Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
2.1. Индукционный датчик над однородным и изотропным полупространством 51
A
A
где C – произвольная постоянная, отличная от нуля. Во втором уравнении (2.4) необходимо сделать замену переменных, положив
22
,
r
Тогда это уравнение, с учетом того что
r
2
22
можно переписать так:
1
1
() () () 0.RR R
1
2
(2.6)
Решением уравнения (2.6), как следует из [5], являются функции
.r
,
Поскольку функция
()J
1
()Y
имеет особенность в начале координат, где
1
и
()Y
. (2.7)
1
поле конечно, ее необходимо исключить из рассмотрения. В этом случае в каждой из двух частей пространства можно сформировать следующие решения:
1
(, ) ( ) ( ) () ( ) ,
Arz Irn e J rJ r B eJ r d
2()
(, ) () ( ) ,
Arz A e J rd
ki
где
1(1)
0111
kk
2
0
1
2
0
22
. Решение с первичным возбуждением в (2.8)
e
22
kz
h
z
1
z
(2.8)
справедливо в той части полупространства, где расположена катушка
индуктивности с током. На границе между частью пространства, занятой средой, и частью пространства, где нет среды, но расположен датчик поля, справедливы граничные условия, вытекающие из равенства
на этой границе тангенциальных компонент электрического и магнитного
полей:
12
(, ) (, ),
rz A rz
0
12
(, ) (, )
rz A rz
zz
при
. (2.9)
zH
52 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
B
Подставляя (2.8) в (2.9), дифференцируя и пользуясь правилом равенства подынтегральных функций при равенстве интегралов, что в данном случае является единственно возможным, получаем:
h
(1 )
e
H
101
() () (1 ) ( ).
Ae Be Irn e e Jr
ok k
H
1
1
() () ( ),
Ae Be Irn e J r
HH
00 1
HhH
kk
(2.10)
Здесь
1
22
Определитель системы (2.10) легко вы-
.i
числить. Он равен
()
H
()
Тогда произвольные постоянные
B
() ( ),
A
() ( ).
AIrn eJr
01
01
2(1 )
0
kk
01
10
(), ()AB
Irn e J r
01
kk
e
10
1
e
h
(1 )
e
h
()
1
. (2.11)
будут равны:
2
H
(2.12)
H
С учетом (2.12) потенциалы в среде и в воздухе можно записать следующим образом:
n
12
(, )
Arz Ir e e e
0
k
1
2
Arz Irn e
(, ) (1 )
0
k
()
eeJrJrd
2
0
h
e
JrJrd
0
Hz
11
z
()( ) ,
11
0
01
k
()( ).
11
01
01
h
k
Hz
(2.13)
2.1. Индукционный датчик над однородным и изотропным полупространством 53
Потенциалы (2.13) позволяют записать компоненты поля дифференцированием этого уравнения по формулам (1.30). Компоненты поля в полупространстве, не занятом средой, в безразмерных величинах имеют
вид:
z
x
1
(, )
Hrz I e e e
r
n
0
2
0
r
k
xx
01
xx
01
xz
r
2
x
k
2
xr
(1 ) ( ) ,
eJ Jxdx
1
(, )
Hrz I e e e
z
n
0
2
0
x
1
11
r
k
z
x
r
k
xx
xx
01
01
xz
r
2
x
k
2
xr
x
(1 ) ( ) ,
eJ Jxdx
1
01
r
k
1
(, )
Erz i rI
00
k
n
2
0
z
x
eee
r
k
xx
01
xx
01
xz
r
x
2
k
2
где
rxx x ri r
, , , .
kkk
112
x
1
1
e
x
222 2
xr
JJxdx
11
() ,
r
k
hH
rr
kk
(2.14)
Размер-
ность компонент магнитного поля в формулах (2.14) в ампервитках
N
на метр, так как
In Ih
00
электрического – в вольтах на метр (В/м).
,
Из формул (2.14) можно легко получить компоненты поля бесконечно
тонкого витка с током над полупространством, занятым средой. Для
54 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
этого достаточно параметр
устремить к нулю, помня, что
, характеризующий размер катушки,
1
N
означает количество витков на
n
h
единицу длины. Для множителя, зависящего от
xx
lim lim .
