Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
3.4. Оценка влияния электродинамических параметров на импеданс 131
L
–0,1–0,
Измерение удельной проводимости цилиндрических образцов в
проходных датчиках также возможно. Естественно, на эти измерения
может влиять присутствующая в образце магнитная восприимчивость.
Анализ, проведенный в гл. 2, показывает, что при измерении удельной
проводимости полностью освободиться от влияния æ только измерениями частоты тока нельзя, хотя при измерении вносимого активного
сопротивления влияние магнитной восприимчивости меньше. На вносимое активное сопротивление не влияет диэлектрическая проницаемость (рис. 3.3).
L
вн
0
R
L
вн
0
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1 10
–4
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1 10
5
1
–2
5
1
0,0
00,04 00,16 00,64
1
Рис. 3.3. Графики зависимости вносимых сопротивлений
от отношения токов смещения к токам проводимости. Шифр
кривых – количество витков в катушке
/
На высоких частотах диэлектрическая проницаемость влияет только на вносимое индуктивное сопротивление. Анализ рис. 3.3 показывает, что вплоть до отношения /0,004
диэлектрическая проница-
емость не влияет ни на активное, ни на индуктивное сопротивление.
Если отношение
/0,016
стью зависит от отношения
При проводимости образца в 1
емости 20
(Ф/м) пороговая частота, до которой влияние диэлектри-
0
, то индуктивное сопротивление полно-
/
и растет с увеличением частоты.
(Ом м)
1
и диэлектрической проница-
132 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
ческой проницаемости отсутствует, не должна превосходить 20 МГц.
Таким образом, можно оценить пределы применимости любой аппаратуры, измеряющей проводимость или диэлектрическую проницаемость
индукционными датчиками.
3.5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА СИГНАЛОВ,
ВНОСИМЫХ В ПРОХОДНОЙ ДАТЧИК
Строгие расчеты вносимых сопротивлений, выполненные по формулам раздела 1.1, позволили исследовать влияние электродинамических параметров на импеданс проходного индукционного датчика.
Следуя этим расчетам, можно разграничить частотные диапазоны, в
которых тот или иной электромагнитный параметр оказывает на компоненты импеданса наибольшее воздействие. В области низких частот,
точнее, в области предельно малых параметров
, можно прене-
k
2
r
бречь действием поля вихревых токов, возникающих в образце. Это
позволяет построить приближенную формулу расчета вносимого индуктивного сопротивления проходного датчика.
Рассмотрим выражение (3.7). Если устремить частоту тока к нулю,
то и волновой параметр устремится к нулю. Это дает возможность сделать следующие преобразования. Прибавим и вычтем в знаменателе
верхнего
интеграла выражение
()()Kx Ix
00 11 1
. (3.24)
После несложных преобразований можно получить
ZL
вн вн
Здесь
LL
00
ææ/(1æ)1
0
i
æ.
– кажущаяся магнитная восприимчивость ци-
2
()()()
KxI xI x
11 1 1 0 1
xKx Ix x
1æ ()()
0
11 1 0 1
IxKx dx
() ()
11
0
sin
2
2
x
sin
x
2
x
2
dx
(3.25)
линдрического образца. Предельное значение кажущейся магнитной
восприимчивости равно единице. Однако это может быть только при
очень больших æ. В том случае, когда æ1
, выражение (3.25)
3.5. Приближенная теория расчета сигналов, вносимых в проходной датчик 133
x
x
x
x
можно еще преобразовать. Для этого изучим поведение функции в
знаменателе верхнего интеграла (3.25):
Если переменную
æ()()xK x I x
11 10 1
устремить к нулю, то выражение (3.26) устремит-
. (3.26)
ся к значению магнитной восприимчивости:
æ()() æ.
xK x I x
11 10 1 0
В том случае, когда переменная
x
устремится к бесконечности, выра-
(3.27)
жение (3.26) будет стремиться к выражению:
æ()()
xK x I x
11 10 1
x
На практике чаще всего имеет место случай
æ
. (3.28)
2
æ1.
Поэтому зна-
менатель верхнего интеграла можно разложить по правилу бинома
Ньютона. Пренебрегая квадратом магнитной восприимчивости по
сравнению с первой степенью æ
KxI xI x dx
11 1 1 0 1
L
вн
L
0
0
æ
i
, получим:
sin
sin
2
2
x
2
()()()
() ()
IxKx dx
11
0
2
2
x
. (3.29)
x
В формуле (3.29) вносимое индуктивное сопротивление состоит из
двух сомножителей, один из которых не зависит от магнитной восприимчивости. Обозначим его следующим образом:
2
KxI xI x dx
()()()
11 1 1 0 1
G
(, )
12
0
IxKx dx
() ()
11
0
sin
2
sin
2
x
. (3.30)
2
x
2
x
Геометрический фактор (3.30) рассчитан на компьютере и сведен в
табл. 3.1.
