Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
2.7. Приближенная теория расчета вносимых сигналов 91
ЭДС индукции в измерительной катушке, расположенной соосно в
плоскости генераторной, также можно найти:
вт
Геометрический фактор
G
(, , ) .
123
Э
Э
0
(, , )G
eJJxdx
0
(1 )(1 )
x
2
2
ee
(1 ) (1 )
0
0,5æ ( , , ).iG
123
ee
x
3
21 2 3
x
2
x
определяется формулой
1
2
x
x
x
3
1
JJxdx
(2.122)
r
и
x
11
r
и
x
11
r
k
()
r
k
(2.123)
()
Формула (2.122) верна в том случае, когда токи проводимости не влияют на измерения магнитной восприимчивости. При измерении амплитуд
ЭДС пороговое значение параметра, при котором можно влиянием поля
токов проводимости пренебречь, задано формулой (2.107). Геометрический фактор (2.123) можно рассчитать на компьютере, но можно определить и экспериментально. Естественно, что техническое осуществле-
намотки катушек практически всегда индивидуально, поэтому
ние
предпочтительно экспериментально определять геометрический фактор
для каждой группы датчиков. Это дает возможность учесть индивидуальные особенности каждой группы и позволяет найти рабочие соотношения между вносимым сигналом и магнитной восприимчивостью, что
обеспечивает калибровку измерительной аппаратуры. Наряду с этим
необходимы приближенные формулы для расчета вносимого сигнала
с
учетом проводимости полупространства. При этом главную проблему
составит учет влияния магнитной восприимчивости при индукционных
определениях проводимости. Одновременное присутствие в образце
двух этих параметров приводит к необходимости измерять их раздельно. Как следует из предыдущего раздела, выполнить частотное подавление влияния магнитной восприимчивости не удается. Следовательно,
необходимо искать такие физико-
математические и технические возможности, которые бы позволили достаточно точно определить проводимость образца в присутствии магнитной восприимчивости. Изученное
в (2.24) разложение подынтегрального выражения в ряд по малому па-
2
r
раметру
дает возможность получить в области малого параметра
k
92 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
приближенные расчетные формулы для вносимого активного сопротивления с учетом влияния магнитной восприимчивости. Чтобы получить
2
r
приближенное выражение, будем считать параметр
малым и
k
пренебрежем влиянием диэлектрической проницаемости. Тогда, дифференцируя функцию от
метру
, получим
k
Ф() , .
2
r
в подынтегральном выражении (2.24) по пара-
xx
01 0
xx
01
Ф()
i
00
22
()
x
0
(2.124)
С учетом (2.124) можно записать:
R
вн
L
0
2
r
k
()
00
2
0
x
(1 )
0
1
e
4
x
e
(1 )
x
2
2
x
eJxdx
x
1
2
2
2
1
2
2
Jxdx
()
1
()
(2.125)
.
Анализ выражения (2.125) позволяет сделать следующие выводы.
Сомножитель, зависящий только от геометрии датчика и его расположения над полупространством, называется геометрическим фактором
(, )Q
и обозначается
12
Q
(, )
12
:
1(1 )
4
0
x
e
4
x
e
(1 )
0
1
x
2
x
2
x
2
eJxdx
2
2
()
1
. (2.126)
2
1
2
Jxdx
()
1
Сходимость верхнего интеграла в (2.126) можно показать следующим
образом. Устремим переменную интегрирования к нулю. Тогда подынтегральная функция этого интеграла устремится к следующей величине:
x
2
lim ( ) .
(1 )
011
x
1
e
4
x
x
2
eJx
22
2
(2.127)
2.7. Приближенная теория расчета вносимых сигналов 93
x
x
В нуле подынтегральная функция конечна. При стремлении подынтегральной функции к бесконечности будем иметь:
3
2
x
2
1
e
45
xx
xx
22
eJx e
2
22
1
x
(1 )
lim ( ) 0.
2cos
x
4
Подынтегральная функция верхнего интеграла (2.126) даже при
0
2
стремится к нулю при стремлении переменной интегрирования к бес-
конечности не медленнее
1
. Таким образом, подынтегральная функ-
5
ция этого интеграла ограничена в нуле, непрерывна на всем интервале
интегрирования, в бесконечности стремится к нулю не медленнее
1
5
Интеграл от такой функции сходится. Если учесть конечную толщину
провода намотки, то геометрический фактор (2.126) можно переписать
так:
1(1 )
4
Q
(, , ) .
