Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
2.2. Индукционный датчик над торцом полубесконечного цилиндра 61
J
H
генераторному приемном датчике. ЭДС самоиндукции на том же самом кольце равна:
2
ri B Э
.
kz
(2.35)
В формуле (2.35) использован второй способ вычисления ЭДС, упомянутый в разделе 1.5. Вносимое индуктивное сопротивление согласно (2.35) имеет вид
b
22 2 2
3(2)
22
Lir Jr Jr
вн 10
æ() ()
k
00
rz r z r
55
z
RR
0
z
()
r e drdzd
k
1
. (2.36)
Формула (2.36) описывает индуктивное сопротивление, вносимое в
приподнятый на
z
над торцом полубесконечного цилиндра индукци-
0
онный датчик.
Аналогичные формулы можно найти для катушки индуктивности.
Для этого достаточно вместо первичного поля кольца применить первичное поле катушки индуктивности:
Irn
0
k
HeeJrJrd
0
rk
2
Irn
0
k
0
zk
2
(1 ) ( ) ( ) ,
0
eeeJrJrd
(1 ) ( ) ( ) .
0
z
h
hz
11
z
01
(2.37)
В первом случае магнитная индукция в полубесконечном цилиндре,
подмагниченном полем катушки индуктивности, будет иметь вид
b
вт
BIr Jr Jr
zk
nrzz rzzr
æ()()
010
00
z
0
(1 ) ( ) .
222
3( ) (2( ) )
225/2 225/2
(()) (())
rzz rzz
zz
hz
e e J r e drdzd
1
k
(2.38)
62 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
J
J
J
Чтобы вычислить ЭДС в катушке индуктивности, необходимо (2.35)
преобразовать к виду
h
2
rni Bdz
Э
kz
0
(2.39)
.
Затем в (2.39) необходимо подставить формулу (2.38). В результате
получим
hb
Lirn
вн
232
k
æ
00 0
z
0
2
3( )
rzz
225/2
(())
rzz
()
1
r
22
(2( ) )
rzz r
225/2
(())
rzz
Jr
()
0
(1 ) ( ) .
e e J r e drdzd dz
zz
hz
1
k
(2.40)
Таким образом, формулы (2.36) и (2.40) описывают вносимое индуктивное сопротивление кольца и катушки индуктивности, расположенные над торцом полубесконечного цилиндра. Для вычисления ЭДС
индукции в приемном датчике, соосном с генераторным, достаточно
вычислить ЭДС по (2.35) или (2.39), но при этом необходимо учитывать только площадь приемного датчика:
b
222
3(2)
вт 22
irrI Jr Jr
Э
æ() ()
и 01 0
k
00
rz r z r
55
RR
z
0
z
()
r e drdzd
k
1
. (2.41)
Вторичная ЭДС в приемной катушке будет иметь вид
hb
вт 22
Э
irrnnI
22
(2( ) )
rzz r
225/2
(())
rzz
и 10
k
()
Jr
0
1
æ
00 0
z
0
(1 ) ( ) .
hz
e e J r e drdzd dz
22
3( )
rzz
225/2
(())
rzz
zz
1
k
()
r
1
(2.42)
Здесь
тушки;
h
– высота генераторной катушки;
r
– радиус приемного датчика;
и
h
– высота приемной ка-
1
n
– количество витков при-
1
2.2. Индукционный датчик над торцом полубесконечного цилиндра 63
j
j
A
емного датчика; n – количество витков генераторного датчика. Все
полученные здесь интегралы можно вычислить на компьютере.
Рассмотрим другой случай. Здесь датчик поля расположен над торцом полубесконечного проводящего и немагнитного цилиндра. Частота тока в датчике и проводимость вещества цилиндра таковы, что
скин-эффектом в среде можно пренебречь. Это соответствует малому
параметру
0
r
k
Поэтому в импедансе, как уже было выявлено
2
1.
в главе 1, сохраняется только одна компонента – вносимое активное
сопротивление. Поле в этом случае можно вычислить исходя из закона
Био–Савара:
R
j
H
ddV
. (2.43)
3
4
R
Вертикальная компонента магнитного поля в цилиндрических координатах, центр которых расположен в центре основания индукционного
датчика, согласно (2.43) будет иметь вид
jr
dH rdrd dz
z
3
4
R
.
(2.44)
Плотность тока
в среде цилиндра можно найти, используя первич-
ное поле датчика и закон Ома в дифференциальной форме:
Ei Arz
0
(, ).