1
10 1
В (2.15) количество витков
11
exexN
rrr
NN
kkk
1
N
стремится к единице, поэтому оконча-
0
, получим
1
(2.15)
тельные формулы для поля бесконечно тонкого витка над полупространством выглядят следующим образом:
z
x
1
(, )
Hrz I e e e
r
1
0
2
0
r
k
xx
01
xx
01
xz
r
2
x
k
2
xr
x
JJxdx
11
r
k
1
(, )
Hrz I e e e
z
1
0
2
0
() ,
r
k
z
x
r
k
xx
01
xx
01
xz
r
x
2
k
2
xr
x
JJxdx
01
r
k
1
(, )
Erz i rI e
k
00
() ,
r
k
1
2
0
z
x
r
k
x
x
0
1
xx
01
ee
xz
r
2
x
k
2
xr
JJxdx
11
() .
r
k
(2.16)
2.1. Индукционный датчик над однородным и изотропным полупространством 55
xxxx
J
Компоненты поля (2.14) и (2.15), как нетрудно видеть, содержат в себе
коэффициент, характеризующий отражение поля от границы раздела:
01
. (2.17)
01
Его изучением займемся позже, здесь же отметим одно из важнейших
свойств компонент поля, которое будет в дальнейшем неоднократно
использовано. Каждая их трех компонент поля в (2.14) и (2.16) состоит
из двух частей: первичного возбуждения поля и вторичного поля, возникающего в среде и зависящего как раз от коэффициента отражения и
тем самым
от свойств среды. Кроме этого, выражение для поля зависит
от размера датчика и его положения над полупространством, т. е. фак-
и
тически от параметров
1
. Компоненты поля катушки индуктив-
2
ности в части полупространства, занятого средой, можно получить
аналогичным образом:
2
Hrz In e
r
2
Hrz In e
z
2
Erz i Irn e
(, ) (1 )
(, ) (1 )
(, ) (1 )
0
0
xx
()
eeJxrrJxdx
0
0
()
xx
eeJxrrJxdx
()
xx
ee
x
01
xx
01
12
x
01
xx
01
12
0
k
xx
0
12
x
1
xzr
/
1
k
(/)(),
11
x
1
/
xzr
1
k
(/)(),
01
xz
1
0
/
r
01
k
( /)().
xr r J x dx
11
k
(2.18)
k
x
1
k
56 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
H
H
E
Поле в среде от одиночного витка будет иметь вид:
2
rk
2
zk
2
(, ) ( / ) () ,
rz I e e J xrr J xdx
rz I e e J xr r J xdx
(, ) ( / ) () ,
rz i I e e JxrrJxdx
(, ) ( / ) () .
011
0
001
0
x
01
xxr
xxr
()
011
0
x
()
xx
01
k
2
x
01
0
x
01
1
k
()
0
xx
12
()
xx
12
xx
12
/
xzr
1
xzr
1
xzr
1
k
/
k
/
k
k
(2.19)
Размерность компонент в (2.19) такая же, как в (2.18). С помощью записанных здесь выражений для поля можно получить ЭДС самоиндукции в генераторной катушке и ЭДС индукции в любой соосной с
генераторной измерительной катушке. В соответствии с (1.49) ЭДС
самоиндукции вычисляется интегрированием азимутальной компоненты электрического поля по всем виткам катушки:
h
2(, ).
rn E r zdz
Э
1
krr
0
(2.20)
k
В соответствии с (2.20) получим:
x
2
iIrn e Jxdx
Э
32 2
k
00 1
0
xx
1().
xx
01
01
x
2
(1 )
2
1
e
2
x
(2.21)
Из (2.21) уже легко получить формулы, описывающие ЭДС самоиндукции в бесконечно тонком витке и витке с конечной толщиной провода намотки. Для этого необходимо устремить
к нулю. После про-
1
стых выкладок будем иметь:
iIr e Jxdx
Э
00 1
k
0
xx
1()
xx
01
01
2
x
2
2
. (2.22)
2.1. Индукционный датчик над однородным и изотропным полупространством 57
ЭДС в витке конечных размеров имеет вид
xx
iIra e Jx Jxdx
Э
()1 ((1))(),
00 1 1
k
0
xx
01
01
2
x
2
(2.23)
a
– толщина провода намотки;
где
/kar
– параметр, характеризу-
ющий толщину провода намотки. Вносимый импеданс катушки индуктивности, расположенной над проводящим, магнитным и поляризующимся полупространством, можно найти, разделив ЭДС на амплитуду
тока, после чего из импеданса еще вычесть импеданс катушки с током
в воздухе. Разделив вносимый импеданс на индуктивное сопротивление катушки, окончательно получим:
xx
01
xx
01
1
2
x
0
(1 ) ( )
вн
L
0
i
0
Z
x
2
1
e
(1 )
2
x
2
x
eJxdx
2
x
2
eJxdx
22
1
1
2
1
()
(2.24)
.
Из (2.24) следует, что вносимый импеданс также состоит из двух составляющих: вносимого активного и вносимого индуктивного сопротивлений. Физическая сущность этих сопротивлений совпадает с исследованной ранее.
Вносимое сопротивление в витке с током можно вычислить, используя формулы (2.24) и (1.59):
xx
xx
0
i
Z
вн
L
0
2
x
01
01
2
eJx Jxdx
1
ln
((1 )) ()
11
(1.25)
.
