Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
3.1. Индукционный датчик с бесконечно длинным электрически однородным сердечником 121
A
A
цилиндрической системы направлена вдоль оси цилиндра. В этом случае магнитное поле индукционного датчика будет обладать цилиндрической симметрией. С учетом этого и результатов главы 1 можно записать вектор-потенциал внутри цилиндрического образца в виде
1
rz B I r zd r b
( , ) ( ) ( ) cos ,
1
0
11
. (3.1)
Вне образца вектор-потенциал выглядит более сложным образом:
2
(, ) 2 ( ) ( )
Arz IrnIr Kr
1
01 1
kk
sin
h
2
() ( )cos , .
DKr zd rrb
1
k
(3.2)
n
Здесь
1
– число витков на единицу длины катушки;
22
Граничные условия на боковой поверхности
.i
цилиндра можно записать следующим образом:
12
(, ) (, )
rA r z rA r z
12
( , ) ( , ), при .
rz A rz r b
0
rr rr
(3.3)
Подставляя потенциалы (3.1) и (3.2) в граничные условия (3.3), получаем уравнения:
sin / 2
h
Ib B Kb D nI rIb Kr
( ) () ( ) () 2 ( ) ( ) ,
11 01 001 1
kk
Ib B KbD nIrIbKr
()() ()()2 ()() .
10 1 0 0 1 1
kk
h
sin / 2
(3.4)
122 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
A
Уравнения (3.4) позволяют вычислить все нужные константы. В результате их вычисления можно записать вектор-потенциал вне цилиндрического образца:
2
2
rz I rK r
(, ) ( ) ( )
Irn
k
0
11
0
k
() ( )[ ( )() ()( )]
K rK r Ib Ib IbIb
11 110 10101
k
( ) () ()( )
Ib K b K bI b
110 101 01
sin
2
cos .hzd
(3.5)
Электромагнитные компоненты вне цилиндра можно записать, используя формулы (1.30):
2
(, ) ( ) ( )
Hrz I rK r
rk
() ( )[ ( )( ) ( )( )]
KrKr IbIb IbIb
11 110 10101
k
()() ()()
Ib K b K bI b
110 101 01
Irn
sin sin ,
0
k
h
11
0
zd
2
2
(, ) ( ) ( )
Hrz I rK r
zk
Irn
0
k
01
0
() ( )[ ( )() ()( )]
K rK r Ib I b Ib I b
01 110 10101
k
( ) () ()( )
Ib K b K bI b
110 101 01
h
sin cos ,
zd
(3.6)
2
3.1. Индукционный датчик с бесконечно длинным электрически однородным сердечником 123
x
2
iIrn
(, ) ( ) ( )
Erz I rK r
00
k
0
11
k
() ( )[ ( )( ) ( )( )]
K rK r Ib Ib Ib I b
11 110 10101
k
()() ()()
Ib K b K bI b
110 101 01
h
sin cos .
zd
2
Компоненты поля (3.6) позволяют записать выражение для вносимого
импеданса индукционной катушки в присутствии сердечника. Сделаем
rx
предварительно замену переменных
и выразим импеданс в
k
единицах вносимого индуктивного сопротивления катушки в воздухе.
Z
вн
L
2
()[ ( )( ) ( )( )]
Kx xIx Ix x Ix Ix
0
где
hr
2
1
1 1 11 0 1 101 1 0 11
xIx K xxK xI x
( )() ()( )
111 0 1 101 1 0 11
IxKx dx
() ()
11
0
/kbr
1
/2
222 2
xrir
– отношение радиуса цилиндра к радиусу катушки;
– отношение высоты катушки к ее диаметру;
k
kk
.
sin
Несобственные интегралы формулы (3.7)
i
0
2
sin
2
x
2
2
x
x
2
dx
2
x
(3.7)
,
содержат в подынтегральном выражении непрерывные функции. Изучим поведение подынтегральной функции при приближении к нулю.
22
0 и 0
rr
В этом случае возникают две возможности:
kk
.
В первой подынтегральные функции соответственно верхнего и нижнего интегралов стремятся к известным постоянным:
2
()[ ( )( ) ( )( )]
Kx xIx Ix x Ix Ix
1 1 11 0 1 101 1 0 11
( )() ()( )
xIx K xxK xI x
111 0 1 101 1 0 11
sin
2
x
2
x
2
x
0
2
r
k
0
124 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
x
x
x
22
()
201
IxKx
2
22
sin
() () ,
11 0
22
2
x
,
(3.8)
0
x
x
2
2222
21 1 1
001
22 2 22 2
Irir
ri rI ri r
kk kk
kk
22
21
2
. (3.9)
Во втором случае подынтегральная функция верхнего интеграла также
ограничена. Подынтегральная функция нижнего интеграла от волнового числа не зависит. Если переменную интегрирования устремить в
бесконечность, то подынтегральная функция соответственно верхнего
и нижнего интегралов в формуле (3.7) будет убывать не медленнее,
чем функции
22
sin sin
xx
0
0
22
, .
