Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
2.4. Индукционный датчик над проводящим полупространством 71
J
R
В результате получаем
000 0
В формуле (2.78) интеграл по переменной
2
z
re
223/2
rz
()
11 1
r J r drdzd J r d
()() ().
kk
1
2
можно вычислить по таб-
(2.78)
лице:
1 Г(1 / 2) 2
Jrd
() 1
1
0
k
2Г(3 / 2)
2
. (2.79)
В формуле (2.79) использованы соотношения:
Г(3 / 2) , Г(1 / 2) .
(2.80)
2
Применяя полученные результаты, запишем:
3
R
22
вн 0
r
k
.
(2.81)
8
Формула (2.81) описывает вносимое активное сопротивление в индукционный датчик, расположенный на поверхности проводящего полу-
z
пространства. Если датчик приподнят на некоторое расстояние
0
, то
вносимое сопротивление (2.73) можно рассчитать по формуле
22 3
вн 011
1
rJrJrdrdzd
kk
4
00
z
0
2
z
re
223/2
()
rz
()( ) .
(2.82)
Первый повторный интеграл совпадает с (2.76). Второй будет несколько отличаться от (2.77):
1
2
z
2
z
edz e
z
0
0
(2.83)
2
.
72 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
Z
Последний интеграл по переменной будет иметь вид
11
2
()
Jre d
1
0
32 32
zr zr
44
2
z
0
k
35
rr
kk
22 22
kk
00
3/2 5/ 2
r
k
22
4
4
zr
k
0
1/2
(2.84)
...
Таким образом, вносимое сопротивление в приподнятый датчик выражается формулой
Rr
rr r
kk k
22 22 22
43232
444
zr zr zr
000
1/ 2 3/ 2 5/ 2
kkk
22 3
вн 0
35
Выражение (2.85) зависит от величины зазора
1
k
4
...
. (2.85)
z
сложным обра-
0
зом, тем не менее можно исследовать влияние зазора, используя разложение вносимого активного сопротивления в ряд по
z
(2.85). Мож-
0
но найти более точное решение поставленной задачи. Для этого необходимо разложить подынтегральное выражение формулы (2.25) по ма-
лому параметру
r
в ряд Маклорена и ограничиться первым чле-
k
ном такого разложения. В главе 1 эти операции были проделаны. Поэтому опустим промежуточные выкладки и перепишем (2.25), положив
0, 0, :
20
1
вн 22 2
22 22 3
rr
kk
00
44Г(3 / 2)Г(3 / 2)Г(5 / 2) 3
rJxdx
k
01
4
0
()
2
x
Г(1 / 2 ) 1
(2.86)
.
Точный (2.86) и приближенный (2.81) результаты практически совпадают, поэтому методы расчета вносимого активного сопротивления в
2.5. Индукционный датчик над пластиной 73
A
A
области малого параметра оправданы результатами. В дальнейшем эти
методы будут использованы для решения целого ряда интересных для
практики задач.
2.5. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК НАД ПЛАСТИНОЙ
Решение задачи об индукционном датчике, расположенном над
стратифицированным по электродинамическим параметрам полупространством, можно найти в работе [1]. Здесь нам потребуется решение более простой задачи об индукционном датчике, расположенном
над проводящей и поляризующейся пластиной. Причем пластина может иметь общую нижнюю границу с проводящим и поляризующимся полупространством или может быть
окружена со всех сторон воздухом. Решение в этих двух случаях строится аналогично, поэтому
произведем необходимые построения параллельно. Будем считать,
что индукционный датчик (одновитковое кольцо или одновитковая
z
катушка) расположен на некотором расстоянии
которой заданы электродинамические параметры
пластины
h
. Можно сразу записать вектор-потенциал в каждой из
над пластиной, в
0
, ,
и толщина
трех сред, подразумевая, что начало цилиндрической системы координат находится в центре обращенного к пластине основания датчика. В части пространства, содержащего датчик, вектор-потенциал будет иметь вид
CIrJr
где
001
0
rz J rd
(, ) ( ) ,
()
kk
однослойная плотно намотанная катушка высотой
1
2
0
zz
Ce De
00
– одновитковое кольцо;
1
CIrn Jr
00 1
(2.87)
h
1
e
kk
h
. В части про-
()
–
странства, занятой пластиной, вектор-потенциал записывается следующим образом:
1
rz J rd
(, ) ( ) .
1
2
0
zz
11
Ce De
11
1
(2.88)
74 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
A
В среде, лежащей под пластиной, вектор-потенциал будет иметь вид
2
rz Ce J rd
(, ) ( ) .
1
2
0
z
2
21
(2.89)
Полученные здесь потенциалы удовлетворяют граничным условиям на
плоскостях, ограничивающих пластину:
01
(, ) (, )
Arz Arz
01
( , ) ( , ), , ,
Arz Arz z z
01 0
12
( , ) ( , ), , .
Arz Arz z z h
12 01
zz
12
(, ) (, )
Arz Arz
zz
(2.90)
Если бесконечно протяженную пластину будет окружать со всех сторон воздух, то граничные условия (2.90) можно переписать следующим образом:
01
(, ) (, )
Arz Arz
01
( , ) ( , ), , ,
Arz Arz z z
01 0
12
( , ) ( , ), , .
