Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет индукционных датчиков. Монография
.pdf
1.4. Электромагнитное поле кольца и катушки 21
E
Вторичное поле, симметричное относительно радиуса кольца:
Ir
вт
HeeJrJrd
rk
вт
HeeJrJrd
zk
вт
k
0
2
Ir
0
k
2
iIr
0
2
zz
0
2
0
k
0
zz
zz
eeJrJrd
()( ) ,
11
()( ) ,
01
011
()( ) .
(1.39)
k
Вторичное поле внутри маловитковой плотно намотанной катушки
индуктивности:
2
вт
HIrKrIrKr
rkk
Irn
k
0
sin sin ,
() ( ) () ( )
11 11
0
h
zd
2
2
вт
HIrKrIrKr
zkk
Irn
0
k
01 01
0
( ) ( ) ( ) ( )
h
sin cos , ,
вт
EIrKrIrKr
k
0
sin cos .
2
iIrn
zd r r
2
1
() ( ) () ( )
11 011
0
h
zd
2
k
kk
(1.40)
22 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
Вторичное поле вне катушки индуктивности:
2
вт
HIrKrIrKr
rkk
Irn
k
0
sin sin ,
()() ()()
11 11
0
h
zd
2
2
вт
HIrKrIrKr
zkk
iIrn
вт
EIrKrIrKr
Irn
sin cos , ,
k
0
()() ()()
10 10
0
h
zd r r
2
2
sin cos .
1
k
0
11 011
0
h
zd
()() ()()
kk
k
(1.41)
2
Вторичное электромагнитное поле, симметричное относительно радиуса катушки:
n
вт
HIr ee ee
rk
0
(1 ) (1 )
2
0
zz
hh
()( ) ,
JrJrd
11
вт
HIr ee ee
zk
вт
EiIr ee ee
n
0
2
0
()( ) ,
JrJrd
01
n
k
00
2
()
JrJ
11
k
2
(1 ) (1 )
2
k
0
(1 ) (1 )
2
().
rd
k
zz
hh
zz
hh
1
(1.42)
1.5. ЭДС индукции в кольце и катушке индуктивности 23
Легко показать, что интегралы полученных формул не выражаются в элементарных функциях, поэтому расчет поля можно производить только на компьютере. Ниже будут указаны способы приближенного вычисления ЭДС и импеданса датчика, тем не менее точные
расчеты сопряжены с вычислениями интегралов на компьютере. Методы расчета интегралов разработаны нами и будут
обсуждены в от-
дельном разделе.
1.5. ЭДС ИНДУКЦИИ В КОЛЬЦЕ
И КАТУШКЕ ИНДУКТИВНОСТИ
Расчет электродвижущей силы в кольце или катушке можно выполнить двумя различными способами. Первый опирается на вычисление магнитного потока через охватываемую кольцом поверхность и дает точный результат тогда, когда поле внутри кольца
близко к однородному. Для вычисления магнитного потока используется
H
-компонента магнитного поля. Этот способ применим
z
только для оценки влияния конечных размеров образца. Другой, более универсальный, способ состоит в вычислении циркуляции электрического поля вдоль кольца. В этом случае учитывается неоднородность поля внутри кольца, поэтому он более точен. Для вычисления ЭДС в катушке индуктивности необходимо вычислять циркуляцию вектора электрического поля вдоль всех витков катушки.
При вычислении ЭДС возникает два случая. В первом вычисляется
фактически ЭДС самоиндукции на том же генераторном кольце, в
котором течет задающий поле ток. Этот способ применяется затем
для исследования импеданса, т. е. активного и реактивного сопротивления индукционных датчиков.
Второй случай состоит в
том, что ЭДС индукции вычисляется на
приемном датчике, расположенном соосно генераторному датчику.
Этот способ распространен в задачах, исследующих параметры так
называемых фокусирующих поле датчиков, которые состоят из нескольких соосно расположенных приемных и генераторных катушек
индуктивности. Таким образом, для вычисления ЭДС самоиндукции в
24 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
кольце достаточно вычислить циркуляцию электрического поля на том
же самом кольце. Это дает:
2
2()(),
iIrIrKrd
Э
Э
kk k
01 1
0
iIr Jrd
22
kk
01
0
().
(1.43)
ЭДС самоиндукции в кольце от вторичного поля будет выглядеть следующим образом:
вт 2
Э
вт 22
Э
2()()()(),
iI r I r Kr Ir K r d
iI r J rd
kkk kk
011011
0
001
kk
0
().
(1.44)
ЭДС индукции в соосном с генераторным измерительном кольце вычисляется таким образом. Если измерительное кольцо имеем радиус
меньше генераторного, то:
2()()cos,
iIrrIrKr zd
Э
и 0 и 1 и 10
i Irr Jr Jr e d
Э
и 0 и 1 и 1
z
Здесь
В том случае, когда
– расстояние от генераторного до измерительного кольца.