12
0
x
e
4
x
e
(1 )
0
2
1
2
x
x
2
2
eJx Jxdx
x
2
1
Jx Jxdx
((1 )) ()
11
((1 )) ()
11
(2.128)
Выражение (2.125) содержит, кроме того, сомножитель, зависящий от
магнитной проницаемости:
22 2
rr r
4æ,
kk k
0
()
0
00
(1 0,5æ)
(1 æ )
2
2
(2.129)
.
2
(1 æ )
где
æ
(1 0,5æ)
– кажущаяся магнитная восприимчивость полу-
2
пространства. Формула (2.129) показывает, что сомножитель, содержащий магнитную восприимчивость, можно разбить на два, один из
которых зависит только от проводимости, другой – только от магнит-
94 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
ной восприимчивости. Следовательно, окончательную формулу для
расчета вносимого сопротивления можно записать так:
R
вн
L
0
2
æ(, ).
rQ
012
k
(2.130)
Формула (2.130) позволяет исследовать влияние магнитной восприимчивости на величину вносимого сигнала. Рассмотрим поведение кажущейся восприимчивости в зависимости от изменения истинной восприимчивости. Пусть æ стремится к нулю:
2
(1 æ )
lim æ lim 1.
æ0 æ0
(1 0,5æ)
(2.131)
2
Формула (2.131) показывает, что при стремлении æ к нулю вносимый
сигнал перестает зависеть от магнитной восприимчивости. Отсюда
возникает следующая задача: при малых æ вносимый сигнал с точностью до 5 % можно считать не зависящим от магнитной восприимчивости:
2
(1 æ )
(1 0,5æ)
1, 05, æ 51 000 ед. CGSM.
2
(2.132)
Оценка (2.132) показывает, что вплоть до æ51 000 ед. CGSM
можно считать влияние магнитной восприимчивости на вносимое ак-
тивное сопротивление малым. В том случае, когда истинная магнитная
восприимчивость превосходит пороговую величину, следует непременно ее учитывать с помощью формулы (2.130). В предельном случае, когда магнитная восприимчивость стремится к бесконечности,
кажущаяся магнитная восприимчивость стремится к четырем:
22
(1 æ ) (1 1 / æ)
lim æ lim lim 4.
ææ æ
(1 0,5æ) (1 / æ 0, 5)
22
(2.133)
Формула (2.133) показывает, что если производить измерения над
сильномагнитным полупространством, то кажущаяся магнитная восприимчивость будет стремиться к четырем. Таким образом, если магнитная восприимчивость предельно высока, то вносимый сигнал будет
2.7. Приближенная теория расчета вносимых сигналов 95
в четыре раза выше того, который был бы при отсутствии магнитной
восприимчивости. В неэкстремальных случаях геометрический фактор
(, )Q
12
можно протабулировать. Это даст возможность рассчитать
вносимый сигнал при любых проводимостях. При практических определениях проводимости с помощью приборов геометрический фактор
(, )Q
12
лучше всего находить экспериментально. Методика опре-
деления проста и вытекает из соотношения (2.130). Для вычисления
геометрического фактора генераторно-измерительной группы датчиков достаточно иметь один эталонный немагнитный образец с известной проводимостью. Измерив с помощью группы генераторноизмерительных датчиков вносимое активное сопротивление образца,
затем разделив его на индуктивное сопротивление этой группы
2
r
духе и параметр
, получим величину геометрического фактора:
0 k
R
(, ) .
Q
12
1
0
вн
2
r
k
(2.134)
L
0
в воз-
Вычислив отношение (2.134) при различных частотах, можно найти
его среднеарифметическое значение. Это позволит достаточно точно
рассчитать геометрический фактор генераторно-измерительной группы датчиков с учетом всех индивидуальных особенностей. После экспериментального определения геометрического фактора проводимость
рассчитывают по формуле
R
вн
L
æ(, )
0
1
2
rQ
012
k
(2.135)
.
По (2.135) легко производить калибровку прибора в области малых
2
параметров
r
. Аналогичные приближенные формулы для расче-
0 k
та вносимого сопротивления можно получить для витка с током, для
ЭДС индукции в приемном датчике иных, чем у генераторного, геометрических размеров. Вносимое активное сопротивление витка с током имеет вид
R
вн
L
0
2
æ(, ).
rQ
02
k
(2.136)
96 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
2
(, )Q
11
eJx Jxdx
2
4
x
0
выражается формулой
2
2
x
2
((1 )) ()
11
1
ln
1
(2.137)
Геометрический фактор
(, ) .
