Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
1.9. Исследование вносимого импеданса в зависимости от частоты поля 41
RL
2
Оценка (1.88) достаточно общая. С ростом параметра
r
k
начи-
нает сказываться поле токов проводимости. Поскольку это поле обрат-
LL
вн
но намагничивающему полю, отношение
начинает уменьшать-
0
ся, затем кривые резко устремляются в отрицательную область. Вно-
вн
симое активное сопротивление
2
параметра
r
, достигает максимума и затем снижается до нуля.
k
Здесь следует отметить, что при больших значениях
сначала растет с увеличением
0
*
влияние поля
токов проводимости начинает сказываться при больших парамет-
2
r
рах
.
k
Таким образом, при постановке задачи об измерении магнитной
восприимчивости
æ
или магнитной проницаемости
выбирать такую низкую частоту
, при которой не чувствовалось бы
*
необходимо
влияние токов проводимости. Причем при измерении амплитуды им-
2
педанса надо учитывать, что пороговое значение параметра
r
, за
k
пределами которого ощущается влияние поля токов проводимости,
может быть меньше. Прямо пропорциональная зависимость импеданса
*
катушки от влияния æ или
окружающей среды характерна только
для датчика в однородной среде. В случае кусочно-однородной среды
зависимость импеданса от магнитных свойств среды может быть значительно сложнее. Однако характер влияния токов проводимости на
импеданс индукционного датчика сохраняется в большинстве известных кусочно-однородных сред.
Влияние удельной проводимости на вносимый импеданс можно
изучить
следующим образом. Будем считать среду, окружающую ин-
дукционный датчик, немагнитной и неполяризующейся. Тогда вноси-
2
мый импеданс будет зависеть от параметра
r
. Будем считать этот
k
параметр малым:
2
r
k
1.
(1.89)
42 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
x
x
x
x
J
Разложим подынтегральную функцию интеграла (1.63) по малому параметру
пенью параметра
в ряд Маклорена, ограничившись при этом первой сте-
. Например,
Ф()
Ф() Ф(0) ...
0
(1.90)
В соответствии с (1.90) необходимо вычислить первую производную
подынтегральной функции по параметру
, так как
Ф(0) 0.
Продиф-
ференцируем подынтегральную функцию интеграла (1.63) по
Функция
Ф()
имеет вид
.
1
2
xi
где
эту функцию по
Ф() (1 ) (),
Из (1.91) следует, что лучше продифференцировать
.
1
01
. Формула перехода к дифференцированию по
1
x
32
xx
1
2
x
22
1
eJx
(1.91)
следующая:
x
111
1
i
xx
2
(1.92)
.
Правила дифференцирования бесселевых функций известны [5]:
1
() () (),
rJrJr
101
r
() (),
Kx Kx
Kx K x Kx
Ix Ix
Ix I x Ix
11 01 11
01 11
() () (),
11 01 11
() (),
00 11
() () ().
1
x
1
x
1
1
(1.93)
1
1.9. Исследование вносимого импеданса в зависимости от частоты поля 43
С учетом формулы (1.92) можно записать:
Ф() Ф() 3
В том случае, когда
Ф() 31
i
22
xx
ii
получаем
0,
ieJx
00 1
2
x
0
ieJx
5
x
1
(1 ) ( ) .
4
x
2
x
22
(1 ) ( ) .
2
1
1
x
22
1
Таким образом, вносимое в индукционный датчик сопротивление приближенно можно выразить формулой
31
4
2
Z
вн
L
0
r
x
2
0
k
1
2
x
0
2
x
22
1
eJxdx
(1 ) ( )
2
x
eJxdx
(1 ) ( )
22
1
1
1
(1.94)
.
Анализ (1.94) позволяет сделать следующие важные выводы. Во-
2
1
первых, в области малого параметра
r
k
среда вносит в основ-
ном активное сопротивление. Во-вторых, величину активного сопротивления можно вычислить, умножая малый параметр на коэффици-
h
ент, зависящий только от геометрии катушки
1
:
r
2
k
31
4
2
x
G
() .
0
1
1
2
x
0
2
x
22
1
eJxdx
(1 ) ( )
2
x
eJxdx
(1 ) ( )
1
1
22
1
(1.95)
44 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
Отношение интегралов (1.95) принято называть геометрическим фактором. Следовательно, вносимый сигнал в первом приближении можно представить так:
Z
вн
L
0
2
rG
k
(1.96)
().
