Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
îäîì функцииf✳ Òàêèì ÷èñëîì являетсÿ2π✳ ➬íà÷èò✱
Проверим✱ ÷òî функция
f(x + 2π) = sin(x + 2π) +
= sin(x + 2π) +
1
2
= sin x +
f(x)
являетсÿ2π✲периоäическîé✿
1
sin 2(x + 2π) +
2
sin(2x + 4π) +
1
sin 2x +
2
1
4
1
sin 3(x + 2π) =
4
1
sin(3x + 6π) =
4
sin 3x = f (x).
❮à ðèñ✳ ✶ изображåí график данной периодическîé функции
✭✶✳✶✮ íà интервале
[−2π, 2π]
✱ êоторый ïî своему âèäó çíàчительно
îòличаетсÿ îò ñèíóсоиды✳
T = 2π
✳
Ðèñ✳ ✶
➴ñëè рассмотреть функцию✱ ñîñòавленную èç áåñêонечного
числа ñëàãаемых ñèíóñîâ ðàçíûõ аргументов✱ òî õарактер графи✲
êà✱ очевидно✱ åùå â большей степени áóäåò îòличатьсÿ îò ñèíóñî✲
èäû✳
✶✶
Пример✳
Функция
f(x) =
❝♦♥st òàêæå ïåðèîдическàÿ✳ ➴➻
периоäîì являетсÿ любое ïîëîжительное число✱ íî ãлавного ïåðè✲
îäà функция íå имеет✳
öèÿ
➬амечание✳
f(x)
интегрируеìà íà îòðåçêå
❰тметим✱ ÷òî êîãäà ìû áóäåì говорить
[a, b]
✱ áóäåì иметь â âèäó✱ ÷òî
ôóíê✲
существуåò интеграл ✭õîòÿ áû несобственный✮
b
Z
f(x)dx
a
â обычном смысле✳ Ò✳å✳ ñ÷èòàåì✱ ÷òî интегрируåìàÿ функция ✖
ýòî èëè непрерывная функция✱ èëè òàêàÿ✱ êîòîðàÿ íà отрезкå
[a, b]
имеет êонечное число точек разрыва ✶✲îãî ðîäà✳
Ïðè интегрировании ïåðèîдических функций имеет место
åùå îäíî âажное свойство✳
❰бозна÷èì черезlполупериоä функции
Òеорема
➴ñëè функция
✭îá èнтегрировании периодических ôóíêöèé✮✳
f(x)
имеет ïåðèîäTè интегриðóåìà íà ëþ✲
f(x)
✱ ò✳å✳
T = 2l
✳
áîì отрезке✱ òî äëÿ произвольного действиòåльного ÷èñëàaèí✲
òåãðàë ïî отрезку длиныTíå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ этого îò✲
резка íà ÷èñловой îñè✿
a+T
Z
f(x)dx =
a
➘îêазательство✳
Ðазобъем ëåâûé интеграл выражåíèÿ ✭✶✳✷✮
íà сумму äâóõ интегралов✿
a+T
Z
f(x)dx =
a
➘елаем замену переменной âî втором интеграле✿
✶✷
T
Z
f(x)dx +
a
T
Z
f(x)dx.
0
a+T
Z
T
f(x)dx.
✭✶✳✷✮
✭✶✳✸✮
n
x
=
x
âåðõí
➶åðí➻ìñÿ ê равенству ✭✶✳✸✮ è ïîäñòàâèì полученные преоб✲
разования✿
= T → t
íèæí
.
= a + T → t
.
a+T
Z
f(x)dx =
T
íèæí
.
âåðõí
= 0,
.
= a
n
x = t + T,
dx = dt,
Z
o
=
0
➹ëàâà ✶✳
o
=
a
f(t + T )dt =
Ðÿäû Фурье
a
Z
f(t)dt.
0
a+T
Z
f(x)dx =
a
Z
Z
=
T
f(x)dx +
a
a
f(x)dx +
0
a
Z
f(x)dx =
0
T
Z
f(x)dx =
a
T
Z
f(x)dx.
0
Òеорема äîêазана✳
Следствие✳
ñàòü â âèäå✿
➴ñëè
a+T
Z
a
T = 2l
✱ òî ðавенство
f(x)dx =
−l
l
Z
f(x)dx.
