Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
3.6. Влияние конечных размеров цилиндрических образцов 141
,4
/2
Анализ рис. 3.4 показывает, что при малых отношениях
Hr
k
размагничивающий фактор концов образца оказывается очень значительным. При очень малых отношениях сигнал становится отрицательным. Это явление может внести ложную информацию в интерпретацию, так как отрицательные сигналы появляются только в том слу-
1/ 2
чае, когда влияет поле токов проводимости. При
/2
Hr
резко растет и при
k
3, 5
2
выходит на асимптоту, равную
2
отношение
единице. Тем самым показано, что если свободная от обмотки часть
образца составит 1,5…1,7 диаметра, то влиянием концов образца можно пренебречь.
k
R
вн
R
вн
09,
07,
05,
03,
10= ,
1
01,
r
0,150,30 0,601,20 2
4,8
H/2
k
Рис. 3.5. Отношение вносимых сопротивлений
образца конечных и бесконечных размеров
При измерении удельной проводимости оценку конечных размеров можно осуществить, опираясь на формулы (3.20) и (3.37). Отношение вносимого активного сопротивления образца конечных размеров к
вносимому активному сопротивлению образца с бесконечно длинным
сердечником в зависимости от отношения
Hr
характеризует влия-
k
/2
ние конечных размеров. На рис. 3.5 показан график зависимости этого
отношения от величины параметра
2
. Как следует из анали-
k
/2
Hr
за рис. 3.5, конечными размерами цилиндрического образца можно
/2 1,2
пренебречь в том случае, когда
Hr
k
. Если измерения прово-
дить однослойной катушкой, то свободная от обмотки часть образца
142 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
должна будет превосходить 0,6 диаметра датчика. Таким образом, теоретическая оценка влияния конечных размеров образца позволяет
учесть это влияние при контроле коротких образцов. При этом необходимо внести поправку в связи с конечным размером. Эту поправку
можно найти по графикам (рис. 3.4 или 3.5).
3.7. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЗАЗОРА
Приближенные формулы для расчета вносимых сопротивлений
позволяют достаточно доступно исследовать проблему влияния зазора
между катушкой и образцом на измерительный сигнал. В том случае,
когда измеряется магнитная восприимчивость цилиндрических образцов в проходных датчиках, вносимый сигнал можно вычислить для
слабомагнитных образцов по формуле (3.29). Геометрический фактор
(3.30) зависит от двух параметров: заполнения катушки
1
(b –
/kbr
радиус цилиндрического образца) и отношения длины катушки к ее
/2
диаметру
Hr
2
. Если считать катушку бесконечно длинной, то
k
геометрический фактор (3.30) будет стремиться к следующей величине:
(, ) .G
12 1
2
2
(3.42)
Из (3.42) следует, что зависимость вносимого сигнала при измерении
магнитной восприимчивости от параметра заполнения катушки квадратичная, в то время как при измерении удельной проводимости зависимость вносимого сигнала от коэффициента заполнения описывается
четвертой степенью [формула (3.38)].
Столь сильная зависимость вносимых сигналов от величины зазора
характерна для проходных датчиков. Поэтому необходима постановка
специальных исследований для выработки методов подавления влияния зазора в проходных датчиках. Одним из таких методов может быть
измерение отношения вносимого индуктивного сопротивления к вносимому активному. На рис. 3.6 показана зависимость этого отношения
/kbr
от параметра
2
0,8
r
k
0
1
это отношение практически не зависит от влияния зазо-
. Видно, что в области малых параметров
ра. Этим обстоятельством можно воспользоваться при проектировании
аппаратуры для измерений проводимости цилиндрических образцов.