0
rr
iIrrIrKr zd
Э
и 0 и 11и 0
kk
0
kk
, ЭДС индукции выглядит так:
и k
2()()cos.
kk
()() .
0
0
(1.45)
z
0
(1.46)
1.5. ЭДС индукции в кольце и катушке индуктивности 25
Вторая формула симметрична относительно радиуса кольца, поэтому
она совпадает с (1.45). Чтобы вычислить вторичную ЭДС в измерительном кольце достаточно воспользоваться выражениями (1.37),
(1.38) и (1.39):
вт
Э
и 0 и 1 и 1
2 [()()
iIrr IrKr
kk
0
()()]cos , ,
вт
Э
и 0 и 11и
Ir Kr zd r r
01 и 10и
2 [()()
iIrr IrKr
kk
()()]cos , .
Ir Kr zd r r
kk
01 1 и 0 и
kk
0
(1.47)
ЭДС вторичного поля, симметричная относительно радиуса кольца,
выглядит следующим образом:
вт
iIrr Jr J rd
Э
и 0 и 1 и 1
kk
0
zz
00
ee
0
()().
(1.48)
При измерении поля маловитковой плотно намотанной катушкой
ЭДС самоиндукции на той же катушке вычисляется интегрированием
циркуляции вдоль всех витков катушки:
/2
h
2(, ).
rn E r zdz
Э
krr
h
/2
(1.49)
k
Подставляя в (1.49) электрическое поле, получаем:
1
h
iIrnIrKr d
Э
22 2
8 ( ) ( )sin ,
kkk
011
0
2
2
(1.50)
или
iIrn e Jrd
Э
222
kk
01
(1 ) ( ) .
3
0
h
(1.51)
26 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
Пользуясь выражениями (1.50) и (1.51), можно записать формулы для
вычисления ЭДС вторичного поля:
вт 22
iIrn Ir Kr
Э
вт 22 2 2
Э
8 [()()
kkk
011
Ir Kr d
()()]sin ,
01 1
iIrn e J rd
01
1
2
0
h
kk
kk
0
2
0
32
2
h
(1 ) ( ) .
(1.52)
Чтобы вычислить ЭДС в разнесенной на некоторое расстояние соосной
с генераторной измерительной катушке индуктивности, достаточно
проинтегрировать электрическое поле генераторной катушки по всем
виткам измерительной:
1
2
8()()
iIrnr Ir Kr
Э
и 0 и 1 и 1
kk
2
0
h
2
Здесь
sin cos , ,
8()()
iIrnr Ir Kr
Э
и 0 и 11и
z
– расстояние между центрами катушек индуктивности. ЭДС
0
kk
2
sin cos , .
zd r r
2
2
h
2
0 и
1
2
0
zd r r
0 и
k
(1.53)
k
индукции, симметричную относительно радиуса кольца, можно получить аналогично:
iIrn e JrJred
Э
и 01и 1
22
kk
(1 ) ( ) ( ) ,
3
0
h
z
0
(1.54)
1.6. Индуктивность датчика конечных размеров 27
z
где
– расстояние между основаниями катушек индуктивности. ЭДС
0
вторичного поля в разнесенных катушках индуктивности можно получить, используя формулы (1.53) и (1.54):
вт 2
Э
и 0 и 1 и 1
8[()()
Э
8[()()
iIrrn Ir Kr
вт 2
и 0 и 11и
kk
()()]sin cos , <,
Ir Kr zd r r
01 и 10и
i I rrn I r K r
kk
()()]sin cos , ,
Ir Kr zd r r
01 1 и 0 И
вт 2
Э
iIrrn
и 0 и
k
0
(1 )
2
1
2
0
h
kk
2
2
1
2
0
h
kk
0
2
h
e
2
2
(1 )
3
()() .
Jr J re d
1 и 1
2
h
e
z
0
k
(1.55)
Полученные формулы позволяют освоить методы расчета ЭДС колец и
катушек индуктивности в однородной изотропной среде. Напомним,
что все формулы получены здесь для бесконечно тонкого провода
намотки. Такая идеализация очень подходит при измерении разнесенными датчиками. В следующем разделе будут найдены методы учета
конечной толщины провода намотки.