✭✶✳✷✮
можно çàïè✲
➓✷✳ ❰ртогональность тригонометрическîé системы
❰бозна÷èì ÷åðåç
функций✱ определ➻нных íà отрезкå
интеграл
✷
➮нтеграл понимаетсÿ â более общем смысле✱ ÷åì интеграл Римана✱ ✖ â
смысле интеграла ❐åáåãà✳ ➮зученèå этого вопроса âûõîäèò çà рамки äàí✲
íîãî пособия✳ Ïîдробнее ïðî интеграл ❐åáåãà✱ ñì✳ íàïð✳✱ â ❬✶✺✱ ãë✳ ✶✾❪✳
✷
L2[a, b]
ìíîæество âñåõ действительных
[a, b]
è äëÿ êоторых существуåò
✶✸
b
Z
f2(x)dx < ∞.
a
➶ частности✱ âñå íåïðерывные íà
æàò✸L2[a, b]
Ðассмотрим действительные функции
ëåæàùèå
L2[a, b]
произведение
✳
✳ ➶âåäåì íà ýòîì ìíîæестве функций
✱ îáîçíà÷àÿ åãî êðóãëûìè ñêîáêàìè✱
b
Z
(f, g) =
f(x)g(x)dx.
a
[a, b]
функции ïðèíàäëå✲
f(x)èg(x)
✱ принад✲
скалярное
❰íî óдовлетворÿåò âñåì òð➻ì свойствам ñêалярного произведенèÿ
â действительном линейном пространстве✳
➘ëÿ действительных функций
✶✮
(f, g) = (g, f)
✷✮
(αf + βg, h) = α(f, h) + β(g, h)✱α, β ∈ R
✸✮
(f, f ) ≥ 0
❀
✳
f, g, h ∈ L2[a, b]
❀
➶âåä➻ì åù➻ îäíî обозна÷åíèå✿
b
Z
kfk2= (f, f ) =
f2(x)dx.
a
➶еличину
kfk ≥ 0
назов➻м
íîðìîé
функции
f(x)
✳
❮îðìà обладает следующими свойствами✿
✶✮
kfk ≥ 0;
✷✮
kλfk = |λ|kf k
❀ ✸✮
kf + gk ≤ kfk + kgk
Первые äâà свойства ñëедуют èç определениÿ нормы✳ Третье
свойство называетсÿ
íåðавенствоì треугольника
✭áåç äîêазатель✲
ñòâà✮✳
✸
➬íàчения интегралов ❐åáåãà òàêèõ функций совпадают ñî çíàчениями èí✲
тегралов Ðèìàíà✳
✶✹
✳
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
❰пределение✳
называетсÿ
Пример✳
[−1, 1]
✱ òàê êàê èõ ñêàëярное произведение равно íóëþ✿
❰пределение✳
ортогональнойíà[a, b]
(fn, fm) =
1
Z
x · x2dx =
−1
Система функций
b
Z
fn(x)fm(x)dx =
a
Функции
f(x) = xèg(x) = x2ортогональны íà
1
Z
−1
Тригонометричесêîé систеìîé
x3dx =
{fn(x)}
✱ ãäå
fn(x) ∈ L2[a, b]
✱ åñëè ñêалярное произведениå
(
0, n 6= m,
λn> 0, n = m.
4
1
x
4
−1
=
1
1
−
4
= 0.
4
называют
ìíîæество функций
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, ... .
Òеорема✳
ляется ортогональной систеìîé íà
Тригонометрическая систеìà функций
[−π, π]✱ò✳å✳ äëÿ любых íàòó✲
✭✶✳✹✮
ральных çíàченийkènвыполняютсÿ следующие равенствà✿
✱
✭✶✳✹✮
ÿâ✲
π
R
cos nx cos kxdx = 0
−π
π
R
cos nx sin kxdx = 0
−π
π
R
sin nx sin kxdx = 0
−π
➘îêазательство✳
öèé
f = 1èg = cos nx
n 6= k n = k
π
R
cos2nxdx = π
−π
π
R
cos nx sin nxdx = 0
−π
π
R
sin2nxdx = π
−π
Проверим ñíà÷àëà ортогональность ôóíê✲
ïðè любом натуральномn✳ ➘ëÿ этого âû✲
✶✺
числим интеграл✹✿
π
Z
1 · cos nxdx =
−π
1
sin nx
n
π
−π
1
(sin πn − sin(−πn)) = 0.