134 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
Таблица 3.1
(, )G
12
2
0,01 0,1039 0,1252 0,1512 0,1843 0,2298 0,3038 0,5547
0,02 0,1185 0,1428 0,1725 0,2102 0,2620 0,3456 0,6048
0,04 0,1383 0,1665 0,2010 0,2449 0,3046 0,3991 0,6327
0,08 0,1656 0,1992 0,2402 0,2918 0,3608 0,4638 0,6588
0,16 0,2042 0,2450 0,2939 0,3542 0,4311 0,5355 0,6922
0,32 0,2577 0,3066 0,3636 0,4308 0,5114 0,6102 0,7370
0,64 0,3230 0,3793 0,4426 0,5140 0,5950 0,6875 0,7953
1,28 0,3867 0,4489 0,5170 0,5915 0,6731 0,7627 0,8617
1,50 0,3994 0,4627 0,5318 0,6017 0,6891 0,7785 0,8765
2,00 0,4194 0,4846 0,5553 0,6319 0,7146 0,8041 0,9012
2,50 0,4326 0,4991 0,5709 0,6482 0,7316 0,8213 0,9180
3,00 0,4421 0,5096 0,5823 0,6606 0,7446 0,8346 0,9313
3,50 0,4482 0,5162 0,5895 0,6682 0,7525 0,8426 0,9391
0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
1
Табулированный геометрический фактор позволяет достаточно
просто рассчитывать вносимое слабомагнитным образцом индуктивное сопротивление:
L
вн
L
0
(, ).
iG
12
(3.31)
Пределы применимости формулы (3.31), естественно, зависят от соотношения между
жащими
æ
æ
2
, было пренебрежено. Нетрудно найти значение æ, при
котором разница между æ
значение равно
æ0,1.
2
и
æ
, так как при выводе (3.31) членами, содер-
2
и
æ
не будет превосходить 10 %. Это
От кажущейся магнитной восприимчивости к
истинной можно перейти по формуле
æ
æ.
(3.32)
1æ
Согласно (3.32) вплоть до значений
æ
в 110 000 ед.
CGSM
расчет
по формуле (3.31) будет соответствовать эксперименту с точностью
3.5. Приближенная теория расчета сигналов, вносимых в проходной датчик 135
10 %. В том случае, когда измеряются сильномагнитные образцы,
необходимо пользоваться для расчета формулой (3.25). Как следует из
этой формулы, геометрический фактор сильномагнитных образцов зависит от кажущейся магнитной восприимчивости. Таким образом,
только в области слабомагнитных сред возможен достаточно простой
расчет вносимых сопротивлений, измеряемых проходным датчиком.
Если же подвергаются измерению сильномагнитные среды, то
расчет
вносимых сопротивлений существенно усложняется. Определить магнитную восприимчивость по измеренному вносимому сопротивлению
можно однозначно только в области слабомагнитных сред по формуле (3.31).
При измерении
проводимости и диэлектрической проницаемости
цилиндрических образцов в проходных датчиках строгий расчет вносимых импедансов в зависимости от проводимости или диэлектрической проницаемости образца производится обычно по формуле (3.7).
Однако сложность формулы (3.7) не позволяет выполнить этот расчет
без компьютера. Тем не менее инженерные формулы для расчета вносимых сопротивлений получить можно. Будем считать образец немаг-
нитным, частоту тока такой, что параметры
2
r
k
и
22
r
стано-
0 k
вятся меньше единицы. В области малых параметров подынтегральную функцию верхнего интеграла (3.7) можно разложить в ряд Маклорена. После несложных преобразований можно получить формулу для
расчета вносимого импеданса немагнитных образцов в следующей
форме:
Z
вн 1
L
0
22
ir
0
22
KxIx Ix Ix dx
2
2
0
r
k
0
2
22
KxIx Ix Ix dx
()() ()()
1 112101
2
0
1
k
2
()() ()()
1112101
IxKx dx
() ()
11
0
IxKx dx
() ()
11
0
sin
2
sin
x
2
2
x
sin
2
x
2
2
x
2
sin
2
2
x
x
2
2
2
x
x
(3.33)
.