(2.45)
Вектор-потенциал катушки индуктивности в воздухе имеет вид
1
rzIr e e JrJrd
(, ) (1 ) ( ) ( ) .
n
kk
011
2
0
z
h
(2.46)
Следовательно, вертикальная компонента магнитного поля в зависимости от элемента среды будет выглядеть следующим образом:
dH i I r e e J r J r d
zk k
00 1 1
nr
2
4( )
2
223/2
rz
1
z
0
(1 ) ( ) ( )
(2.47)
.drd dz
h
64 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
R
Вторичное магнитное поле от всего полубесконечного цилиндра равно
интегралу по его объему:
b
вт
HiIr e JrJr
zk k
00 1 1
nr e
4
00
z
0
2
223/2
rz
()
(1 )
z
h
()( )
drdzd
. (2.48)
Вторичная ЭДС самоиндукции на той же самой катушке находится по
формуле (2.39):
h
вт 22 3
Э
вт 2
inr Hdz
Э
Ir
00
k
h
(1 )( )( ) .
e J r J r drdzd dz
kz
0
0
hb
22()
nre
4
00 0
11
z
0
k
(2.48)
,
zz
223/2
(())
rzz
(2.50)
Разделив (2.50) на амплитуду тока, получим формулу для расчета вносимого активного сопротивления, вызванного присутствием в поле
индукционной катушки полубесконечного проводящего цилиндра:
hb
Rr
22 3
вн 0
(1 )( )( ) .
nre
k
4
z
00 0
0
h
e J r J r drdzd dz
11
223/2
(())
rzz
k
22()
zz
(2.51)
Если поле возбуждается одновитковым кольцом того же радиуса, то
вносимое сопротивление (2.51) следует рассчитывать по формуле:
b
2
z
22 3
вн 011
1
r J r J r drdzd
kk
4
z
00
0
re
223/2
()
rz
()( ) .
(2.52)
Полученные здесь формулы будут использованы в дальнейшем для
оценки влияния конечных размеров образцов.
2.3. Индукционный датчик над слабомагнитным полупространством 65
J
J
J
J
2.3. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК
НАД СЛАБОМАГНИТНЫМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
Изученные в предыдущем разделе задачи позволяют получить
формулы, необходимые в дальнейшем для расчета сигнала, вносимого
слабомагнитным полупространством в индукционный датчик. Метод, с
помощью которого получены формулы, пригоден только в заданных
ограничениях, тем не менее результаты решения названных задач с
успехом применяются для получения «верхних» оценок влияния конечных размеров. Эти результаты
можно также использовать и для
расчета «фокусирующих» поле датчиков. В последнем случае необходимо преобразовать полученные в предыдущих разделах формулы,
подразумевая, что датчик (одновитковое кольцо) расположен не над
полубесконечным цилиндром, а над полупространством. Тогда основная формула для расчета магнитной индукции (2.34) преобразуется
к виду
вт
BIr Jr Jr
zk
æ()()
010
00
z
0
222
3(2)
rz r z r
225/2 225/2
() ()
rz rz
z
() .
r e drdzd
k
1
(2.53)
Интегралы в (2.53) можно вычислить. Для этого разобьем все выражения на следующие интегралы:
00
z
0
00
z
0
00
z
0
2
3
rz
()
()
()
225/2
rz
2
zr
2
225/2
rz
3
r
225/2
rz
r J r e drdzd
()( ) ,
11
()( ) ,
01
()( ) .
01
r J r e drdzd
r J r e drdzd
z
k
z
k
z
k
(2.54)
66 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
Интегралы (2.54) повторные, поэтому их можно вычислить один за
другим. Рассмотрим интеграл
2
re
225/2
rz
()
0
Jr
() .
1
z
(2.55)
3
z
Интеграл (2.55) табличный, поэтому его вычислить нетрудно. Интеграл
2
z
0
e
22
edz
z
0
также легко вычисляется. Интегрирование по переменной
z
(2.56)
2
приводит
к окончательному результату:
1
2
2
z
0
eJrd
0
() .
1
k
r
k
22
2
zr
4
00
(2.57)
3/2
Следовательно, первый интеграл в (2.54) равен
00
z
0
2
3
rz
()
rz
225/2
()( )
J r J r e drdzd
11
22
2
4
zr
0
r
k
3/2
z
k
(2.58)
.
Во втором интеграле (2.54) также можно выполнить повторное интегрирование. Интеграл по переменной
0
Интеграл по координате
22
zz e
zz
00
rze
Jrdr
225/2 3
rz z
() 3
0
z преобразуется к виду
(1 ) 1 1
3
z
2
z
edze dz
3
r равен
z
(1 )
2
z
0
() .
63
(2.59)
z
z
.
(2.60)
2.3. Индукционный датчик над слабомагнитным полупространством 67
J
Интегрирование по переменной приводит к выражению
11
2
z
2()
63
0
22
3
4
zr
0
0
edzJrd
r
k
3/2
k
2
3
z
0
e
0
z
2
z
1
z
2
e
z
0
k
z
() .
rdzd
1
k
(2.61)
В последнем, повторном, интеграле необходимо изменить порядок интегрирования. Это возможно, так как интегралы сходятся равномерно.