=
n
✭✶✳✺✮
➚налогично проверим ортогональность функций
g = sin nx
π
Z
−π
ïðè любом натуральномn✳
1 · sin nxdx = −
1
cos nx
n
➘ëÿ вычисления интегралов â левом столбце òàáëèöû äëÿ
любых натуральныхnèk✱
формуëû✿
cos nx cos kx =
cos nx sin kx =
sin nx sin kx =
1
2
1
2
1
2
➘ëÿ любых натуральныхnèk✱
π
Z
cos nx cos kxdx =
−π
=
=
1
2
1
2
n + k
n + k
+
Z
1
2
−π
1
sin(n + k)x +
1
sin(n + k)π +
1
n − k
π
−π
n 6= k
1
= −
(cos πn − cos πn) = 0.
n
✱ ïðèменим тригонометрические
cos(n + k)x + cos(n − k)x,
sin(n + k)x − sin(n − k)x,
− c os( n + k)x + cos(n − k)x.
n 6= k
✱ получим✿
π
cos(n + k)x + cos(n − k)xdx =
1
sin(n −k)x
n − k
1
sin(n + k)π+
n + k
sin(n −k)π +
1
sin(n −k)π= 0.
n − k
f = 1
π
−π
è
✭✶✳✻✮
=
✹
➬äåñü è далее многократно áóäåì использовать равенства✿
sin πn = 0✱cos πn = (−1)n✱
n ∈ Z
✳
✶✻
Ïðè ïîäñòановкå пределов интегрирования воспользовались
неч➻тностью ñèíóñà✳
➚налогично äëÿ любых íàтуральныхnèk✱
è другие интегралы✿
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
n 6= k
✱ вычислим
π
Z
cos nx sin kxdx =
−π
=
=
1
2
1
2
−
n + k
1
+
π
Z
1
sin(n + k)x − sin(n − k)xdx =
2
−π
1
cos(n + k)x +
n + k
cos(n + k)π −
1
cos(n −k)π −
n − k
1
n − k
1
n + k
n − k
cos(n −k)x
cos(n + k)π+
1
cos(n −k)π= 0
✭использовали ч➻тность êîñèíóñà è привели ïîдобные✮✳
π
Z
sin nx sin kxdx =
−π
=
=
Ïðè
n = k
1
−
2
1
−
2
+
применим формуëû понижåíèÿ степени✿
1
2
1
n + k
1
n + k
1
n − k
Z
−π
π
− c os( n + k)x + cos(n − k)xdx =
sin(n + k)x +
sin(n + k)π −
sin(n −k)π +
1
n − k
1
n + k
1
n − k
sin(n −k)x
sin(n + k)π+
sin(n −k)π= 0.
π
=
−π
π
=
−π
Получим✿
π
Z
cos2nxdx =
−π
cos2nx =
1 + cos 2nx
2
π
Z
1
(1 + cos 2nx)dx =
2
−π
, sin2nx =
1
x +
2
1 − cos 2nx
2
1
sin 2nx
2n
.
π
=
−π
✶✼
1
π − (−π) +
=
2
➚налогично✱
1
sin 2nπ +
2n
1
sin 2nπ=
2n
1
(π + π) = π.
2
π
Z
sin2nxdx =
−π
π
Z
1
(1 −cos 2nx)dx =
2
−π
1
2
x −
1
2n
sin 2nx
π
= π.
−π
❰ñòалось вычислить
π
Z
cos nx sin nxdx =
−π
= −
4n
π
Z
1
sin 2nxdx = −
2
−π
1
(cos 2nπ − cos 2nπ) = 0.
1
4n
cos 2nx
π
=
−π
Òеорема äîêазана✳
➬амечание✳
➶ ñèëó теоремы îá интегриðîâàíèè ïåðèîäè÷å✲
ñêèõ функций ✭ñòð✳ ✶✷✮ тригонометрическàÿ система ✭✶✳✹✮ являетсÿ
ортогональной íà любом промежуткå длиной2π✳
любого
{fn(x)}
❰пределение✳
n ∈ N
норма функции
называетсÿ
➴ñëè система
➴ñëè â ортогональной системе
kfnk = 1
ортонормированной
{fn(x)}
ортогональна✱ òî система
✱ òî система функций
✳
{fn(x)}
n
fn(x)
kfnk
äëÿ
o
îð✲
тонормирована✳
Пример✳
Ðешение✳
Пронормируйте тригонометричåñêóþ систему ✭✶✳✹✮✳
Ïî òåîðåìå тригонометрическàÿ система
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, ...
