Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
1.2. Вектор-потенциал кольца с током в однородной изотропной среде 11
M
M
M
1.2. ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ КОЛЬЦА С ТОКОМ
В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Представим себе, что бесконечно тонкий круглый виток провода
радиусом
щими от частоты электродинамическими параметрами
цилиндрической системы координат
витка (рис. 1.1). Ось
потенциал элемента токового кольца
r
находится в однородной изотропной среде с не завися-
k
, , .
Центр
, , rz
располагается в центре
z направлена вверх. Известно [3], что вектор-
dl r dl
kk
в любой точке про-
странства (например, в точке М) имеет вид
(, )
ikR M M
dA r z I r d
(, ) cos
0
k
e
RM M
4(, )
k
, (1.13)
k
где
I
– амплитуда тока в кольце;
0
– точка на кольце;
k
(, )
M
–
k
расстояние от точки в пространстве до точки на кольце.
z
R
Z
r
k
M
k
Рис. 1.1. Бесконечный виток с током в однородной
среде
r
d
Непосредственной подстановкой (1.13) в уравнение (1.11) можно
убедиться в том, что решение (1.13) удовлетворяет уравнению (1.11).
Чтобы отыскать вектор-потенциал, создаваемый в точке всеми элемен-
x
12 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
J
A
тами кольца, необходимо просуммировать вдоль кольца векторпотенциал всех элементов. Предварительно надо воспользоваться следующими представлениями скалярной функции вида [4]:
2
Kd k zd
0
0
22
cos ,
(1.14)
0
22
k
221/2
()
kz
eJdd
().
0
Здесь
ка;
ikR
e
R
ikR
e
R
()Kd
– модифицированная функция Бесселя нулевого поряд-
0
()
d
– функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Форму-
0
лы (1.14) необходимы при построении выражений для векторпотенциала кольца не только в однородной среде, где они равнозначны, но и в аксиальной однородной и в планальной однородной средах.
В большей мере каждая из них пригодна для построения решений соответственно в аксиально однородной
и в планально однородной средах. В дальнейшем все выкладки будем производить параллельно и в
отдельности для каждого из представлений (1.14). Подстановка (1.14)
в (1.13) и интегрирование дают:
2
Ir
0
(, ) cos cos ,
rz zd K d k d
k
2
2
00
22
0
(1.15)
Ir
k
(, ) ( )cos .
Arz d J d d
0
4
0
22
()
e
22
kz
k
2
0
o
(1.16)
Перестановка порядка интегрирования в (1.15) и (1.16) возможна, так
как эти интегралы сходятся равномерно во всех точках, за исключени-
ем точек на кольце
rr z
k
, которые необходимо исключить из
( , 0)
рассмотрения. Чтобы вычислить внутренние интегралы в (1.15) и
(1.16), следует явно выразить расстояние
d
через угловую меру. Для
этого достаточно воспользоваться известными теоремами сложения
1.2. Вектор-потенциал кольца с током в однородной изотропной среде 13
J
A
для бесселевых функций [5], предварительно введя обозначение
22
k
:
()( )
KrIr
00
2 ( ) ( )cos при ,
m
()
Kd
0
()()
Kr Ir
00
2 ( ) ( )cos при .
m
k
KrIr m rr
mmk k
1
k
Kr Ir m rr
mk m k
1
(1.17)
Теорема сложения для функции Бесселя первого рода симметрична
относительно радиуса кольца, поэтому имеет следующий вид:
() ( )()2 ( ) ()cos
dJrJr J rJ r m
000
kmkm
1
m
. (1.18)
Подставляя (1.17) и (1.18) соответственно в (1.15) и (1.16), будем
иметь:
Ir
0
k
Arz
(, )
Ir Kr zd r r
( ) ( ) cos , ,
11
0
Ir
0
k
Ir Kr zd r r
( ) ( ) cos , ,
11
kk
0
kk
(1.19)
или
Ir
z
k
(, ) ( ) ( )
rz e J rJ r d
0
2
0
11
. (1.20)
k
14 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
x
Необходимо подчеркнуть, что формулы (1.19) и (1.20) получены в
предположении синфазности электрического тока вдоль кольца.
