Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ряды Фурье и их приложения. Учебно-методическое пособие
.pdf
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
(
u = 2x − 6 dv = cos
= 0 +
2
=
33kπ
4
kπ3kπ
=
du = 2dx v =
(2x −6) sin
3
kπx
cos
3
0
=
3
kπx
3
0
12
(cos kπ − cos 0) =
2
k2π
−
3
kπ
2
33kπ
sin
Z
0
➬апишем ðÿä Фурье ïî êосинуñàì äëÿ функции
∞
X
2x − 6 = −3 +
Òàê êàê ïðîäîëæåíèå функциè
12(−1)k− 1
k=1
k2π
2
f(x)
)
kπx
dx
3
3
sin
kπx
3
kπx
3
=
· 2dx =
12(−1)k− 1
2
k2π
f(x)
✿
kπx
cos
.
3
непрерывно✱ òî â ðÿäå
.
Фурье ìîæíî ïîñòавить çíàê ✧=✧✳ Ïðè ýòîì графики ôóíêöèè è
суммы
S(x)
ðÿäà Фурье ñîâïàäàþò ✭ðèñ✳ ✷✷✮✳
❰òâåò✿
2x − 6 = −3 +
Ðèñ✳ ✷✷
∞
X
12(−1)k− 1
k=1
k2π
kπx
2
cos
✳
3
✻✶
➓✶✶✳ ✃омплекñíûé ðÿä Фурье
Формуëà✱ связываþùàÿ тригонометрическиå функции è ïî✲
êазательную ñ êомплекñíûì ïîêàçàòåëåì✱ называетсÿ
Эйлерà
✿
x+iy
e
= ex(cos y + i sin y).
Часто ýòó формуëó используют â другой записи✿
ôîðмулой
eiy+ e
−iy
2
➮спользуÿ формуëó Ýéëåðà✱ ðÿä Фурье ìîæíî переписать
â êомплекñíîé форме✳
Ðассмотрим íåêоторый тригонометрический ðÿä
f(x) ∼
Ñ учетом ✭✶✳✷✵✮
∞
X
a
f(x) ∼
0
+
2
n=1
Сгруппируåì ñëàãаемые ïî степеням ñ îдинаковыми ïîêà✲
зателями✿
a
f(x) ∼
0
+
2
➶ведем îáîçíàчения äëÿ êоэффициентов✿
= cos y,
a
0
+
2
a
n
∞
X
n=1
eiy− e
−iy
2i
∞
X
(ancos nx + bnsin nx).
n=1
inx
e
an− bni
+ e
2
2
−inx
inx
e
+ bni
an+ bni
+
= sin y.
inx
−e
2
+ e
2
−inx
e
−inx
✭✶✳✷✵✮
.
.
òîãäà
✻✷
a
0
2
= c0,
an− bni
f(x) ∼ c0+
2
X
n=1
∞
= cn,
cne
inx
+
an+ bni
∞
X
n=1
2
c−ne
−inx
= c−n,
.
➹ëàâà ✶✳
Ðÿäû Фурье
Сворачивая âûðàæåíèå ïîä îäèí çíàê суммы✱ получим
Фурье â êîмплексной ôîðìå
f(x) ∼
✿
∞
X
n=−∞
cne
inx
.
➶ыведем формуëû äëÿ êоэффициентов Фурье
π
cn=
Z
1
=
2π
−π
❰êончательно✱
имеют âèä✿
Ýòà формуëà верна äëÿ ëþáûõ
Пример✳
an− bni
2
π
f(x)cos(−nx) + i sin(−nx)dx =
êîýôфициенты Фурье â êîмплексной ôîðìå
cn=
Ðàçëîæèòå функциþ
=
Z
1
f(x)(cos nx − i sin nx)dx =
2π
−π
π
Z
1
2π
−π
f(x)e
−inx
n ∈ Z
dx.
✳
f(x) = exíà îòðåçêå
1
2π
â êомплекñíûé ðÿä Фурье✳
Ðешение✳
Ðàíåå функция
f(x) = exáûëà разлоæåíà â âå✲
щественный ðÿä Фурье ✭ñì✳ пример íà ñòð✳ ✸✼✮✳
➶ычислим êоэффициенты
cnäëÿ любого
ðÿä
cnñ ó÷åòîì ✭✶✳✶✵✮✿
π
Z
−inx
f(x)e
−π
dx.