Arz Arz z z h
10 01
zz
12
(, ) (, )
Arz Arz
zz
(2.91)
Для того чтобы найти неизвестные произвольные постоянные в потенциалах, необходимо удовлетворить потенциалами граничные условия (2.90) или (2.91). В результате получим:
zzz z
01010 0
eD e C e D e C
001 11 10 0
zzzz
010100
eD e C e D e C
01 11 1 0
() () ()
zh zh zh
011 011 012
eCeDe C
11112 2
() () ()
zh zh zh
011 011 012
eCeDe C
11112 2
,
,
(2.92)
0,
0.
2.5. Индукционный датчик над пластиной 75
J
Уравнения (2.92) разрешимы относительно четырех неизвестных постоянных. Определитель системы равен
()
z
()
12 12
() ,
01 1
02
ee
kke
1
01 12
()
h
121
2
h
11
(2.93)
где
постоянной
где
янная
01 1
01 12
01 1 12 21
D
01 1
01 12
01 1 12 21
D
вычисляется по правилу Крамера:
0
Постоянная
C
, .kk
равен
0
D
0
()() ,
12 12 1 01
, kk
D
DCe
00
характеризует индукционный датчик, поэтому можно
0
0
12 21
()
z
02
Ce e
0
12 21
kke
2
z
01 12
02
1
Определитель для расчета
()
h
11 2
kke
01 12
2
h
11
(2.94)
. Теперь произвольная посто-
2
h
11
2
.
(2.95)
h
11
kke
01 12
записать вектор-потенциал кольца и катушки над пластиной, лежащей
на поверхности полупространства. Вектор-потенциал кольца
2
h
Ir k k e
00112
(, )
Arz e e e
k
2
zz
0
()().
11
1
kke
01 12
rJ rd
k
11
2
z
2
11
02
h
(2.96)
76 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
J
J
J
J
Вектор-потенциал катушки:
2
h
Irn k k e
00112
Arz e e e
(, )
k
2
1
zz
0
h
e
1
kke
01 12
rJ rd
()().
k
11
11
2
z
2
11
02
h
(2.97)
Полученные потенциалы позволяют записать компоненты электромагнитного поля. Для дальнейшей работы понадобится только электрическое поле, поэтому вычислим электрическое поле кольца:
2
h
Ir k k e
00112
Erz i e e e
(, )
k
0
2
zz
0
()().
rJ rd
11
k
1
kke
01 12
11
2
z
2
11
02
h
(2.98)
Вид формулы для вычисления электрического поля катушки не изменяется, так как подставляется соответствующий потенциал:
2
h
2
11
h
11
2
z
02
Irn k k e
00112
Erz i e e e
(, )
k
0
2
zz
0
1
kke
01 12
h
1
e
rJ rd
()().
k
11
(2.99)
Если пластину окружает со всех сторон воздух, то параметры полупространства можно преобразовать следующим образом:
, , 0, .
2202 0
(2.100)
С учетом этого электрическое поле кольца будет равно
2
h
Ir
0
(, )
Erz i
k
0
2
zz
ek ee
0
()().
rJ rd
11
k
01
1
1
11
e
2
ke
01
2
h
11
2
(2.101)
z
0
2.5. Индукционный датчик над пластиной 77
J
J
x
x
xx
Электрическое поле индукционной катушки, расположенной над пластиной, окруженной со всех сторон воздухом, равно
2
h
Erz i
(, )
Irn
0
zz
0
k
2
1
ek ee
0
e
h
()().
11
1
01
1
rJ rd
k
11
e
2
ke
01
2
h
11
2
(2.102)
z
0
С помощью полученного здесь поля можно вычислить вносимые импедансы, а также ЭДС в приемных датчиках, соосных с генераторным
датчиком. Если считать, что вносимый сигнал измеряется плотно
намотанной однослойной катушкой индуктивности, то ее импеданс
можно вычислить по формуле
где
ke
01
1
Z
вн
L
0
h
2
r
k
i
;
222 2
xrir
100
4
x
1
11
e
4
22
ke
010
(1 )
0
4
x
x
22
e
2
x
2
Jxdx
x
11
kk
22
x
(1 )
e
x
2
()
1
;
k
01
2
xdx
()
1
01 1
01 1
,
x
.
(2.103)
Формула (2.103) описывает вносимый в индукционный датчик
проводящей, магнитной и поляризующейся пластиной импеданс. Если
пластина окружена со всех сторон воздухом и если она имеет общую
границу с проводящим, магнитным и поляризующимся полупространством, то вносимый импеданс будет равен
(
kke
01 12
1
kke
Z
вн
L
0
0
i
12 01
4
x
11
4
x
22
eJxdx
42
x
11
(1 )
0
e
x
x
22
Jxdx
2
22
(1 )
e
x
2
()
1
x
2
()
1
. (2.104)
78 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
x
x
x
xx
x
где
k
22 2
01 1
01
01 1
h
, , ;
rr r
kk k
станты подстилающего полупространства;
диаметру датчика толщина пластины;
x
,
k
x
h
1
12
12
z
12 21
12 21
0
x
,
, ,
222
222 2
xrir
22222
kk
– электродинамические кон-
h
1
– приведенная к
r
2
k
– приведенный к диа-
2
1
z
0
r
2
k
метру датчика зазор между датчиком и пластиной.