Кроме импеданса, есть возможность измерять ЭДС индукции измерительной катушкой, которая должна быть расположена в плоскости
генераторной и соосна с ней. Измерительная катушка может быть любого размера и расположена соосно выше или ниже плоскости генера-
58 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
x
торной катушки. ЭДС в измерительной катушке вычисляется аналогично:
xx
Э
вн
Э
0
Здесь
xx
0
i
– размер генераторной катушки;
1
тельной катушки;
2
x
2
e
01
01
2
x
x
(1 )(1 )
ee
0
r
– радиус измерительной катушки;
и
x
1
eeJJxdx
(1 )(1 ) ( )
x
1
2
x
x
3
3
r
и
x
JJxdx
11
r
k
31/k
r
и
x
11
r
k
()
hr
– размер измери-
Э
– ЭДС при-
0
(2.26)
.
емной катушки в воздухе. Формула (2.26) позволяет получить расчетную формулу ЭДС индукции в соосном одновитковом кольце радиу-
r
сом
, лежащем в плоскости генераторного кольца
и
Здесь
го кольца,
xx
xx
0
i
.
Э
вн
Э
0
/krr
– отношение радиусов генераторного и измерительно-
и
22
xi r
1 и
2
x
01
01
Jx Jxdx
0
2
eJxJxdx
()()
11
()()
11
r
:
k
(2.26)
.
2.2. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК НАД ТОРЦОМ
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА
Следующим шагом будет решение задачи о поле накладного дат-
чика, расположенного на некотором малом расстоянии
полубесконечного цилиндра радиусом
b
. В общей постановке полу-
z
над торцом
0
чить решение такой задачи весьма затруднительно. Однако в рамках
определенных предположений решение все же можно найти. Для
начала необходимо ввести два следующих варианта задачи. В первом
будем считать, что полубесконечный цилиндр слабомагнитен
2.2. Индукционный датчик над торцом полубесконечного цилиндра 59
(æ 4000 CGSM)
и непроводящ. Во втором будем считать цилиндр
проводящим и немагнитным. Для этих двух случаев можно получить
решение поставленной задачи. В первом случае необходимо сделать
следующие замечания. Требование о слабомагнитном веществе, из
которого должен состоять полубесконечный цилиндр, возникает в
связи с тем, что решение будет строиться без учета взаимодействия
полей от
различных участков магнитной среды. Это характерно для
возбуждения в слабомагнитной среде, где взаимовлиянием элементов
среды можно пренебречь в связи с его малостью. Далее здесь предполагается, что намагничение среды осуществляется первичным
слабым магнитным полем индукционного датчика так, что гистерезис
не проявляется в должной мере. Это отражено в основной формуле,
связывающей намагничение
I и напряженность магнитного поля H
линейно:
æ
IH
. (2.27)
В качестве индукционного датчика используется одновитковое кольцо
r
или однослойная катушка достаточно малого радиуса
. Согласно
k
(2.27) момент элемента объема слабомагнитной среды можно выразить
следующим образом:
æddV
MH
. (2.28)
Каждый элементарный объем создает магнитную индукцию величиной
3( )
B
HR R H
æddV
53
RR
. (2.29)
Интегрирование (2.29) по всем элементам среды дает
3( )
BH
ææ .
0
v
HR R H
53
RR
dV
(2.30)
В первом приближении, как отмечалось выше, не учитывается взаимодействие элементов среды. В правой части уравнения (2.29) достаточ-
H
но учесть только поле первичного возбуждения
, намагничивающе-
0
60 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
H
H
J
R
го среду линейно (2.27). В этом случае (2.29) можно переписать, отбросив прямое поле (первый член в правой части формулы (2.30)):
0220
3(2)
вт
dB dV
z
rzH z r H
æ
rz
55
RR
. (2.31)
Компоненты первичного поля кольца с током выглядят следующим
образом:
Ir
Элемент объема
0
rk
0
zk
k
0
2
Ir
k
0
2
dV
в цилиндрической системе координат имеет вид
z
eJrJrd
0
eJrJrd
0
()( ) ,
11
z
()( ) .
01
(2.33)
.dV rdrd dz
0z
(2.32)
Начало координат цилиндрической системы расположено в центре
кольца с током. С учетом всего сказанного получим
b
222
3(2)
вн
BIr Jr Jr
zk
æ() ()
01 0
00
rz r z r
55
RR
z
0
Здесь
k
1
22
rz Формула (2.34) описывает вертикальную компо-
.
(2.34)
z
() .
r e drdzd
ненту магнитной индукции, вызванную намагничением полубесконечного цилиндра первичным полем без учета взаимодействия участков
r
среды. Поскольку заранее введено ограничение на величину
, кото-
k
рая считается достаточно малой, формула (2.34) позволяет вычислить
ЭДС самоиндукции в том же самом кольце и тем самым найти вносимый импеданс. Можно вычислить также ЭДС индукции в соосном
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]