3.8. Проходные датчики для измерения электромагнитных параметров сред 143
,950,850,750,650,550,45
Z
L
0,25
вн
R
вн
0,03=
24= 0,
2
0,15
0,05
0
0,28
Рис. 3.6. Зависимость отношения
заполнения катушки. Шифр кривых
1,13
0,80
0,565
0,40
R
вн вн
br/
от коэффициента
2
r
0 k
k
3.8. ПРОХОДНЫЕ ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СРЕД
Изученные здесь проходные датчики позволяют контролировать
электромагнитные параметры цилиндрических образцов с учетом всех
мешающих факторов: зазора, конечных размеров, взаимовлияний
электромагнитных параметров. Ясно, что приборы, ориентированные
на измерения проходными датчиками, должны разрабатываться с учетом изученных здесь явлений. Как нам кажется, ориентиром может
служить возможность измерять импеданс однокатушечного проходного датчика. Лучше
измерять компоненты импеданса, а при измерении
проводимости немагнитных образцов – отношение компонент импеданса, которое практически не зависит от зазора.
Т
ГЛАВА 4
ИНДУКЦИОННЫЕ ДАТЧИКИ НЕСИЛОВЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
4.1. О ПРИРОДЕ НЕСИЛОВЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
ермин «несиловые магнитные поля» появился в середине
прошлого века [19] и был введен по аналогии с силовыми
магнитными полями, для которых сила Лоренца всегда больше нуля
[]0, FjB
Л
вектор магнитной индукции. В несиловом магнитном поле сила Лоренца равна нулю:
нии несиловых магнитных полей в космосе можно прочесть в [16].
В [16] источником несилового магнитного поля считались турбулентность, конвекция и неравномерное вращение космических объектов. В земных условиях природа несиловых электромагнитных
полей несколько иная [11].
Отправной точкой для понимания природы несиловых электромаг-
нитных полей, по нашему мнению,
[]VB
магнитном поле
пределы применимости стандартных уравнений Максвелла в лабораторной и космической электродинамике. Действительно, если во второе уравнение Максвелла внести слагаемое
получим
, где V – вектор скорости проводящей жидкости или плазмы в
где j – вектор плотности электрического тока; B –
[]0
FjB. Подробно о природе и возбужде-
Л
должна быть формула Лармора
B [11]. С помощью этого соотношения определяются
, то в результате
([ ])
EVB
[]
VB
B
, а если в первом уравнении Максвелла
t
4.1. О природе несиловых электромагнитных полей 145
Hj
перейти к индукции B путем
Bj E
, то получим
известное уравнение индукции с динамо-слагаемым:
1
Здесь
– удельная проводимость; – магнитная проницаемость.
B
t
BVB
[].
(4.1)
Формула (4.1) определяет пределы применимости электродинамики
несиловых магнитных полей. При малых значениях критерия подобия
(критерий подобия определяет границу между ламинарным и турбу-
лентным течением) магнитного числа Рейнольдса
l
– характерный размер источников магнитного поля, в уравне-
RemlV
, где
нии (4.1) можно пренебречь динамо-слагаемым. В этом случае (4.1)
трансформируется в уравнение
1
B
t
, (4.2)
B
которое и применяется в технической физике и лабораторной практике, и в которых из-за малых размеров
ное число Рейнольдса находится вблизи единицы
l
и малых скоростей V магнит-
(Re 1).
m
В космической физике [16] магнитное число Рейнольдса
Re 10
17
m
, что дает возможность переписать уравнение (4.1) в виде
B
[],
VB
(4.3)
t
и тогда в физику вводятся несиловые (тороидальные) и силовые (полоидальные) магнитные поля [11]. Допущение Ю. Паркера в [16], состоящее в отказе от изучения электрических токов и сосредоточении исследований на магнитных полях, внесло некоторые неточности, главная из которых состоит в недостаточно точном понимании возникновения несиловых магнитных полей. Поэтому
наша задача – это математически точное определение несиловых (в других терминах тороидальных) и силовых (полоидальных) магнитных полей, взаимная
146 Глава 4. ИНДУКЦИОННЫЕ ДАТЧИКИ НЕСИЛОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
P
генерация которых, открытая ранее, оформляется в строгих математических формулах, а возникновение названных полей определяется теоремой о полных электрических токах в сферических областях [11].