ортогональна íà отрезкå
[−π, π]
✳
✶✽
➹ëàâà ✶✳
➶ычислим нормы функцèé системы ✭✶✳✹✮✿
π
k1k2=
kcos nxk2=
=
ksin nxk2=
=
Z
12dx = x
−π
π
Z
cos2nxdx =
−π
1
x +
2
π
Z
sin2nxdx =
−π
1
x −
2
π
−π
1
2
1
sin 2nx
2n
kcos nxk =
1
2
1
sin 2nx
2n
ksin nxk =
= 2π, k1k =
π
Z
(1 + cos 2nx)dx =
−π
π
−π
=
π
2
√
π;
π
Z
(1 − cos 2nx)dx =
−π
π
−π
=
π
2
√
π.
Система ôóíêöèé
Ðÿäû Фурье
√
2π;
π
+
= π,
2
π
+
= π,
2
2π
cos x
√
,
sin x
√
,
π
cos 2x
√
,
π
π
,
sin 2x
√
π
,
cos 3x
√
π
√
1
являетсÿ ортонормированной системой íà отрезкå
❰òâåò✿ нормы функций
единицы равна
√
2π
✳
sin nxècos nx
равны√π
➓✸✳ Тригонометрический ðÿä
❰пределение✳
Тригонометрическим ðÿäîì
âèäà
a
0
+ a1cos x + b1sin x + a2cos 2x + b2sin 2x + ...+
2
+ancos nx + bnsin nx + ... ,
sin 3x
√
,
[−π, π]
π
, ...
✳
✱ à норма
называетсÿ ðÿä
✭✶✳✼✮
✶✾
èëè â сокращенной форме✿
∞
X
a
0
+
2
ãäå
a0✱
a1✱
a2✱ ✳✳✳✱
➬амечание✳
b1✱
b2✱ ✳✳✳ ✖
➶ выражåíèè ✭✶✳✼✮ íåò êоэффициентà
êàê ýòî ìíîжитель ïðè
ïðè
cos 0x
✱ êоторый принято записывать â âèäå
(akcos kx + bksin kx),
k=1
êîýôфициенòû
sin 0x
✳ Свобоäíûé ÷ëåí ✖ ýòî êоэффициент
ðÿäà✳
a
2
0
✱ à íå
b0✱ òàê
a0✳ Òàêîå
обозначение выбрано äëÿ òîãî✱ чтобы формуëû äëÿ âû÷исления
êоэффициентов записывались единообразно✳
➬амечание✳
➶ñå ÷ëåíû ðÿäà ✭✶✳✼✮ являютсÿ ïåðèîдически✲
ìè функциями ñ общим периоäîì2π✳
❰пределение✳
ñ периоäîì
T = 2π
Ðазложить
периодическую функциþ
f(x)
â тригонометрический ðÿä ✭✶✳✼✮ îçíà÷àåò найти
ñõîдящийсÿ тригонометрический ðÿä✱ сумма êоторого равна ôóíê✲
öèè
f(x)
✳
➶ процессе èçó÷åíèÿ данного раздела ответим íà äâà основ✲
íûõ вопроса✿
✶✮ ✃àêèå функции
f(x)
ñ периоäîì
T = 2π
ìîæíî разлоæèòü
â òðигонометрический ðÿä ✭✶✳✼✮❄
✷✮ ➴ñëè òàêîå разлоæåíèå возмоæíî✱ òî êàê ïî функции
f(x)
найти êоэффициенты òàêîãî ðÿäà❄
➴ñëè разлоæåíèå функции
f(x)
â тригонометрический ðÿä
единственно✱ òî âñÿ информация î функцèè ñîäåðæèòñÿ â после✲
довательности êоэффициентов ðÿäà✳
➓✹✳ ✃оэффициенты Фурье
Ðассмотрим следующую çàäà÷ó✳ Ïóñòü íåêоторой произволь✲
íîé2π✕периоäè÷åñêîé ôóíêöèè
f(x)
íà отрезкå[✕
â ñîответствие тригонометрический ðÿä✿
∞
X
a
f(x) ∼
0
2
(ancos nx + bnsin nx).
+
n=1
✷✵
π, π]
ïîñòавлен
✭✶✳✽✮
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]