Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
1.7. Вносимый средой импеданс 31
x
x
В дополнение к (1.61) удобно относить вносимый импеданс к собственному индуктивному сопротивлению катушки
1
22 2
LrnIxKxxdx
00 11 1
8()()sin,
k
2
x
0
L
:
0
или (1.62)
Lrn e Jxdx
00 1
22 2 2
k
1
2
x
0
2
x
(1 ) ( ) .
1
С учетом формул (1.62) и обозначений (1.61) можно записать:
() () () ()
IxKx IxKx dx
11 11 01 1
вн
L
0
i
0
IxKx dx
() ()
01 1
0
sin
2
2
x
Z
2
sin
1
2
x
x
1
,
или (1.63)
x
0
1()
32
Z
вн
L
0
xx
01
i
1
01
2
x
0
eJxdx
2
1()
eJxdx
2
x
x
1
2
2
1
1
.
2
2
Если учесть конечную толщину провода намотки, то формула вносимого импеданса примет следующий вид:
Ix Kx Ix Kx dx
((1 )) () ((1 )) ()
11 11 01 1
вн
L
0
i
0
Ix Kx dx
((1 )) ()
01 1
0
sin
2
x
1
2
x
Z
sin
2
1
2
x
. (1.64)
32 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
Z
Вносимый импеданс состоит из двух различных частей: вносимого активного и вносимого реактивного сопротивлений:
RiL
вн вн вн
. (1.65)
Вносимое активное сопротивление является действительной частью
импеданса. Механизм его образования состоит в следующем. Вихревые токи, наводимые индукционным датчиком в среде, испытывают в
ней тепловые потери в связи с ее конечной проводимостью, поэтому
внешний источник должен компенсировать эти потери увеличением
силы тока до прежнего уровня
( const).I
0
Вносимое индуктивное со-
противление есть сопротивление, обеспеченное потокосцеплением
магнитных полей первичного тока и тока за счет ЭДС самоиндукции.
Расчет названных сопротивлений в зависимости от электродинамических параметров среды, ее геометрии и геометрии датчика – основная
задача предлагаемой работы.
1.8. МЕТОДИКА РАСЧЕТА НА КОМПЬЮТЕРЕ ЭДС
И ИМПЕДАНСА ИНДУКЦИОННОГО ДАТЧИКА
Чтобы выяснить характер и величину вносимых сопротивлений в
зависимости от частоты поля и электродинамических параметров среды, следует выполнить численный расчет ЭДС и импеданса. Однако на
компьютере расчет интегралов в выражении для ЭДС и импеданса сопряжен с существенными вычислительными трудностями. Для начала
необходимо исследовать поведение подынтегральных функций при
стремлении переменной
интегрирования к нулю и бесконечности. Рассмотрим формулы (1.63). При стремлении аргументов к нулю специальные функции и тригонометрические функции принимают вид:
x
( ) , ( ) , ( ) 1,
Ix Kx Ix
10 10 00
Kx x x x
xxx
() ln , sin ( ).
00 101
2
xx
1
x
22
(1.66)
С учетом (1.66) подынтегральная функция интеграла в знаменателе
в (1.63) ведет себя следующим образом:
22
() ()
IxKx
11
sin
x
11
2
x
x
0
. (1.67)
2
1.8. Методика расчета на компьютере ЭДС и импеданса индукционного датчика 33
x
x
Как следует из (1.67), подынтегральная функция в нуле ограниченная.
Подынтегральная функция верхнего интеграла в нуле также ограниченная. Действительно:
2
IxKx IxKx
() () () ()
. (1.68)
11 11 01 1
sin
x
1
2
x
()
0
01
2
2
При стремлении переменной интегрирования к бесконечности специальные функции ведут себя следующим образом:
x
Ix Kx e
() , () ,
xx
11
Ix I x
( ) , ( ) ,
xx
11 0
Kx e
() , 0.
x
11
e
x
2
xx
ee
xx
22
2
x
2
sin
x
2
x
x
x
2
(1.69)
x
1
x
Подынтегральные функции нижнего и верхнего интегралов соответственно:
2
() () 0,
IxKx
11
sin sin
xx
11
23
xx
xx
2
2
() () () ()
IxKx IxKx
11 11 01 1
xx xx
ee ee
22
xx
44
0
sin
sin
x
1
2
x
2
x
1
2
x
x
(1.70)
0.
Таким образом, подынтегральные функции интегралов в первой формуле (1.63) в нуле ограничены, а в бесконечности стремятся к нулю не
медленнее
3
1/
. Всюду на интервале интегрирования подынтеграль-
34 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
x
ные функции непрерывны. Подынтегральные функции второго интеграла в нуле стремятся к нулю. Действительно:
x
2
x
Jx e
( ) , 1,
10 0
xx
1
(1 ) ( ) (1 1) 0,
22
xx
2
2
x
22 2
1
eJx
1
2
10 0
xx
x
4
(1.71)
x
00
32 2
xx x
1
2
x
22 2
1
eJx
(1 ) ( ) (1 1) 0.
