✳✼✸✮✱ ñ÷èòàÿ здесь è далее✱
÷òînèkпринимают толькî íå÷➻òíûå çíàчения✿
∞
∞
4
X
u(x, y) =
16p0a
Dπ
X
6
n=1
k=1
1
nkn2+ k
nπx
sin
2
2
✶✷✽
kπy
sin
a
.
a
➹ëàâà ✷✳
Прогиб â центре пластины✱ ò✳å✳ â òî÷êå
∞
a
a
u
,
2
16p0a
=
2
=
Dπ
16p0a
Dπ
∞
4
X
X
6
n=1
k=1
∞
∞
4
X
X
6
n=1
k=1
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
a
a
,
✱ равен
2
2
1
nkn2+ k
n+k
2
(−1)
nkn2+ k
2
−1
2
nπ
sin
2
.
2
kπ
sin
2
=
2
➘ëÿ ïðиближенного вычисленèÿ прогиба â центре пластины
ограничимсÿ толькî двумя ñëàãаемыми â êаждой ñóììå ✖ îñòàâèì
äëÿnèkçíà÷åíèÿ ✶ è ✸✿
a
u
2
16p0a
=
❰òâåò✿
,
Dπ
a
2
16p0a
≈
Dπ
(−1)
+
3 · 132+ 1
4
1
−
6
4
4
6
1 · 112+ 1
3+1
−1
2
1
300
(−1)
2
−
1+1
2
+
2
3 · 332+ 3
1
+
300
−1
2
(−1)
1
2916
2
прогиб â центре пластины ðàâåí
(−1)
+
1 · 312+ 3
3+3
−1
2
2
2
≈ 0, 00405
1+3
2
=
0, 00405
−1
2
p0a
D
2
4
p0a
D
+
.
4
.
✶✷✾
ÑÏ➮Ñ❰✃ Ð➴✃❰❒➴❮➘❰➶➚❮❮❰➱ ❐➮Ò➴Ð➚ÒÓÐÛ
✶✳ ➪àðè ❮✳ ✃✳
Тригонометрическèå ðÿäû
✴ ❮✳ ✃✳ ➪àðè✳ ✖ ❒✿
Ô➮➬❒➚Ò❐➮Ò✱ ✶✾✻✶✳ ✖ ✾✸✻ ñ✳
✷✳ ➪àòü ❒✳ ➮✳
Òеоретическая механиêà â примерàõ è задачах
учебник✳ ➶ ✸✲õ ò✳ Ò✳ ✷ ✴ ❒✳ ➮✳ ➪àòü✱ ➹✳ Þ✳ ➘æанелидзе✱
➚✳ Ñ✳ ✃ельзон✳ ✖ ❒✿ ❮àóêà✱ ✶✾✻✻✳ ✖ ✻✻✸ ñ✳
✸✳ ➶оробьев ❮✳ ❮✳
Òеория рядов
✴ ❮✳ ❮✳ ➶оробьев✳ ✖ ❒✿ ❮àóêà✱
✶✾✼✾✳ ✖ ✹✵✽ ñ✳
✹✳ ➹ëóõîâ ➶✳ ➚✳
✃óðñ высшей ìàòåматики
✿ учебник✳ ➶ ✷✲õ ò✳
Ò✳ ✶ ✴ ➶✳ ➚✳ ➹ëóõîâ✱ ➹✳ ➚✳ ✃îòîâ✱ ❰✳ ➶✳ ✃отова✳ ✖ ❒àêååâêà✱
✷✵✷✵✳ ✖ ✺✻✺ ñ✳
✺✳ ➹ëóõîâ ➶✳ ➚✳
✃óðñ высшей ìàòåматики
✿ учебник✳ ➶ ✷✲õ ò✳
Ò✳ ✷ ✴ ➶✳ ➚✳ ➹ëóõîâ✱ ➹✳ ➚✳ ✃îòîâ✱ ❰✳ ➶✳ ✃отова✳ ✖ ❒àêååâêà✱
✷✵✷✵✳ ✖ ✻✶✻ ñ✳
✻✳ ➴ðìàêîâà Ò✳ ➶✳
❮екоторые возможности применения ðÿ✲
äîâ Фурье ê решению задач сопротивления материалов
Ò✳ ➶✳ ➴ðìàêîâà ✴✴ ➮звестия ✃➹ÒÓ✳ ✖ ✃алининград✿ ✃➹ÒÓ✱
✷✵✶✶✳ ✖ âûï✳ ✷✵✳ ✖ Ñ✳ ✻✵✕✻✼✳
✼✳ ➬игмунд ➚✳
Тригонометричесêèå ðÿäû
✳ ➶ ✷✲õ ò✳ Ò✳ ✶ ✴ ➚✳ ➬èã✲
ìóíä✳ ✖ ❒✿ ❒èð✱ ✶✾✻✺✳ ✖ ✻✶✺ ñ✳
✿
✴
✽✳ ➬îðè÷ ➶✳ ➚✳
❒àòåматический анализ
✿ учебник✳ ➶ ✷✲õ ò✳ Ò✳ ✷
✴ ➶✳ ➚✳ ➬îðè÷✳ ✖ ❒✿ Ô➮➬❒➚Ò❐➮Ò✱ ✶✾✽✹✳ ✖ ✻✹✵ ñ✳
✾✳ ➮гнатьева ➚✳ ➶✳
✃óðñ высшей ìàòåматики
✴ ➚✳ ➶✳ ➮гнатье✲
âà✱ Ò✳ ➮✳ ✃раснощкîâà✱ ➶✳ Ô✳ Смирнîâ✳ ✖ ❒✿ ➶ûñøàÿ øêîëà✱
✶✾✻✹✳ ✖ ✻✽✸ ñ✳
✶✵✳ ➮êðèí ➶✳ ➚✳
ðèè упругости è пластичности
Сопротивление материалов ñ ýëåìåíòàìè òåî✲
✴ ➶✳ ➚✳ ➮êðèí✳ ✖ ❒✿ ➚Ñ➶✱
✷✵✵✹✳ ✖ ✹✷✸ ñ✳
✶✶✳ ✃îãàí ➴✳ ➚✳
òåматической физики
Ðÿäû Фурье è äèôференциальные óðавнениÿ ìà✲
✿ учебное пособие ✴ ➴✳ ➚✳ ✃îãàí✱
➴✳ ➚✳ ❐опаницын✳ ✖ ❒✿ ❒➚❒➮✱ ✷✵✶✷✳ ✖ ✶✸✼ ñ✳
✶✸✵
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]