1.6. ИНДУКТИВНОСТЬ ДАТЧИКА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Пренебрежение конечными размерами провода намотки в индукционных датчиках не всегда оправданно. Поэтому необходимо разработать способ учета конечной толщины провода намотки. В связи с
этим возникает несколько проблем. Одна из них – существование
внутренней индуктивности датчика конечных размеров. Пренебрежение внутренней индуктивностью возможно, так как на повышенных
частотах, которые приходится применять
для возбуждения магнитного
28 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
поля индукционными датчиками, существенную роль начинает играть
скин-эффект. В результате его действия токи в проводе текут в основном по поверхности проводника, поэтому пренебрежение полем внутри провода намотки оправданно. Если окажется, что полем внутри
провода намотки пренебречь нельзя, можно вычислить внешнюю индуктивность, для которой применимы все формулы, не
учитывающие
магнитное поле внутри провода. Кроме того, есть еще один фактор,
существенно влияющий на методику расчета импеданса и ЭДС индукционного датчика конечных размеров. Речь идет об эффекте «близости», заключающемся в том, что токи, протекающие в противоположных направлениях и близко расположенные друг к другу, притягиваются. В кольцах
и катушках индуктивности малых размеров это приводит к тому, что распределение тока по поверхности проводника становится неравномерным. Токи как бы стягиваются во внутреннюю
часть поверхности провода и текут по внутреннему контуру датчика.
Исследование этого эффекта [6] показало, что эффектом близости
вполне можно пренебречь, если выполняется следующее соотношение
между радиусом провода
намотки a и радиусом датчика
r
:
k
a
r
k
. (1.56)
0,1
Из формулы (1.56) следует, что проводом толщиной 1 мм допустимо
намотать датчик не менее односантиметрового диаметра. Таким образом, если пренебречь эффектом близости и внутренней индуктив-
ностью датчика конечных размеров,
то его индуктивность можно определить как взаимную индуктивность двух контуров радиусами
()
ra
и
(рис. 1.2). Согласно полу-
k
r
k
ченным в предыдущем разделе фор-
Рис. 1.2. Виток с током конечных
размеров в однородной среде
мулам ЭДС в воздухе кольца конечных размеров можно вычислить
следующим образом:
r
Э
2( ) (( )) ( ) .
iraIIraKrd
kkk
001 1
k
0
(1.57)
1.6. Индуктивность датчика конечных размеров 29
x
Разделив ЭДС (1.57) на амплитуду и частоту тока, а также произведя
()
ra
замену переменных по правилу
k
, получим формулу для
расчета индуктивности кольца в воздухе:
где
LrIxK dx
2() ,
0 011
a
.
r
k
k
0
1
(1.58)
x
Расчет индукции по формуле (1.58) и по приближенной формуле
из [4]:
r
Lr
00
k
(1.59)
ln
k
a
позволил сравнить два различных метода расчета параметров индукционных датчиков. Методика расчета интеграла (1.58) будет приведена
ниже, там же будет исследована и его сходимость. Результаты расчета
для широкого диапазона параметра
a
представлены в таблице.
r
k
L
(1.58)
r
, м
k
0,005 0,0139 0,0144
0,010 0,0377 0,0376
0,015 0,0642 0,0641
0,020 0,0928 0,0928
0,025 0,1230 0,1230
0,030 0,1540 0,1540
0,035 0,1853 0,1870
0,040 0,2178 0,2200
0,045 0,2510 0,2540
0,050 0,2830 0,2880
0
интегральная
L
(1.59)
0
приближенная
30 Глава 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
Z
Z
x
Анализ таблицы показывает, что разница между индуктивностями
не превосходит 3 %. Поэтому в большом диапазоне размеров интегральная формула для расчета индуктивности работает устойчиво, учет
конечных размеров достаточно обоснован, физические предпосылки
учета конечных размеров правильны. Показанная здесь схема учета
конечной толщины провода намотки в дальнейшем будет с успехом
применяться в различных типах датчиков
.
1.7. ВНОСИМЫЙ СРЕДОЙ ИМПЕДАНС
Выше упоминалось о том, что среда, окружающая индуктивный
датчик, вносит в него вторичную ЭДС. Для компенсации ее внешний
источник должен приложить дополнительное напряжение, равное по
величине и обратное по знаку вторичной ЭДС. В этом случае будет
выполнено условие постоянства амплитуды тока в датчике
( const).I
0
Поэтому отношение вторичной ЭДС к амплитуде тока будем считать
вносимым средой сопротивлением катушки. Вычислить это сопротивление можно путем деления ЭДС вторичного поля (1.52) на амплитуду
тока:
вт 11 011
kkkkk
2
0
1
22 2
irn Ir Kr Ir Kr d
8 [()() ()()]sin ,
h
2
или (1.60)
вт 1
22 2 2
irn e J rd
kk
0
0
32
(1 ) ( ) .
h
В (1.60) введем следующие обозначения:
, ,
rxxrir
kkk
h
11
2
r
k
222 2
. (1.61)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]