[−π, π]
n ∈ Z
✿
cn=
=
2π(1 − in)
1
1
2π
Z
−π
π
exe
(1−in)x
e
−inx
dx =
π
−π
=
1
2π
−π
(1−in)π
e
Z
π
(1−in)x
e
−(1−in)π
− e
2π(1 − in)
dx =
.
✻✸
➶ ñèëó формуëû Эйлера äëÿ любого целого
inπ
e
= cos nπ + i sin nπ = cos nπ = (−1)n.
n
Поэтому формуëà äëÿ êоэффициентов Фурье упроститсÿ✿
cn=
n
(−1)
2π(1 − in)
eπ− e
−π
.
Òîãäà ðÿä Фурье íà отрезкå
−π
eπ− e
❰òâåò✿
ex∼
ex∼
eπ− e
2π
−π
2π
n=−∞
∞
X
n=−∞
[−π, π]
∞
X
(−1)
1 − in
примет âèä✿
n
(−1)
1 − in
n
inx
e
✳
inx
e
.
✻✹
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
➹ëàâà ✷✳ Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
Ðÿäû Фурье имеют ìíîæåñòâî прилоæåíèé✳ ❮åêоторые èç
íèõ требуют более ãлубоких òåîðåòèческих знаний è интересны
ñ точки зрения изучения математическîãî анализа✳ ❮апример✱ ðå✲
шение
задача
òîé êðèâîé данной длины✱ наибольшую площадь имеет êðóã è
толькî êðóã ✭ñì✳ ïîдробнее ❬✽✱ ñòð✳ ✺✹✵✕✺✹✷❪✮✳ ➘анное пособие ïðåä✲
назна÷åíî â первую очередь äëÿ ñòóдентов èíæенерных специаль✲
ностей✱ ïîэтому òàêèå прилоæåíèÿ здесь ìû íå áóäåì рассматри✲
âàòü✳
äëÿ исследователя èíæенера✳ ❮апример✱ решение уравнения òåï✲
лопроводности è уравнения свобоäíûõ ìàëûõ êолебаний струны ñ
закрепленными êîíöàìè✱ ïрименение ðÿäîâ Фурье â теории изгиба
балок✱ решение çàäà÷ теоретическîé ìåõàíèêè è гидроäèíамики✳
íûõ прилоæåíèÿõ ðÿäîâ Фурье✳
интегральных óðàвнений
✭❬✶✾✱ ãë✳ ✶✶❪✮✱
изопериметрическая
✿ äîêазать✱ ÷òî среди плоских фигур✱ ограниченных замкну✲
❮åêоторые прилоæåíèÿ имеют непосредственный интерес
➘àëåå ïîдробнее îñòановимсÿ íà наиболее интересных è âàæ✲
➓✶✳ ➶ычисление суммы ðÿäà
äëÿ íåêоторых числовых ðÿäîâ
Ñ помощью ðÿäà Фурье функции ìîæíî вычислÿòü çíà÷å✲
íèÿ ñóìì числовых ðÿäîâ✳
Пример✳
Ðешение✳
æåíèå функции
∞
X
❮айдите сумму числового ðÿäà
n=1
Ðàíåå â ïðèìåðå íà ñòð✳ ✸✷ áûëî получåíî ðàçëî✲
y = x
â ðÿä Фурье íà интервале
[−π, π]
(−1)
2n − 1
✳
n+1
✳
➶îçüì➻ì â разлоæåíèè ✭✶✳✶✸✮ вместо переменнойxçíà÷åíèå
π
✳ ➶ ýòîé òî÷êå функция совпадает ñî своим ðÿäîì Фурье✱ поэтому
2
â формуëå ìîæíî ïîñòавить çíàê ✧=✧✳
∞
X
π
=
2
k=1
(−1)
k+1
kπ
2
sin
k
.