33
xx
(3.10)
Таким образом, интегралы (3.7) не имеют особенностей в интервале
интегрирования, поэтому возможен их численный расчет на компьютере по методике, рассмотренной в разделе 1.8. В том случае, когда
необходимо учесть токи смещения в воздухе и толщину провода
намотки однослойной плотно намотанной катушки, вносимый импеданс записывается следующим образом:
Z
вн
L
((1 )) ()[ ( )( ) ( )( )]
Kx Kx xIx I x x Ix I x
0
10 10 0111001 10101011
xI x K x x K x I x
()( ) ()()
01 1 1 0 10 1 0 1 1 0 0 11
((1 )) ()
Ix Kx dx
10 10
0
i
0
2
sin
2
dx
2
x
2
sin
x
2
2
x
(3.11)
,
/,
ar
где
222 2
xrir
100
k
kk
1
br
/,
k
.
2
/2 ,
hr
k
222
xr
000
,
k
3.2. Индукционный датчик со слабомагнитным сердечником конечных размеров 125
H
H
Если измерения производятся одновитковой рамкой конечных размеров, вносимый импеданс можно записать так:
Z
вн
L
((1))()[ ()( ) ( )()]
Kx Kx xIx I x x Ix I x
0
1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 1 01 0 1 0 1 1
()( ) ()()
xI x K x x K x I x
0111 010 10110011
((1 )) ()
Ix Kxdx
0
10 10
i
0
dx
.
(3.12)
Таким образом, аналитическое решение задачи о расчете вносимого сердечником-образцом импеданса в катушку сводится к несобственным интегралам, сходимость которых показана, но расчет их тем
не менее возможен только с помощью компьютера.
3.2. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК
СО СЛАБОМАГНИТНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ
КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Представим, что бесконечно тонкое одновитковое круговое кольцо
насажено на слабомагнитный и непроводящий цилиндрический обра-
br
зец конечных размеров: радиус образца
, высота образца h. Ам-
k
плитуда поля, питающего катушку тока, пусть не превосходит одного
эрстеда. В этих предположениях справедливы формулы (2.27) и (2.31).
Компоненты первичного поля можно записать следующим образом:
Ir
0
0
k
() ( )sin ,
IrKr zd
rk
Ir
0
zk
11
0
0
k
()( )cos .
IrKr zd
01
0
rr
, (3.13)
k
126 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
x
Подстановкой (3.13) в (2.31) можно вычислить нужную компоненту
магнитной индукции, а затем ЭДС в кольце:
/2
bh
Ir
22
0
Э
ir IrKr zd
2æ ()()sin
k
kk
00 0
3
rz
R
2
11
5
22
(2 )
rz r
R
5
IrKr zddrdz
()( )cos
01
0
k
. (3.14)
Вычислим импеданс, вносимый цилиндром конечных размеров в одно-
:
витковое кольцо, предварительно сделав замену переменных
/2
bh
Zir IxKxxx
вн 11
2æ ()sin
k
00 0
22
(2 )
rz r r z
R
I x K x x x drdzdx
5
22
3
rz r z
R
01
rr
kk
5
rr
kk
()cos .
(3.15)
r
k
Выражение (3.15) представляет собой вносимый образцом конечных
размеров в одновитковое бесконечно тонкое кольцо радиусом
r
k
им-
педанс. Формула (3.15) необходима для оценки влияния конечных
размеров образцов.
3.3. ИНДУКЦИОННЫЙ ДАТЧИК С ПРОВОДЯЩИМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ СЕРДЕЧНИКОМ-ОБРАЗЦОМ
КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
2
1
(ОБЛАСТЬ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
r
k
)
Будем считать, что в одновитковое кольцо радиусом
r
вставлен
k
проводящий немагнитный цилиндрический сердечник-образец радиу-
b
и высотой h. Частота тока в кольце такова, что волновой пара-
сом
2
1
метр меньше единицы
r . В этой постановке задача сводит-
k
ся к решению уравнения (2.44). По формуле (2.45) можно вычислить
3.3. Индукционный датчик с проводящим цилиндрическим сердечником-образцом 127
A
j
R
плотность тока в образце, необходимо только в выражении для потенциала использовать следующую формулу:
Ir
0
( , ) ( ) ( )cos , .
rz I r K r zd r r
k
11
kk
(3.16)
Плотность тока в каждой точке образца, следовательно, можно вычислить по формуле
Ir
0
iIrKrzdrr
k
011
( ) ( ) cos , .
kk
(3.17)
Чтобы вычислить z-компоненту напряженности магнитного поля, достаточно подставить (3.17) в (2.44) и проинтегрировать по объему цилиндрического образца конечных размеров:
/2
hb
Ir
0
H i I r K r zdzdrd
zk
k
011
00
2
r
()( )cos .
5
R
(3.18)
Наводимая этим полем ЭДС в кольце вычисляется по формуле
/2
hb
Ir
Э
22
вн 011
k
0
2
00
2
r
223/2
rz
()
I r K r zdzdrd
()( )cos .
k
(3.19)
Вносимое активное сопротивление одиночного кольца с проводящим цилиндрическим сердечником-образцом будет иметь вид
/2
hb
r
22
вн 011
k
2
00
2
r
223/2
rz
()
()( )cos .