1
Геометрический фактор (1.95) можно заранее рассчитать в зависимости от различных значений
. Это даст возможность рассчитывать
1
вносимое активное сопротивление, возникающее в среде. В-третьих,
чрезвычайно важно, что магнитная восприимчивость и удельная проводимость в первом приближении влияют на различные компоненты
импеданса. Это позволяет при постановке эксперимента или проектировании приборов для измерения магнитной восприимчивости и
удельной проводимости путем фиксации различных компонент импеданса разделить влияние этих параметров друг на друга. Если частоту
питающего тока увеличивать, то влияние токов проводимости будет
ощущаться на обеих компонентах импеданса. С повышением частоты
тока в среде будет увеличиваться затухание электромагнитного поля,
вызываемого потерями энергии на поддержание токов. Потери активной мощности за счет выделения тепловой энергии вызывают кажущи
еся изменения активного сопротивления, повышая его на величину
вносимого активного сопротивления. Далее магнитное поле вихревых
токов, наведенных первичным полем индукционного датчика в среде,
оказывает размагничивающее действие на поле катушки, тем самым
уменьшая ее индуктивное сопротивление на величину вносимого индуктивного сопротивления. Строгий расчет вносимого сопротивления
можно выполнить по формулам (1.63) с
использованием методики расчета интегралов, предложенной в разделе 1.8. На рис. 1.4 и 1.5 показаны кривые вносимых сопротивлений в единицах индуктивного сопротивления катушки в воздухе. Их анализ позволяет сделать следующие
2
0, 4
выводы. До значений параметра
r
k
вносимые сопротивления
растут: вносимое активное линейно, вносимое индуктивное – как
2
.kr
дробная степень параметра
С дальнейшим увеличением параметра начинает сказываться скинэффект, поэтому простота зависимости вносимых сопротивлений от
параметра пропадает.
-
1.9. Исследование вносимого импеданса в зависимости от частоты поля 45
2
R
L
10,
0
L
R
L
10
10
10
вн
L
0
–1
10,
–2
10
–3
вн
L
0
–1
–1
1
1
= 0,
r
2
k
Рис. 1.4. Зависимость вносимых сопротивлений
2
r
от параметра
–0,04
0,05
0,1
0,32
0,64
0
0,15 0,20
k
/
вн
0
–0,08
1,28
–0,12
–0,16
L
вн
2,56
Рис. 1.5. Диаграмма импеданса
на комплексной плоскости
Характер взаимоотношений обоих типов сопротивлений хорошо
прослеживается на рис. 1.5, который построен на комплексной плоскости сопротивлений. Каждая точка графика соответствует некоторому
2
возрастающему сверху вниз значению параметра
r
. Анализ этого
k
графика показывает, что в области малого параметра относительные
46 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
0
,
изменения вносимого активного сопротивления с ростом параметра
значительно больше, затем картина выравнивается, а с параметра
2
2,56
r
k
от него, чем активное сопротивление. С дальнейшим ростом
вносимое индуктивное сопротивление уже резче зависит
2
r
k
характер зависимости еще раз изменяется на обратный. Эта часть кри-
2
r
вой не показана. Таким образом, при малых параметрах
выгод-
k
нее измерять вносимое активное сопротивление, при больших – вносимое индуктивное. Этот вывод справедлив для немагнитных и неполяризующихся сред. В магнитных средах выгоднее измерять вносимое
активное сопротивление, так как на него магнитная проницаемость
практически не влияет. На это сопротивление не влияет и диэлектрическая проницаемость поляризующихся сред. Если же
L
импеданса или, точнее, отношение
2
r
метра
сохраняется линейной до
k
вн
, то зависимость от пара-
R
вн
2
10.
r
k
измерять фазу
График зависимо-
сти показан на рис. 1.6.
L
вн
R
10,
вн
= 0,2
1
–1
10
10
–1
101
r
2
Рис. 1.6. Зависимость отношения вносимых
2
r
сопротивлений от параметра
0
k
Влияние диэлектрической проницаемости на вносимый импеданс
можно исследовать аналогично предыдущему. Допустим, что среда,
окружающая индукционный датчик, немагнитная и непроводящая,
*
.
однако обладает повышенной поляризуемостью
В этом слу-
0
чае полем индуктивного датчика в среде наводится ток смещения.
Электромагнитное поле тока смещения влияет на ток в катушке,
1.9. Исследование вносимого импеданса в зависимости от частоты поля 47
x
L
увеличивая индуктивное сопротивление этому току. Если параметр
22
го параметра
1
r
0
мал, то, считая функцию
k
xx
1
зависящей только от это-
1
2
, можно разложить подынтегральные выра-
жения в (1.63) в ряд Маклорена и получить:
Ф() Ф() 31
0
22
xx
11
ieJx
01
4
x
2
x
22
(1 ) ( ) .