10 0
xx
()
4
Эти же подынтегральные функции при стремлении переменной интегрирования к бесконечности стремятся к нулю не медленнее, чем
3
1/ .
Действительно:
() cos ,
Jx
1
x
112
23
xx
2
x
eJx
(1 ) ( ) co s 0,
22
1
1
x
2
x
x
0
32
xx
1
()
0
3
x
2
x
22
1
eJx
(1 ) ( )
3
2
cos 0.
x
4
3
x
4
3
x
4
1
x
x
x
(1.72)
Анализ формул (1.69) – (1.72) показывает, что подынтегральные функции интегралов в двух различных представлениях вносимого импеданса ведут себя в нуле и бесконечности практически одинаково. Обе
подынтегральные функции можно представить произведением двух
функций, одна из которых плавно изменяется
и быстро стремится к
нулю при безграничном увеличении переменной интегрирования. Вторая осциллирует с резко уменьшающимся периодом осцилляции. Численное интегрирование формул (1.63) в связи с упомянутой осцилляцией сомножителей в подынтегральных функциях весьма затруднено,
поэтому требуются специальные методы интегрирования, один из которых здесь будет представлен.
1.8. Методика расчета на компьютере ЭДС и импеданса индукционного датчика 35
x
x
x
x
Численное интегрирование на компьютере начинается с разработки
способов вычисления подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования. Нетрудно заметить, что все формулы, представляющие параметры датчика, выражаются через модифицированные
функции Бесселя и через функции Бесселя первого рода первого и нулевого порядка. Для вычисления этих функций можно использовать
следующий алгоритм. Рассмотрим
функцию
:
1
Модуль функции
22 2
xrir
1 kk
:
1
2 2 22 22
()()
xr r
kk
.
Аргумент функции:
r
1
2
k
. (1.74)
r
k
3, 75x
Согласно (1.74) аргумент
1
2
arctg
222
при малых x меняет знак и к нулю стре-
мится медленно, поэтому удобнее при
ющие представления для бесселевых функций [5]:
() , () ,
Ix Ix
01 11
() () ,
Kx Ix
01 01
00
kk
ln
Kx Ix
() ()
11 11
21
k
x
(/2)
1
kk mr
(1)!! 2(1)
0
k
221
(/2) (/2)
xx
kk
11
2
(!)
k
x
1
2
1
m
ln
x
1
k
11
1
km
x
1
2
kk
(/2)
x
1
(!)
k
01
, 0
. (1.73)
использовать следу-
!( 1)!
k
2
k
1
2
m
(1.75)
,57721566.
36 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
В том случае, когда
3, 75x
1
, функции
()Ix
11
и
()Ix
можно рассчи-
21
тать по формуле
2
. (1.76)
Здесь
ip
()
Ix e
p
. Причем в (1.76) выгодно использовать рекуррентное
1, 2p
1
m
mmim
(1) () (1 )
Ie
pm
m
!2
0
m
соотношение
2
IxIx Ix
mm m
() () ()
11 11 1
Модифицированные бесселевы функции второго рода
()Kx
в интервале изменения аргумента
11
m
x
1
. (1.77)
()Kx
и
01
3, 75x
1
можно вычислить
по формулам [7]:
xx
1/ 2 1/ 2
Kx x e x e
Kx xe xe
( ) 1,25332414 0,07832358
01 1 1
0,02189568 0,01062446
0,00587872 0,00251540
0,00053208
( ) 1,25332414 0,23498619
11 1 1
0,03655620 0,01504268
0,00780353 0,00325614
0,00068245
xe xe
11
xe xe
11
xe
1
xe xe
11
xe xe
11
x
1max
xx
1/2 1/2
11
xx
1/ 2 1/ 2
11
x
1/2
1
xx
1/ 2 1/ 2
11
xx
1/ 2 1/ 2
11
x
1/2 7
1
e
11
23
22
xx
11
45
22
xx
11
6
2
,
x
1
xx
1/2 1/ 2
11
23
22
xx
11
45
22
xx
11
6
2
, 10 .
x
1
2
x
1
2
x
1
(1.78)
1.8. Методика расчета на компьютере ЭДС и импеданса индукционного датчика 37
x
x
x
В приведенных выше формулах применяется автоматическое разделение на действительную и мнимую части с помощью компьютера.
Это позволяет в каждой точке интервала интегрирования вычислить
действительную и мнимую части подынтегральной функции. Из-за
присутствия в подынтегральной функции
sin
поведение ее весьма
1
2
сложным образом зависит от переменной интегрирования, поэтому
обычные приемы интегрирования по Симпсону или Гауссу не дают
необходимой точности. В этом случае применяется методика работы [8]. Пусть необходимо вычислить интеграл:
в котором
0
непрерывна в нуле и в каждой точке интервала инте-
()fx
2
()sin ,Ifx x
грирования. При стремлении переменной
1
убывает не медленнее
вания на достаточно малые участки
. Тогда можно разбить интервал интегриро-
2
[, ]
xx
ii
достаточной точностью будет справедливо
Значит, интеграл на этом участке
()fxaaxax
01 2
I
можно представить следующим
i
образом:
xx
22
ii
I f x xdx a xdx
i
xx
ii
xx
22
ii
ax xdxa x xdx
12
xx
ii
22
()sin sin
sin sin .