I r K r zdzdrd
k
(3.20)
Формула (3.20) полезна для оценки влияния конечного размера цилиндрического образца.
128 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
3.4. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
НА ИМПЕДАНС ИНДУКЦИОННОГО ДАТЧИКА
В РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТОТНЫХ ДИАПАЗОНАХ
Поскольку физическая сущность процесса взаимодействия электромагнитного поля с образцом в проходных датчиках сходна с аналогичным процессом при контроле накладным датчиком, естественно
воспользоваться результатами раздела 2.6, в котором рассмотрены физические основы аналитического решения задачи расчета частотных
диапазонов, внутри которых индукционный датчик испытывает влияние одного из электродинамических параметров.
При измерении
слабомагнитных сред на низких частотах основное мешающее влияние может оказать поле токов проводимости, возникающее в образце в связи с возбуждением в нем вторичных токов.
Магнитное поле вихревых токов, находящихся в образце, обратно
намагничивающему полю, кроме того, вихревые токи испытывают в
образце тепловые потери. Поэтому образец вносит в индукционный
датчик
дополнительные активное и реактивное сопротивления. Причем в зависимости от величины удельной проводимости образца и частоты поля вносимое индуктивное сопротивление может быть разных
знаков. В данном случае нас интересует только магнитная восприимчивость образца, поэтому необходимо подобрать такую низкую частоту, питающую катушку тока, при которой поле токов проводимости не
влияет на импеданс катушки. Решение этой задачи связано со строгим
расчетом компонент импеданса по формуле (3.7) в зависимости от из-
2
менения величины параметра
r
. На рис. 3.1 показаны кривые за-
k
висимости вносимого активного и индуктивного сопротивления, выраженные в единицах индуктивного сопротивления катушки в воз-
2
духе, от величины параметра
(/1)
br
равно единице
(/20,4).
hr
2
k
восприимчивости
1
k
Шифром кривых является значение магнитной
æ
. Анализ кривых рис. 3.1 позволяет сделать сле-
дующий важный вывод. Существует такое значение параметра
r
для катушки, заполнение которой
k
, а высота составляет 0,4 диаметра
2
r
k
при котором поле токов проводимости не влияет на индуктивное и активное сопротивление. Предельную частоту, при которой поле токов
,
3.4. Оценка влияния электродинамических параметров на импеданс 129
L
R
0
0
проводимости не ощущается при измерении магнитной восприимчивости в диапазоне 1 100 ед. CGSM,
можно определить из уравнения
22
0,1.
r
k
(3.21)
10
10
вн
L
0
–2
–3
10
10
вн
L
–1
–2
1,0=
0
1
4= 0,
1
13 10
4
956
13 10
4
956
1,0 1
r
2
10
95,69,56
–4
10
1
–3
–2
10
–1
Рис. 3.1. Зависимость компонент импеданса от параметра
2
r
при различных
k
Например, для сред с проводимостью не более 100
(3,5 см)
датчика радиусом не более 3,5 см
r
k
æ
(Ом м)
предельно допустимая
1
и
частота питающего катушку тока не должна превышать 50 кГц. Если
же магнитная восприимчивость образцов превышает 1000 ед. CGSM,
то пороговая частота может быть определена из уравнения
22
1.
r
k
(3.22)
Для предыдущего примера величина пороговой частоты при условии (3.22) будет на порядок выше. Таким образом, проходные датчики
обладают высокой чувствительностью к малым значениям магнитной
восприимчивости сердечника-образца. Это позволяет использовать
достаточно высокие частоты для индукционных измерений магнитной
восприимчивости слабомагнитных сред в проходных датчиках.
130 Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОХОДНЫХ ДАТЧИКОВ
L
k
0
,010
При измерении сильномагнитных сред, магнитная восприимчивость которых изменяется от 50 000 ед.
2
значения параметра
r
могут быть выше. На рис. 3.2 показаны
k
CGSM
и более, пороговые
кривые зависимости вносимых сопротивлений от величины параметра
2
r
для датчика, высота которого составляет 0,2 диаметра. Анализ
k
рис. 3.2 показывает, что при измерении сильномагнитных сред пороговое значение параметра может быть ограничено следующей величиной:
22
1, 0
r
k
. (3.23)
Если измерять амплитуду ЭДС, то пороговая частота может быть
определена также из уравнения (3.23). Расчеты показывают, что уравнения, определяющие пороговые частоты, верны при любых величинах параметров
12
kk
Тот факт, что поле токов
/ и /2 .
br h r
проводимости в достаточно широком диапазоне частот не влияет на
измерение магнитной восприимчивости, дает возможность построить
приближенную теорию измерения магнитной восприимчивости сред в
проходных датчиках.
R
вн
10,0
L
вн
L
0
10
0
–1
1
2= 0,
2
1,0=
1,2
6
4
2
10
13
13
10
1,0
0,1
–2
10
–3
10
–1
1
1,2
1
6
4
2
2
r
Рис. 3.2. Зависимость компонент импеданса
2
от параметра
r
. Шифр кривых
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]