Сферическая симметрия источников (полных электрических токов)
необходима, как будет показано ниже, для возбуждения одновременно
тороидальных (несиловых) и полоидальных (силовых) магнитных полей. Сферичность источников электромагнитного поля позволяет
обойти запретную для генерации тороидальных магнитных полей теорему Т. Кауллинга [16].
В работах [12, 17] автором доказана теорема о тороидальном разложении векторного потенциала магнитного поля, возникающего из
соотношений:
Здесь
– скалярная функция трех или четырех (в переменных полях)
Q
переменных класса
0Q
. Формулы (4.4) позволяют ввести тороидальное несиловое
0, , ( ) ( )HQQ HAArr
C
с нулевым средним на регулярной границе
магнитное поле по формуле
()
по формуле
Hr
P
Q
()
Q
Hr
T
, а полоидальное силовое –
. Доказательство свойств
. (4.4)
H
H
и
T
в
P
терминах несиловых и силовых полей приведем ниже. В этом последнем случае взаимная генерация тороидальных и полоидальных магнитных полей тождественно определяется соотношениями:
() ,
Q
(4.5)
() ( ) .
QQ
, – скорость диффузии поля,
/
0 ( )ti
T
1/ 2
, – круго-
– магнитная проницае-
Здесь
QQ
– магнитная вязкость; при
1/
вая частота,
HrH
TP
HrrH
; при
0t
– удельная проводимость,
мость. Пара уравнений, определяющих самогенерацию, принимает
вид:
HH H H
TP P T
,
. (4.6)
4.1. О природе несиловых электромагнитных полей 147
H
P
Здесь
[1/ м]0
. В (4.6) ротор силового магнитного поля по размерно-
сти в постоянном и переменном случаях дает тороидальный ток. Действительно:
()
где
HHE
HH HE
TT
ii
() ,
TT TTT
E
[В/м],
( А/м],) [
TTTT
1/2
1/ 2 1/ 2
HHE
TTT
j
1/2
(4.7)
j
1
i
i
[В/м] –
2
комплексное число в переменном поле. Проблема взаимной генерации
H
H
и
T
в проводящих средах, когда
, не является тривиальной,
0
и связана она не только с напряженностями магнитных полей, по достижении которыми определенных значений взаимная генерация возможна, но в большей мере с физическими свойствами самих полей, а
также с симметрией полных электрических токов. На этот счет докажем три основополагающие теоремы.
Теорема 1. Источником тороидального магнитного поля являют-
ся сферические тороидальные компоненты полного электрического
тока, если
.
0j
Доказательство. Спроектируем уравнение для полного элек-
трического тока [17]:
()
jA A A
(4.8)
на оси сферической системы координат, закрепленной в центре сферической области V, и выпишем только тороидальные компоненты полного тока:
222
2
AA A A A
j
rr r
2222222
rr rr
A
22 22 2
sin sin
rr
cos
2;
11cos
sin sin
A
2
A
r
148 Глава 4. ИНДУКЦИОННЫЕ ДАТЧИКИ НЕСИЛОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
A
H
j
AArA
111cos
j
rr
sin
sin
22222
rrr
AA
cos 1 1 1 2
22 2
sin sin
rr r
sin
22
sin sin
2
sin .
A
r
A
A
(4.9)
r
Если учесть формулы (4.4), то можно выразить сферические компоненты векторного потенциала через скалярную функцию
следую-
Q
щим образом:
1
QQ
AArQ
sin
; ; .
r
Компоненты тороидального поля по определению имеют вид
1
HHH
TTTr
QQ
; ; 0.