Если над пластиной расположить два соосных индукционных датчика (кольца) – один генераторный, другой приемный, то ЭДС вторичного поля в приемном датчике, центр которого совпадает с центром
генераторного, будет иметь вид
где
3
(
kke
01 12
1
kke
Э
вн
Э
0
r
и
– отношение радиусов приемного и генераторного дат-
r
k
0
i
12 01
4
x
11
4
x
22
eJxJxdx
4
x
11
() ( )
JxJx dx
113
0
() ( )
113
, (2.105)
чиков.
,
2.6. РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ДИАПАЗОНОВ,
РАЗГРАНИЧИВАЮЩИХ ВЛИЯНИЕ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СРЕД
Во всех предыдущих разделах, если противоположное специально
не оговаривалось, предполагалось, что среда, находящаяся в электромагнитном поле датчика, обладает одновременно тремя электродина-
, ,
мическими константами
. Поэтому измерение каждой из этих
констант связано с выбором того частотного диапазона и той компоненты импеданса или ЭДС, в которых влияние заданного электродинамического параметра единственно. Выявление частотных диапазо-
2.6. Расчет частотных диапазонов 79
нов связано с расчетом зависимости измеряемых сигналов от частоты
тока в датчиках. Измеряемые сигналы выражаются в виде несобственных интегралов, включающих геометрию датчика и среды, волновые
параметры среды. Сложность расчета может быть преодолена с помощью компьютера на основе методики расчета, предложенной в этой
работе. Предварительно необходимо сделать следующие замечания. Из
общих физических соображений, реализованных в предыдущей главе,
следует, что магнитную восприимчивость слабомагнитных сред или
магнитную проницаемость сильномагнитных сред необходимо изме-
2
r
рять при предельно малых параметрах
путем измерения индук-
k
тивного сопротивления катушки или реактивной компоненты ЭДС индукции в приемном датчике. На низких частотах влияние поля токов
смещения исчезающе мало, поэтому в таком диапазоне частот следует
изучать только влияние проводимости при измерении магнитной проницаемости (восприимчивости). При увеличении частоты, т. е. с ро-
2
r
стом параметра
, начинает влиять поле токов проводимости.
k
Активная компонента импеданса датчика и активная компонента ЭДС
в этом диапазоне частот полностью зависят от проводимости среды и
2
r
поэтому чрезвычайно чувствительны к изменению параметра
.
k
Поскольку магнитная восприимчивость и проводимость по-разному
влияют на различные компоненты импеданса или ЭДС, появляется
возможность разделить влияние этих двух параметров друг на друга
путем измерения соответствующих компонент импеданса или ЭДС в
своем диапазоне частот.
В средах, проводимость которых незначительна, часто первостепенную роль играет диэлектрическая проницаемость, измерить кото-
можно тоже с помощью индукционных датчиков, но на достаточ-
рую
но высоких частотах. Так же как магнитная поляризация, диэлектрическая поляризация среды должна существенно влиять на реактивную
компоненту импеданса и реактивную компоненту ЭДС, поэтому и
здесь есть возможность разделить измерения диэлектрической проницаемости и проводимости путем измерения различных компонент импеданса или
ЭДС также в своем диапазоне частот.
Магнитную восприимчивость обычно измеряют в режиме подмагничивания образца переменным полем индукционного датчика. Поэтому проблемой при этом является установление таких
80 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
R
2
величин параметра
r
, при которых влиянием поля токов прово-
k
димости можно пренебречь. Решение этой задачи априори можно подразделить на два случая. В первом необходимо рассмотреть влияние
поля токов проводимости при подмагничивании переменным полем
датчика слабомагнитных сред, магнитная восприимчивость которых
62
задана в диапазоне
1 40 000 ед. CGSM (10 10 в MKS)
; во вто-
ром следует рассматривать это влияние при измерении сильномагнит-
*
ных сред
1
. В качестве основных для расчета импеданса были ис-
пользованы формулы (2.25) и (2.26). На рис. 2.1 построены графики
2
зависимости вносимых импедансов от величины параметра
r
k
для
различных величин магнитной восприимчивости æ. Отношение радиусов рамок равно 1, 5
.
L
L
вн
0
L
вн
0
15= ,
10,
0,1
10
10
–2
–3
0= 0,
2
æ = 10
3
æ = 10
4
æ = 10
r
2
k
–4
Рис. 2.1. Зависимость вносимых сопротивлений от па-
2
r
раметра
пространства
и магнитной восприимчивости полу-
k
–3
–2
–1
Анализ расчетов показывает, что при применении слабомагнитных
сред необходимо контролировать величину вносимого реактивного
сопротивления, которая зависит от
2
r
, до значений равных
k
10 .
æ , но не зависит от параметра
3
Если измерять вносимое индуктив-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]