Q
Приближенное выражение активной компоненты ЭДС индукции выглядит следующим образом:
вт
Э
Э
0
Геометрический фактор
1(1 )(1 )
4
0
ee
(1 )(1 )
0
x
ee
2
æ ( , , , ).
rQ
k
02123
( , , , )Q
2123
(, , , )Q
2123
x
1
4
x
x
1
x
3
x
2
можно выразить формулой
x
2
2
eJxJxdx
3
Jx Jxdx
11
()()
11
()()
(2.138)
(2.139)
,
r
и
где
. Геометрические факторы, полученные здесь, могут быть
r
k
рассчитаны на компьютере или измерены экспериментально. Методика измерения отличается тем, что требуется предварительная информация о магнитной восприимчивости. Получить эту информацию
можно с помощью того же самого прибора, но работающего на более
низких частотах и измеряющего вносимое индуктивное сопротивление
или реактивную компоненту ЭДС.
котором на измерения
æ не влияет
Пороговое значение параметра, при
, здесь определено. Определено
также пороговое значение æ, при котором магнитная восприимчивость не влияет на измерения проводимости по активной компоненте
импеданса или ЭДС. Осталось рассмотреть последний случай одновременного присутствия в среде всех электромагнитных параметров
æ, ,
. Будем считать, что частота тока в датчике такова, что
2.7. Приближенная теория расчета вносимых сигналов 97
xxxx
x
x
x
параметры
их отношение
r
2
k
22
r
и
остаются меньше единицы, тем не менее
k
сравнимо с единицей. В этом случае в среде могут
существовать как токи смещения, так и токи проводимости. Следовательно, необходимо учесть оба параметра
2
r
k
и
22
r
в разложе-
k
нии подынтегральной функции верхнего интеграла (2.24). Пусть
01
где
Ф(, ) ,
222 2 2
xrirxi
1
kk
(2.140)
01
Разложим
.
Ф(, )
в
ряд Маклорена следующего вида:
Ф(, ) Ф(, )
Ф(, ) Ф(0,0) ...
Производные по параметрам
по
:
1
Ф(, ) Ф(, ) Ф(, ) Ф(, )
0, 0 0, 0
и лучше заменить на производные
11
xx
11
, .
(2.141)
x
(2.142)
Опуская промежуточные выкладки, окончательно получим:
Z
вн
L
i
()
00
00
1(1 )
4
2
r
k
()
4
00
2
0
x
(1 )
0
1
e
2
x
(1 )
e
x
x
e
4
x
e
(1 )
0
2
x
2
eJxdx
x
1
2
2
1
x
1
4
x
2
2
()
1
2
2
Jxdx
()
1
x
2
eJxdx
2
2
2
()
1
2
Jxdx
()
1
98 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
1(1 )
4
ir
()
22
00
2
0
4
k
0
x
e
4
x
(1 )
e
0
2
1
2
x
eJxdx
x
2
1
2
x
2
2
1
2
Jxdx
()
1
()
.
(2.143)
Выражение (2.143) легко преобразовать к следующему:
Z
вн
L
0
222
æ(, ) æ(, ).
rQ i rQ
kk
012012
0,5æ ( , )
iQ
12
(2.144)
Таким образом, в первом приближении вносимый импеданс среды,
содержащий все три электродинамических параметра
, æ, ,
состоит
из трех самостоятельных слагаемых. Первое слагаемое представляет
собой часть индуктивного сопротивления, вызываемого намагниченностью среды. Второе есть вносимое активное сопротивление, вызванное вихревыми токами и намагниченностью в среде; последнее есть
часть индуктивного сопротивления, вызванного токами смещения и
намагниченностью среды. Нетрудно видеть, что два последних члена
зависят от частоты тока,
поэтому, устремив ее к нулю, получим зависимость импеданса только от магнитной восприимчивости, причем
формула, определяющая вносимый сигнал, совпадает с формулой (2.118). Это означает, что в области предельно малых параметров
0 k
2
r
и
22
r
вносимое индуктивное сопротивление вызывается
0 k
только намагниченностью. Магнитная восприимчивость может быть
определена по способу, рассмотренному в начале настоящего раздела.