222
0
(1.79)
к бесконечности
, в пределах которых с
2
2
. (1.80)
()fx
(1.81)
38 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
M
M
Каждый интеграл из (1.81) теперь можно вычислить:
x
2
i
2
xdx
sin ,
x
xx
ii
22
xx
ii
2
xxxx
42 2
i
2
xxdx xdx
sin (1 cos 2 )
xx
ii
22
1cos2 sin2
xx
ii
x
i
2
22
xxdx
x
i
xx
sin 2
24
x
2
sin
2
(2 )
x
x
i
2
x
i
,
(1.82)
3
x
i
2
6
x
i
Коэффициенты
xx x
2cos2 2
012
sin 2
23
(2 ) (2 )
, , aaa
в (1.81) определяются методом решения
2
x
2
x
2.i
x
i
следующей системы уравнений:
2
2
(),
(),
().
(1.83)
aaxax fx
01 2
aax ax fx
01121 1
aax ax fx
012 22 2
ii i
ii i
ii i
Перечисленные выше операции необходимо проделать на всех участках интегрирования до некоторого верхнего предела
1
, выбор
которого представляет самостоятельную проблему:
II
Один из способов выбора верхнего предела
(1.84)
.
i
i
состоит в сравнении
результатов интегрирования, полученных по (1.84) при двух соседних
значениях М. Если разница интегралов лежит в заданных пределах
1.9. Исследование вносимого импеданса в зависимости от частоты поля 39
точности, то вычисления прекращаются. Здесь надо сделать замечание.
Поскольку
убывает, плавно изменяясь, можно выбрать шаг инте-
()fx
грирования возрастающим по геометрической прогрессии. Это значительно сократит время счета всего интеграла и позволит пройти до
больших значений М. Методика расчета подынтегральных функций и
интегрирование, представленное здесь, в дальнейшем будут постоянно
использоваться без дополнительных разъяснений.
1.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ВНОСИМОГО ИМПЕДАНСА
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧАСТОТЫ ПОЛЯ,
ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ И ГЕОМЕТРИИ ДАТЧИКА
Влияние магнитной восприимчивости на вносимый импеданс в области предельно низких частот можно изучить следующим образом.
Устремим частоту тока к нулю. В этом случае устремятся к нулю
2
0,
действительная и мнимая части волнового числа
22
r
k
0.
Выражение для вносимого импеданса (1.63), как нетруд-
r
k
но проверить, переходит в формулу
Z
вн
L
0
()410.
ii
0
0
7
æ (1.85)
Из (1.85) следует, что на предельно низких частотах остается только
мнимая часть вносимого импеданса, а именно вносимое индуктивное
сопротивление, которое прямо пропорционально магнитной восприимчивости среды. С увеличением магнитной восприимчивости растет
и вносимое сопротивление. В том случае, когда окружающая датчик
среда непроводящая, но обладает магнитной восприимчивостью, расчетной формулой для
вносимого индуктивного сопротивления будет
формула (1.85), которую можно переписать так:
L
вн
L
0
410.
i
æ
7
(1.86)
Магнитная восприимчивость в (1.86) измеряется в единицах MKS. Если же среда, окружающая индукционный датчик, магнитная и проводящая, то в ней наводятся еще и токи проводимости. Задача исследо-
40 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
x
x
RL
L
k
0
0
,
вания влияния поля токов проводимости сводится к изучению влияния
2
ir
мнимой части волнового числа
В этом случае удобно считать функцию
на вносимый импеданс (1.63).
k
следующей:
1
22
xi r
1
(1.87)
.
k
При этом достаточно рассмотреть поведение вносимого активного и
2
индуктивного сопротивления в зависимости от параметра
рис. 1.3 показаны кривые
вн
и
0
L
вн
в зависимости от
L
0
Шифром кривых является значение магнитной проницаемости
.kr
На
2
r
k
*
связанное с магнитной проницаемостью без звездочки следующим об-
*
.
разом:
Анализ кривых показывает, что вносимое индуктив-
0
ное сопротивление, выраженное в единицах индуктивного сопротив-
*
2,
ления катушки в воздухе при
2
ра
r
вплоть до
k
L
10
вн
0
R
вн
L
10,
0
не зависит от величины парамет-
2
0,6.
r
k
= 0,5
1
(1.88)
4
2
8
.
,
2
4
10
2
r
10
10,
10–110
–1
–2
–1
1
1
Рис. 1.3. Зависимость вносимого сопротивления
2
r
от параметра
в магнитной среде
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]