2
✭✷✳✶✮
✻✺
➘ëÿ ÷➻òíûõ
k = 2n
sin
ìíîжитель
2nπ
= sin nπ = 0,
2
поэтому âñå ñëàãаемые ðÿäà ñ ч➻тными номерами равны íóëþ✳ ➘ëÿ
íå÷➻òíûõ
k = 2n − 1
выражåíèå
(2n −1)π
sin
2
Ðазделим равенство ✭✷✳✶✮ íà ✷ è получим✿
➬амечание✳
∞
X
n=1
➮ç курса высшей математики известно✱ ÷òî
(−1)
2n − 1
n+1
числовой çíàêочередующийсÿ ðÿä
Òàêîé ðÿä называетсÿ
Ðешение✳
æåíèå функции
y =
ðÿäîì ❐ейбница
∞
X
1
;
à
)
k=1
2
k
á
Ðàíåå â ïðèìåðå íà ñòð✳ ✺✷ áûëî ïолучено разло✲
π
2
|x| −
2
x
â ðÿä Ôóðüå íà интервале
4
à✮ ➶îçüì➻ì â ✭✶✳✶✼✮ вместоxçíà÷åíèå0✿
2
π
0 =
∞
X
k=1
−
6
1
2
k
= (−1)n.
=
∞
X
n=1
∞
X
)
k=1
∞
X
cos 0
k
k=1
2
π
=
6
π
.
4
(−1)
2n − 1
✳
(−1)
2
.
n+1
ñõîäèòñÿ óсловно✳
k+1
.
2
k
[−π, π]
✳
,
✻✻
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
➬амечание✳
íûå ãàðмонические ðÿäû
ðàñõîäÿòñÿ ïðè
òàêîãî ðÿäà ïðè
➶ курсе высшей математики изучают
α ≤ 1
α = 2
∞
X
1
✱ êоторые ñõîäÿòñÿ ïðè
α
k
k=1
✳ ➶ данном примере найдено çíàчение суммы
✳
обобщен✲
α > 1
á✮ ➶îçüì➻ì â ✭✶✳✶✼✮ вместоxçíà÷åíèåπ✿
2
−
π
4
π
2
∞
X
k=1
2
4
=
=
2
π
6
(−1)
k
π
2
π
6
−
2
2
k+1
−
∞
X
k=1
∞
X
k=1
(−1)
=
cos kπ
k
k
2
k
2
π
.
12
,
2
,
➓✷✳ Получение íåêоторых формуë тригонометрии
ñ помощью ðÿäîâ Фурье
➶ курсе øêольной математики èçó÷àåòñÿ большое êоличе✲
ñòâî формуë тригонометрии✳ ❮апример✱ формуëû понижåíèÿ ïî✲
ðÿäêà
cos2x =
1 + cos 2x
2
, sin2x =
1 − cos 2x
2
.
Ñ помощью разлоæåíèé íåêîторых ôóíêöèé â ðÿä Ôóðüå
íà отрезкå
[−π, π]
ìîæíî получить ïîдобные формуëû äëÿ более
высоких степенåé ñèíóñà è êосинуñà✳
[−π, π]
Пример✳
â ðÿä Фурье✳
Ðешение✳
Ðàçëîæèòå функцию
Функция
f(x)
внутри[✕
f(x) = cos3x
π, π]
непрерывна è êóñî÷✲
íà отрезкå
но✕монотонна✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия теоремы ➘ирихле✳
➬аметим✱ ÷òî
äóò толькî êосинуñû✱ ò✳å✳
cos3x
четная✱ поэтому â разлоæåíèè ðÿäà Фурье áó✲
bn= 0
✳
è
✻✼
❮айдем êоэффициенты
a0è
an✿
π
a0=
=
an=
=
Z
2
cos3xdx =
π
0
2
sin x −
π
π
Z
2
cos3x cos nxdx =
π
0
π
Z
1
cos x cos nxdx +
π
0
sin3x
Z
2
π
3
➶ первом интеграле ïîдынтегральная функция преобразо✲
вываетсÿ â сумму êосинуñîâ✿
π
Z
è äëÿ
1
cos x cos nxdx =
π
0
n ∈ N✱n 6= 1
1
=
2π
ïðîäîëæèì✿
1
n + 1
1
2π
sin(n + 1)x +
π
1 − sin2xd(sin x) =
0
π
= 0,
0
Z
π
Z
2
1 + cos 2x
π
0
π
Z
1
π
0
π
2
cos 2x cos x cos nxdx.
cos x cos nxdx =
cos(n + 1)x + cos(n − 1)xdx =
0
1
n − 1
sin(n −1)x
π
0
= 0.