Учесть запаздывание тока вдоль кольца можно, введя в выражение для
потенциала экспоненту
V
ток, а
– скорость распространения тока вдоль кольца, равная
1/VLC
(L – индуктивность, C – емкость кольца). При безгра-
e
где x – путь, по которому протекает
/,ixV
ничном увеличении частоты тока влияние этого множителя может ока-
t
заться ощутимым. Однако оценка методом сравнения модулей
/
V
позволяет убедиться, что до частот 100 МГц влияние запазды-
и
вания тока вдоль кольца ничтожно мало. Поэтому будем считать амплитуду тока вдоль кольца постоянной
(const)I
0
, эффектами излу-
чения пренебрегаем, индуктивность и емкость считаем сосредоточенными.
1.3. ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ ОДНОСЛОЙНОЙ
ПЛОТНО НАМОТАННОЙ КАТУШКИ
В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Естественно обобщить вектор-потенциал кольца на случай однослойной плотно намотанной катушки, так как практически всегда измерения производятся катушками индуктивности. Представим себе
следующую модель катушки индуктивности: бесконечно тонкий по-
h
лый цилиндр высотой
линдрической координаты
обладает конечной проводимостью вдоль ци-
, вдоль координаты z проводимость рав-
на нулю. Начало координат помещено в центр катушки. Вектор-
dz
потенциал элемента катушки
, содержащего на единицу длины n
витков, будет выглядеть следующим образом:
Ir dz I r K r z zd r r
011
dA r z
(, )
Ir dz I r K r z zd r r
011
n
kk k
n
kk k
( ) ( ) cos( ) , ,
0
( ) ( ) cos( ) , .
0
(1.21)
1.3. Вектор-потенциал однослойной плотно намотанной катушки 15
Интегрируя по высоте катушки, получим
/2
h
n
Ir I r K r z z d dz r r
011
kk k
/2 0
h
( ) ( )cos ( ) , ,
/2
h
n
Ir I r K r z z d dz r r
011
kk k
/2 0
h
( ) ( )cos ( ) , .
(, )
Arz
(1.22)
Внутренние интегралы в (1.22) сходятся равномерно во всех точках,
кроме
rr z
k
. Поэтому, исключая из рассмотрения эти точки, во
, 0
всех остальных можно поменять порядок интегрирования местами:
/2
h
h
/2
h
h
(1.23)
(, )
Arz
n
Ir I r K r d z zdz r r
011
kk k
n
Ir I r K r d z zdz r r
011
kk k
( ) ( ) cos( ) , ,
0/2
( ) ( ) cos( ) , .
0/2
Вычисляя интегралы, получим
1
nh
Ir I r K r zd r r
011
kk k
0
nh
Ir I r K r zd r r
011
kk k
0
1
2
2
(1.24)
(, )
Arz
2 ( ) ( )sin cos , ,
2 ( ) ( )sin cos , .
Выражение (1.24) представляет собой вектор-потенциал конечной по
высоте катушки. При
n
единицу длины
1N
22
, поэтому выражение (1.24) переходит
0 sin
h
, количество витков на
hh
hh
16 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
A
A
в (1.19). Далее необходимо получить выражение для векторпотенциала такой же катушки индуктивности, пригодное для работы в
планальных однородных средах. Чтобы получить этот векторпотенциал, следует перенести начало координат в центр основания
(торца) катушки. Тогда получим
n
dA r z I r dz e J r J r d
(, ) ( ) ( )
011
kk
2
0
z
z
. (1.25)
Интегрируя вдоль катушки, получим
h
(, ) ( ) ( )
Arz Ir e J rJ rd dz
n
011
kk
2
00
z
z
. (1.26)
Меняя порядок интегрирования, найдем
n
z
(, ) 1 ( ) ( )
rzIr e e JrJrd
011
kk
2
2
0
При уменьшении высоты катушки до нуля (
переходит в (1.20), так как
n
h
. (1.27)
0h
) выражение (1.27)
1N
:
hh
hh
1
ee
а число витков
lim lim при 0,
h
1N
. Полученные выражения для вектор-потенциа-
1
h
(1.28)
лов кольца и катушки имеют важное значение при построении необходимых формул. В математическом смысле названные формулы представляют собой лишь различные частные решения общего уравнения:
2
kA I
0
(1.29)
для -товой компоненты векторного потенциала.
1.4. Электромагнитное поле кольца и катушки 17
H
H
1.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОЛЬЦА И КАТУШКИ
Следующим шагом решения поставленной задачи будет расчет
электромагнитного поля кольца и катушки в однородной среде. Для
этого достаточно воспользоваться полученными здесь формулами.
Вследствие цилиндрической симметрии электромагнитное поле будет
иметь такие компоненты:
(, ) (, )
Arz Arz
HHArz
rz
, ( , ) ,
zr z
(, ).