136 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
Не зависящий от электромагнитных параметров сомножитель в
(3.33) можно обозначить следующим образом:
22
KxIx Ix Ix dx
()() ()()
1 112101
2
0
G
(, ) .
12
1
2
IxKx dx
() ()
11
0
sin
2
x
2
2
x
sin
2
x
2
2
x
(3.34)
В этом случае вносимый импеданс можно записать компактнее:
Z
вн
L
0
222
(, ) (, ).
rG i rG
012 012
kk
(3.35)
Чтобы вычислить вносимый импеданс, следует рассчитать геометрический фактор
(, )G
в зависимости от параметров
12
и
1 2
. Это
даст возможность рассчитать вносимые сопротивления без помощи
компьютера. Пределы применимости приближенных формул можно
проверить сравнением расчетов по точной формуле (3.7) и приближенной (3.33). Результаты сравнительного расчета представлены в
табл. 3.2.
Таблица 3.2
Одновитковое кольцо Катушка
Параметр
2
r
k
0,001 0,3715 · 10
0,01 0,3715 · 10–3 0,3719 · 10–3 0,4610 · 10–3 0,4610 · 10–3
0,1 0,3715 · 10–2 0,3719 · 10–2 0,4610 · 10–2 0,4610 · 10–2
0,2 0,7434 · 10–2 0,7438 · 10–2 0,9210 · 10–2 0,9220 · 10–2
0,3 0,1113 · 10–1 0,1116 · 10–1 0,1380 · 10–1 0,1380 · 10–1
0,4 0,1483 · 10–1 0,1487 · 10–1 0,1837 · 10–1 0,1844 · 10–1
0,5 0,1853 · 10–1 0,1859 · 10–1 0,2294 · 10–1 0,2300 · 10–1
0,6 0,2220 · 10–1 0,2230 · 10–1 0,2748 · 10–1 0,2766 · 10–1
0,7 0,2580 · 10–1 0,2600 · 10–1 0,3200 · 10–1 0,3227 · 10–1
0,8 0,2950 · 10–1 0,2970 · 10–1 0,3649 · 10–1 0,3688 · 10–1
Точная
формула
RZ
вн 0
–4
Прибли-
женная
формула
0,3719 · 10–4 0,4610 · 10–4 0,4610 · 10–4
Точная
формула
RZ
вн 0
Прибли-
женная
формула
3.5. Приближенная теория расчета сигналов, вносимых в проходной датчик 137
Как следует из табл. 3.2, разница между точным и приближенным
результатом не превышает 1 %. Следовательно, приближенные формулы достаточно точно воспроизводят вносимое активное сопротивление
вплоть до параметра
r
k
0
Это позволяет применять при-
2
0,8.
ближенную формулу для расчета вносимого активного сопротивления
в достаточно широком диапазоне частот. Аналогично этому результату
ведет себя и вносимое индуктивное сопротивление при малых пара-
2
метрах
r
k
намотки. С учетом ее геометрический фактор
и
22
r
. Часто необходимо учесть толщину провода
0 k
(, )G
будет иметь
12
вид
ˆ
(, , )G
12
2
KxKx I x I x I x dx
() ((1 )) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2101
2
0
1
2
Ix Kx dx
((1 )) ()
11
0
sin
2
sin
2
x
2
2
x
x
2
2
x
(3.36)
.
Геометрический фактор одиночного кольца легко получить из
(3.36), устремив параметр
() ((1 )) ( ) ( ) ( )
KxKx I x I x Ix dx
1 1 112101
2
0
G
(, )
1
1
2
к нулю (
2
0
2
Ix Kxdx
((1 )) ()
11
0
):
2
. (3.37)
Геометрический фактор одиночного кольца рассчитан и сведен в
(, )G
табл. 3.3. Как следует из этой таблицы, коэффициент
тает с увеличением параметра
. Это связано с тем, что при увеличе-
возрас-
1
нии толщины провода намотки собственная индуктивность кольца
уменьшается. Геометрический фактор
/.
br
от коэффициента заполнения
1
(, )G
C его уменьшением резко па-
k
существенно зависит
1
дает и геометрический фактор.