✻✽
Проведем аналогичные рассуждения âî втором интеграле✿
π
Z
1
cos 2x cos x cos nxdx =
π
0
=
π
Z
1
cos 3x cos nxdx +
2π
0
π
Z
1
(cos 3x + cos x) cos nxdx =
2π
0
π
Z
1
cos x cos nxdx =
2π
0
π
Z
1
=
4π
0
➘ëÿ âñåõ
n ∈ N✱n 6= 3
Òàêèì образом✱ получили✱ ÷òî âñå êоэффициенты Фурье ïðè
n ∈ N✱n 6= 1èn 6= 3
❮айдем êоэффициент
➹ëàâà ✷✳
Прилоæåíèÿ ðÿäîâ Фурье
cos(3 + n)x + cos(3 − n)nxdx + 0.
интеграл✱ êàê è ранее✱ равен íóëþ✳
равны íóëþ✳
a1✿
π
Z
2
a1=
cos3x cos xdx =
π
0
=
1
=
x + sin 2x +
2π
❮айдем êоэффициент
π
Z
2
a3=
π
0
=
π
Z
1
=
2π
0
π
Z
1
=
2π
=
1
2π
0
cos 4x +
1
sin 4x +
4
1
2π
π
Z
1 + 2 cos 2x +
0
1
x +
2
π
Z
2
π
0
1
8
cos4xdx =
1 + cos 4x
sin 4x
π
Z
2
π
1 + cos 2x
2
0
1
2π
dx =
π +
π
=
2
2
π
=
0
a3✿
π
Z
cos3x cos 3xdx =
π
Z
1 + cos 2x
1
π
0
2
2
cos2x cos x cos 3xdx =
π
0
(cos 4x + cos 2x) dx =
cos 4x + cos 2x cos 4x + cos 2x + cos22xdx =
1
cos 6x +
2
1
sin 6x +
12
1
cos 2x + cos 2x +
2
3
sin 2x +
4
1
2
x +
1 + cos 4x
2
1
sin 4x
8
π
0
3
4
=
2
dx =
.
dx =
1
.
4
✻✾
❰ñòалось записать разлоæåíèå â ðÿä Фурье✿
cos3x = a1cos x + a3cos 3x =
3
cos x +
4
1
cos 3x.
4
Ýòà формуëà â курсе øêольной математики известна êàê
формуëà тройного óãëà✿
cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x.
❰òâåò✿
4 cos3x = 3 cos x + cos 3x
Пример✳
Ðàçëîæèòå функцию
✳
f(x) = sin5x
íà отрезкå
[−π, π]
â ðÿä Фурье✳
Ðешение✳
Функция
f(x)
внутри[✕
π, π]
непрерывна è êóñî÷✲
но✕монотонна✱ çíà÷èò✱ выполняютсÿ óсловия теоремы ➘èðèõëå✳
➬аметим✱ ÷òî
áóäóò толькî ñèíóñû✱ ò✳å✳
➬амечание✳
дения функций
✖ ýòî
sin x
sin5x
(g1(x))sè
èëè
нечетная✱ поэтому â разлоæåíèè ðÿäà Фурье
a0= an= 0
✳
Принцип вычисления интегралов îò произве✲
g2(nx)
cos x
✱ ïîêàçàí â ïримере âûøå✳ Поэтому â ýòîì
✱ ãäå степень
s ∈ N
✱ à
g1(x)èg2(x)
примере è â следующем îïóñòèì ïîдробные вычисления интегра✲
ëîâ✳
✃оэффициенты
Z
2
bn=
π
0
равны íóëþ äëÿ âñåõn✱ кроме
✃оэффициенты
b1=
b1✱
π
Z
2
sin5x sin xdx =
π
0
b3, b5равны✿
✼✵
π
sin5x sin nxdx
n = 1✱n = 3✱n = 5
π
Z
2
sin6xdx =
π
0
✳
5
,
8
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]