sin
(4.10)
Анализ формулы (4.9) показывает, что проекции уравнения для полного тока на оси сферической системы координат, закрепленной в центре
области V, имеют среди слагаемых следующие выражения:
22
AA
rr
22
sin
rr
22 22
QQ
sin
rr rr
;
TT
H
. (4.11)
Выражения (4.11) как раз и есть удвоенные компоненты тороидального
магнитного поля, отнесенные к расстоянию
, что дает им размер-
r
ность плотности тока. Из формул (4.9) – (4.11) вытекает чрезвычайно
важный вывод о том, что тороидальные компоненты плотности полно-
го тока
и j порождают не только полоидальное магнитное поле,
но, что наиболее важно, также и компоненты тороидального несилового магнитного поля. То же самое имеет место и в переменных электромагнитных полях. Там компоненты полного тока имеют вид:
4.1. О природе несиловых электромагнитных полей 149
A
A
A
P
A
A
22cos
r
22222
rr r
A
sin sin
2
æ,
Aj
где
AA
rr rr
2
æ =
i
22 2 22
rr r
sin sin sin
A
22 2ctg 2
AA Aj
22 2 2
rr r r
.
A
22cos
r
В (4.12) скалярный сферический оператор Лапласа
sin
2
æ,
Aj
A
2
æ,
(4.12)
должен быть
применен к каждой из сферических компонент векторного потенциала.
Уравнения (4.12) показывают, что и в переменном электромагнитном
поле тороидальные компоненты полного тока содержат те же слагаемые (что и в (4.11)), возбуждающие тороидальные компоненты магнитного поля, в соответствии с формулами (4.11). В операторах, записанных для областей с планальной и цилиндрической
симметрией, отсутствуют слагаемые, включающие тороидальное магнитное поле.
Пределы применимости теоремы 1 в физически реальных магнитных
полях включают в себя всюду непотенциальные тороидальные магнитные поля источников в виде тороидальных электрических токов и
полоидальные магнитные поля, создаваемые этими же тороидальными
токами, имеющими место в сферических областях, или расположенные
на сферических поверхностях. Такие
магнитные поля и такие электрические токи существуют в природе, и найдены они в данных, полученных в двух МГГ (1933 и 1957/58 гг.) и в данных всемирной магнитной
съемки 1964/65 гг. Поэтому теорема 1 не только доказана аналитически, но и проверена экспериментально в прикладном геомагнетизме.
Две последующие теоремы определяют условия взаимной генерации
H
H
и
T
.
0
Теорема 2. Безвихревое векторное поле
H
T
при
().
QHr
не допускает генерации векторного поля
const
H
с условием
150 Глава 4. ИНДУКЦИОННЫЕ ДАТЧИКИ НЕСИЛОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
P
P
P
P
P
P
Действительно, спиральность
поле
H
нулю не равна по определению:
T
0 H
равна нулю, тогда как спиральность векторного поля
HH
в безвихревом векторном
HHHH
TTTP
0.
Отсут-
ствие совпадения спиральностей исключает взаимную генерацию век-
H
H
торных полей
и
T
Теорема 3. В соленоидальном векторном поле
P – векторное поле) векторное поле
(
.
0
H
HP
()
Q
Hr
T
,
может быть
сгенерировано.
Доказательство следует из того, что спиральности векторных полей
H
H
и
TT
не равны нулю: 0
T
HH
0
из-за
HH
HH из-за HP, в то же время
TP
. Наличие спиральностей в вектор-
ных полях способствует их взаимной генерации за счет соотношений:
HH
TP
,
QQQ
() ( ) () ,
T
где
HrrrH
, const.QQ
В переменном электромагнитном поле важную роль играют элек-
трические поля, состоящие из силового тороидального электрического
E
поля
и несилового полоидального электрического поля
T
интересует их определение через скалярную функцию
E
, введенную
Q
. Нас
соотношениями (4.4). Их вид для переменного гармонического во времени электрического поля следующий:
Здесь
ErEr
– удельная проводимость области, где введено
iQ Q
TP
(), ()
1
. (4.13)
E
.
Принимая во внимание определения (4.6) и (4.13), можно доказать
силовой характер
H
и
E
и несиловой характер
T
H
E
и
T
. Сила
Лоренца для силовых компонент электромагнитного поля тороидаль-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]