1
(1.97)
Нетрудно убедиться, что выражение (1.97) повторяет первое приближение (1.94). Поэтому можно записать:
ZL
вн вн
LL
00
22
irG
().
01
k
(1.98)
В первом приближении диэлектрическая проницаемость среды влияет
на индуктивное сопротивление индукционного датчика. Индуктивное
22
r
сопротивление линейно зависит от параметра
ной формуле (1.63) дает точно такой же результат до
. Расчет по точ-
0
k
*
80 единиц
(рис. 1.7).
вн
L
0
–3
5·10
–3
3·10
–3
10
*
Рис. 1.7. Зависимость вносимого индуктивного
сопротивления от диэлектрической проницаемости
48 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
L
На рис. 1.8 показаны результаты точного расчета импеданса в зави-
22
r
симости от параметра
2
r
и
0
k
0,03.
1
для различных значений параметра
k
0
L
0,06
0,02
вн
0
0,6
0,40,04
0,2
R
L
вн
0
0 001,
03= 0,
1
0,8
10,0
1,0
0,1
–0,02
0
0,004
0,016 0,064 0,256 1,024
0,5
–2
r
2
0
k
Рис. 1.8. Зависимость вносимых сопротивлений
22
от параметра
r
0
k
Анализ рис. 1.8 показывает, что индуктивное сопротивление зависит от
зависит вплоть до
, в то время как активное сопротивление практически от не
Таким образом, при постановке индукцион-
10.
ных измерений диэлектрических свойств сред (в частности, полупроводниковых материалов) необходимо измерять вносимое индуктивное
сопротивление, которое полностью зависит от диэлектрической проницаемости среды.
ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
2.1. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК НАД ОДНОРОДНЫМ
И ИЗОТРОПНЫМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
а последние годы в теории расчета накладных датчиков был
З
достигнут заметный прогресс. Тем не менее остаются еще нерешенные проблемы принципиального характера: установление частотных диапазонов и измеряемых элементов поля, гарантирующих
получение информации об одном из трех электродинамических параметров среды
зазора, возможность получить приближенные формулы для расчета
вносимых сопротивлений и др.
В данной работе предпринята попытка отчасти восполнить пробелы теории накладных датчиков за счет решения названных выше проблем.
Для осуществления задуманного в качестве первого шага необходимо рассмотреть задачу об индукционном датчике, расположенном
однородным изотропным полупространством. Причем при постановке
задачи необходимо учесть возможность расчета ЭДС индукции в измерительном датчике и вносимого импеданса в генераторный датчик.
Будем считать, что однослойная плотно намотанная цилиндрическая катушка индуктивности расположена своим торцом над однородным изотропным полупространством. Электродинамические характеристики полупространства описываются не зависящими от частоты
параметрами: магнитной проницаемостью
мостью
ком и полупространством характеризуется расстоянием Н. Считаем,
что начало цилиндрической системы координат помещено в центр
æ, , ,
и диэлектрической проницаемостью . Зазор между датчи-
влияние конечных размеров образца, влияние
, удельной проводи-
над
50 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
A
A
основания катушки, высота которой равна h. Амплитуда тока в катушке синфазно изменяется во всех ее точках по гармоническому за-
кону
. Амплитуда тока
0
I
измеряется в ампервитках. В та-
0
it
IIe
кой постановке задачи электромагнитное поле катушки будет обладать
цилиндрической симметрией. Нужные решения можно построить
внутри проводящего полупространства, с помощью уравнения (1.11).
Вне этого полупространства можно также построить решения, исходя
из справедливости представлений (1.12). Вне занятого средой полупространства для потенциала первичного возбуждения справедливо:
rzIr e e JrJrd
(, ) (1 ) ( ) ( ) .
n
kk
011
2
0
1
hz
(2.1)
Формула (2.1) получена как частное решение уравнения (1.29) при
2
0k . Решение уравнения (1.11) может быть найдено методом разде-
ления переменных. Для этого достаточно положить
(, ) () ()
rz RrZz
(2.2)
и подставить (2.2) в уравнение (1.11). После дифференцирования получим
() () () () () () () () 0.
R rZ z R rZ z RrZ z RrZ z
1
r
Поскольку свойства пространства изменяются вдоль координаты
1
2
k
2
r
(2.3)
z ,
которая направлена к занятому средой полупространству, из уравнения
(2.3) можно выделить два уравнения следующего типа:
() ( ) () 0,
Zz k Zz
() () () () 0.
R r R r Rr Rr
22
11
r
2
2
r
(2.4)
Здесь
2
– постоянная разделения. Нетрудно проверить, что решением
первого уравнения в (2.4) является функция
221/2
()
kz
() ,
Zz Ce
(2.5)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]