Проинтегрируем сначала по переменной
21 2
z
33
zz
00
2
0
z
eJrddz dz
() .
1
k
:
r
k
22
z
zr
4
k
3/2
(2.62)
Результат, следовательно, будет выглядеть так:
00
z
0
3
В третьем интеграле (2.54) интегрирование по координате
2
2
zr
225/2
()
rz
rr
kk
22 22
44
zr zr
0
kk
()( )
J r J r e drdzd
01
2
3/2 3/ 2
3
z
z
0
z
k
(2.63)
.
dz
r дает
3
()
rJ r
0
225/2
rz
()
0
dr
zz
2
ee
33
.
z
(2.64)
Последующее интегрирование приводит к выражениям:
()
Jre dzd
1
z
0
k
2
2
z
33
z
68 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
вт
BIr
zk
æ
0
2
3
z
0
rr r
kk k
22 22 22
23
44 4
zr zr zr
0
22 22
6
zr zr
44
0
rr
kk
22 22
z
zr zr
44
3/2 3/2 3/ 2
kk k
rr
kk
3/2 3/2
kk
Ir
0
k
dz
3/2 3/ 2
kk
6
0
2
3
z
0
2
3
z
z
0
2
r
æ.
3
k
22
4
zr
0
k
(2.66)
3/2
(2.65)
,
dz
z
dz
Таким образом, ЭДС самоиндукции в одновитковом кольце можно выразить формулой
2
вт 23
Э
irI
æ.
0
k
3
r
k
22
4
zr
0
k
(2.67)
3/2
Вносимое индуктивное сопротивление можно выразить следующим
образом:
2
Lir
вн
23
æ.
k
3
r
k
22
4
zr
0
k
(2.68)
3/2
Индуктивное сопротивление, вносимое слабомагнитным полупространством, рассчитанное вторым способом, записывается в элементарных функциях. Это обстоятельство позволит в дальнейшем применить формулу (2.66) для расчета фокусирующих датчиков. Наряду с
этим можно получить точное решение этой же задачи, используя результаты раздела 2.1 настоящей главы. Формула (2.25) описывает импеданс кольца над
проводящим, магнитным и поляризующимся полу-
2.3. Индукционный датчик над слабомагнитным полупространством 69
x
пространством. Будем считать полупространство непроводящим и
неполяризующимся, тогда функция
преобразуется к виду
1
xx rirx
222 2
1
kk
22 2
rr
0, 0
kk
Будем считать кольцо бесконечно тонким. Тогда параметр
. (2.69)
0
. Ко-
эффициент отражения для слабомагнитного полупространства можно
преобразовать следующим образом:
xx
01 0
xx
01 0
xx
1
ææ
2(1 0,5æ) 2
(2.70)
.
Учтя все сказанное, получим точную формулу, описывающую вносимое индуктивное сопротивление кольца над слабомагнитным полупространством:
2
x
Lire Jxdx
вн 1
æ().
k
0
2
2
(2.71)
Интеграл в (2.71) не выражается через элементарные функции, хотя и
табличный:
Lir K
вн
2,
1
æ
k
2
E
22
2
12
22
1
1
2
1
1
1
1
2
(2.72)
2
2
где
2
1
K
1
z
0
.
r
k
и
2
2
1
E
1
– полные эллиптические интегралы и
2
2
Таким образом, здесь получены формулы, описывающие одну и ту
же физическую ситуацию, но двумя различными способами. Численное
сравнение результатов при
0z
показывает, что и первый, и второй
способ расчета вносимого индуктивного сопротивления приемлемы.
70 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
R
J
2.4. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК
НАД ПРОВОДЯЩИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
2
1
r
(ОБЛАСТЬ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
k
)
В одном из предыдущих разделов была рассмотрена задача о поле
датчика, расположенного над полубесконечным цилиндром. Основным
введенным ограничением было отсутствие в среде скин-эффекта. В
этих же ограничениях можно получить формулы для решения задачи о
поле датчика, расположенного над проводящим полупространством.
Для этого достаточно в первом повторном интеграле (2.52) проинтегрировать от
нуля до бесконечности, а во втором начать интегрирова-
ние от нуля:
22 3
вн 011
1
r J r J r drdzd
kk
4
000
2
z
re
223/2
rz
()
()( ) .
(2.73)
Повторные интегралы (2.73) можно вычислить. Рассмотрим повторный
интеграл по переменной
rz
223/2
rz
()
0
:
r
21/21/2
() ().
rdr K z
11/2
2Г(3 / 2)
(2.74)
Бесселева функция от полуцелого индекса выражается через элементарные функции:
z
Гамма-функция равна
() .
Kz e
1/ 2
Г(3 / 2)
. Тогда
2
z
(2.75)
2
2
Интеграл по переменной
r
223/2
rz
()
0
Jrdre
1
z также вычисляется:
2
z
edz
0
() .
1
2
z
(2.76)
(2.77)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]