Если частоту тока повышать, то вносимый сигнал будет зависеть от
тепловых потерь вихревых токов в среде. Поэтому появляется действительная часть вносимого импеданса (второй член в формуле
(2.144)). Она совпадает с изученным ранее
случаем, представленным
формулой (2.130). Таким образом, если измерять последовательно на
низких частотах индуктивное сопротивление и тем самым определять
магнитную восприимчивость среды, а затем на повышенных частотах
измерять вносимое активное сопротивление, по которому можно найти
проводимость с учетом æ среды, то представится возможность опре-
2.7. Приближенная теория расчета вносимых сигналов 99
делять проводимость и магнитную восприимчивость среды в своем
диапазоне частот.
Сложнее обстоит дело с измерением диэлектрической проницаемости, которая проявляется на высоких частотах (третье слагаемое в
формуле (2.144)), но так, что индуктивное сопротивление, на которое
она влияет, содержит не зависящее от частоты слагаемое, вызванное
намагниченностью среды. Намагниченность среды входит в слагаемое,
определяющее
диэлектрическую проницаемость. Следовательно, при
измерении диэлектрической проницаемости среды в присутствии ее
магнитной восприимчивости методика измерения должна вытекать из
следующей формулы:
L
вн
i
L
0
0,5æ ( , ) æ ( , )
QrQ
12 0 12
22
k
. (2.145)
Согласно (2.145) необходимо измерять вносимое индуктивное сопротивление на двух частотах и брать разность этих значений. Не зависящее от частоты слагаемое, вызванное намагниченностью, разность исключает. В результате расчетная формула может быть записана следующим образом:
LL
1 вн 2 вн
LL
10 2 0
æ(, )()
irQ
2
01212
k
. (2.146)
Разность вносимых индуктивных сопротивлений уже не зависит от
постоянного слагаемого, но по-прежнему остается зависимость от кажущейся магнитной восприимчивости. Нетрудно заметить, что в разность (2.146) входит геометрический фактор, совпадающий с геометрическим фактором (2.126), а кажущаяся магнитная восприимчивость
также совпадает с (2.127). Следовательно, изученные здесь особенно-
æ
сти кажущейся магнитной восприимчивости
полностью распро-
страняются на формулу (2.146). Геометрический фактор, экспериментально определенный по измерениям проводимости, полностью подходит для работы с формулой (2.146), так как совпадает аналитический
вид этих факторов; поэтому при определении диэлектрической проницаемости все входящие в формулу величины известны. Геометрический фактор
(, , )Q
12
, учитывающий конечную толщину провода
намотки, представленный формулой (2.130), рассчитан нами и сведен в
100 Глава 2. ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ДАТЧИКОВ
таблицу. Используя табулированный геометрический фактор, можно
рассчитать вносимое сопротивление и исследовать его поведение.
Геометрический фактор
1
0,04 0,07893 0,08163 0,08306 0,08637
0,08 0,09275 0,09301 0,09331 0,09596
0,12 0,10407 0,10456 0,10287 0,10386
0,16 0,11395 0,11409 0,11163 0,11218
0,20 0,12299 0,12284 0,11978 0,12223
0,04 0,06622 0,06844 0,06930 0,07221
0,08 0,07813 0,07806 0,07816 0,07958
0,12 0,08800 0,08835 0,08649 0,08727
0,16 0,09669 0,09675 0,09420 0,09461
0,20 0,10471 0,10452 0,10141 0,10156
0,04 0,05661 0,05848 0,05892 0,06119
0,08 0,06702 0,06778 0,06666 0,06785
0,12 0,07571 0,07598 0,07400 0,07463
0,16 0,08343 0,08344 0,08082 0,08113
0,20 0,09060 0,09039 0,08725 0,08734
0,04 0,04915 0,05075 0,05086 0,05281
0,08 0,05834 0,05808 0,05771 0,05871
0,12 0,06608 0,06628 0,06422 0,06475
0,16 0,07210 0,07208 0,07032 0,07056
0,20 0,07946 0,07925 0,07609 0,07615
0,02 0,03 0,04 0,05
0,1
2
0, 2
2
0,3
2
0, 4
2
(, , )Q
12
Необходимо рассмотреть вопрос о пределах применимости разра-
ботанной здесь приближенной теории. Естественно, что пределы применимости регламентируются параметрами
0 k
2
r
и
22
r
, кото-
0 k
рые считались по величине меньшими единицы в момент вывода основных приближенных формул. При измерении магнитной восприимчивости основное ограничение, состоящее в отсутствии влияния поля
токов проводимости при измерении æ, сводилось к соотноше-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]