138 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
R
Таблица 3.3
1
1 –
0,90 0,01954 0,02320 0,02619 0,02890 0,03147 0,03397 0,03645
0,85 0,01515 0,01797 0,02028 0,02236 0,02433 0,02625 0,02814
0,80 0,01163 0,01379 0,01555 0,01714 0,01865 0,02010 0,02155
0,75 0,00881 0,01045 0,01178 0,01298 0,01412 0,01521 0,01630
0,70 0,00658 0,00780 0,00879 0,00968 0,01053 0,01134 0,01215
0,65 0,00481 0,00571 0,00644 0,00709 0,00771 0,00830 0,00889
0,60 0,00345 0,00410 0,00462 0,00508 0,00552 0,00595 0,00637
0,55 0,00241 0,00286 0,00322 0,00355 0,00385 0,00415 0,00444
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,03056 0,03457 0,03719 0,03908 0,04051 0,04162 0,04247
ˆ
(, , )G
Исследуем зависимость геометрического фактора
/2 .
hr
изменения параметра
нием
геометрический фактор с некоторого момента перестает за-
2
2
Нетрудно показать, что с увеличе-
k
12
висеть от этого параметра:
4
ˆ
(, , ) .
G
12
2
1
4(1 )
(3.38)
2
от
При доказательстве использовано известное соотношение
2
sin1y
0
y
. (3.39)
2
Вносимое активное сопротивление при этом имеет в качестве
асимптоты число
4
2
вн 0
(3.40)
2
rL
k
4(1 )
1
.
2
Формула (3.40) может быть использована для расчета вносимого
активного сопротивления при измерении удлиненной катушкой. Если
3.5. Приближенная теория расчета сигналов, вносимых в проходной датчик 139
коэффициент заполнения принять равным единице (
1
) и считать
1
провод намотки бесконечно тонким, то предельное значение геометрического фактора при этом будет равно
Геометрический фактор
ˆ
(, , ) 0,25.G
12
ˆ
(, , )G
2
12
рассчитан нами для различ-
(3.41)
ных значений входящих параметров. В табл. 3.4 эти расчеты приводятся. Таким образом, приближенные формулы позволяют вычислить
вносимые сопротивления в области малых параметров без применения
компьютера.
Таблица 3.4
0,02
0,04
N
N
1
0,98 0,0393 0,0445 0,0527 0,0647 0,0801
0,90 0,0264 0,0299 0,0354 0,0447 0,0569
0,85 0,0205 0,0232 0,0274 0,0350 0,0452
0,80 0,0157 0,0176 0,0214 0,0271 0,0354
0,75 0,0119 0,0135 0,0162 0,0206 0,0207
0,70 0,0089 0,0101 0,0121 0,0155 0,0207
0,65 0,0065 0,0074 0,0089 0,0114 0,0154
0,60 0,0047 0,0053 0,0064 0,0082 0,0112
1
0,96 0,0456 0,0526 0,0636 0,0783 0,0937
0,90 0,0338 0,0393 0,0481 0,0605 0,0741
0,85 0,0261 0,0305 0,0376 0,0481 0,0601
0,80 0,0201 0,0234 0,0291 0,0377 0,0481
0,75 0,0152 0,0178 0,0222 0,0291 0,0378
0,70 0,0113 0,0133 0,0166 0,0220 0,0292
0,65 0,0083 0,0097 0,0122 0,0164 0,0221
0,60 0,0059 0,0070 0,0088 0,0118 0,0164
2 4 8 16 32
2 4 8 16 32
140 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
H
Окончание табл. 3.4
0,06
1
0,94 0,0494 0,0578 0,0703 0,0855 0,0989
090 0,0405 0,0476 0,0587 0,0724 0,0851
0,85 0,0313 0,0371 0,0463 0,0583 0,0694
0,80 0,0240 0,0286 0,0360 0,0462 0,0564
0,75 0,0182 0,0217 0,0276 0,0361 0,0450
0,70 0,0136 0,0162 0,0208 0,0276 0,0352
0,65 0,0099 0,0119 0,0154 0,0207 0,0271
0,60 0,0071 0,0086 0,0111 0,0151 0,0203
2 4 8 16 32
N
3.6. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ
Влияние конечных размеров аналитически можно оценить только
для слабомагнитных образцов. Для этого достаточно воспользоваться
формулами (3.15) и (3.30). Отношение геометрических факторов
образца конечных размеров к геометрическому фактору бесконечно длинного образца характеризует
влияние конечных размеров. Чтобы
определить то значение длины образца, при котором конечный размер не влияет на сигнал
, необходимо рассчитать это отношение в
зависимости от увеличения длины
образца. На рис. 3.4 построен
график зависимости отношения
Рис. 3.4. Зависимость отношения
геометрического фактора образца
конечных размеров к бесконечно
длинному
12 1
фактора одиночного витка от параметра
2
цилиндрического образца.
геометрического
/2
r
, где H – длина
k
(, )/()GG
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]