EiArz
1
(1.30)
Причем для однородных сред можно получить два вида формул, описывающих поле кольца. Электромагнитное поле внутри кольца:
Ir
0
k
HIrKrzd
rk
Ir
0
zkk
Ei IrKr zd
() ( )sin ,
11
0
k
() ( )cos , ,
IrKr zd r r
01
0
Ir
0
k
() ( )cos .
11
0
k
(1.31)
Электромагнитное поле вне кольца:
Ir
0
k
HIrKrzd
rk
Ir
zk k
EiI IrKr zd
()()sin ,
11
0
0
k
()()cos , ,
Ir K r zd r r
10
0
r
k
01 1
()()cos .
k
0
(1.32)
18 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
E
H
Используя потенциал (1.20), можно получить симметричное относи-
r
тельно
электромагнитное поле:
k
Ir
k
0
HJrJred
rk
2
Ir
HJrJred
0
zk
2
iI JrJre d
11
0
2
k
0
r
k
011
2
0
z
()( ) ,
()() ,
10
()( ) .
z
z
k
(1.33)
Формулы (1.33) известны [1]. Формулы (1.31) и (1.32) более точно воспроизводят электромагнитное поле кольца с током как внутри, так и
вне его. В непроводящей среде, например в воздухе, электромагнитное
поле легко получить из формул (1.31) – (1.33). Для этого достаточно в
22
k
обозначении для
положить
поле витка остается конечным всюду, за исключением точек
0z
, принадлежащих непосредственно витку с током. Электромаг-
2
0k
. Электромагнитное
rr
k
нитное поле маловитковой плотно намотанной катушки можно получить аналогично предыдущему с той лишь разницей, что в этом случае
используется вектор-потенциал однослойной катушки. Электромагнитное поле внутри катушки:
,
2
HIrKr zd
rk
2
zkk
Ei Ir IrKr zd
Irn
0
k
( ) ( )sin sin ,
11
0
Irn
0
k
2()()sincos.
IrKr zd r r
() ( )sin cos , ,
01
0
nh
011
1
kk
0
h
2
h
(1.34)
2
2
1.4. Электромагнитное поле кольца и катушки 19
E
Электромагнитное поле вне катушки:
2
Irn
0
k
HIrKr zd
rk
()()sin sin ,
11
0
h
2
HIrKrzdrr
Ei Ir IrKr zd
2
zk k
Чтобы получить симметричное относительно
Irn
0
2()()sincos.
k
011
kk
()()sin cos , ,
10
0
1
nh
0
h
2
2
r
выражение для элек-
k
(1.35)
тромагнитного поля, достаточно подставить в формулы (1.30) векторпотенциал (1.27). Итак, имеем:
n
HIr JrJr e e d
011
rk k
HIr JrJr e e d
zk k
2
n
001
2
iIr e e J rJ rd
011
()( )(1 ) ,
0
2
0
kk
()( )(1 ) ,
2
n
z
2
2
0
(1 ) ( ) ( ) .
h
h
z
z
h
(1.36)
Полученные в этом разделе формулы описывают электромагнитное
поле кольца и катушки в однородной изотропной среде. Известно, что
магнитное поле датчика наводит в среде ЭДС. Вторичные токи, возникающие в связи с этой ЭДС, имеют свое электромагнитное поле. Будем
называть его вторичным. Чтобы вычислить вторичное поле, образованное токами в среде,
нужно вычислить разницу полей в среде и в
воздухе. Считается, что принцип суперпозиции полей при малых
20 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
размерах датчиков до частот в 100 МГц не нарушается. Тогда вторичное поле внутри кольца:
Ir
вт
HIrKr
rk
вт
HIrKr
zk
вт
EIrKr
k
0
Ir
0
iIr
[( ) ( )
11
0
()( )]sin ,
Ir Kr zd
11
k
0
()( )]cos , ,
IrKr zd rr
01
k
0
Ir Kr zd
01 1
k
[ ( ) ( )
01
kk
[()()
11
0
()( )]cos .
k
k
(1.37)
Вторичное поле вне кольца:
Ir
вт
HIrKr
rk
вт
HIrKr
zk
вт
EIrKr
k
0
Ir
iIr
[( ) ( )
11
0
()()]sin ,
Ir Kr zd
k
11
k
0
[ ( ) ( )
10
0
()()]cos , ,
Ir K r zd r r
kk
10
k
0
[()()
k
11
0
()()]cos .
Ir Kr zd
k
01 1
(1.38)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]