Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Разработка рациональных управленческих решений. Учебное пособие
.pdf
Глава 10. Применение метода платежной матрицы
10.2. Критерии принятия решений
в условиях неопределенности (без учета вероятности)
Рассмотрим в обобщенной форме основные правила принятия решений при отсутствии информации о вероятности наступления определённых состояний внешней среды.
1. Максимаксимум (максимакс). Сначала необходимо
выявить наибольшие значения исходов по всем альтернативам
(строкам), записать в столбец и затем выбрать ту альтернативу, которая
имеет наибольший (максимальный) исход из максимальных. Этот критерий применим для оптимистичного
ЛПР, по сути отражает подход «карточного игрока», поскольку ЛПР выбирает альтернативу с наилучшим достижимым
значением исхода и не учитывает при принятии решения риск,
связанный с возможным неблагоприятным развитием состояния окружающей среды (наступлением других состояний среды, которые
не являются наилучшими).
Для расчета применяются два действия: сначала максимум
по каждой строке, затем максимум во вновь образованном
столбце:
n
m
)(maxmaxM
= .
w
ij
1
j
=
1
i
=
При этом оптимальной будет считаться альтернатива (строчка), которой соответствует значение М (максимаксимума).
Для рассматриваемого примера применение критерия максимакс будет означать следующее (табл.10).
Расчет критерия максимакс
20
25
30
40
20 25 30 40 М
140 140 140 140 140
50 175 175 175 175
–40 85 210 210 210
–220 –95 30 280
Таблица 10
280
Раздел 3. Модели и методы принятия решений
–
–
–
–
–
Таким образом, для данного примера при применении критерия максимакс оптимальной будет альтернатива А
(произ-
40
водства 40 тыс. шт. упаковок мыла в год), которая при благоприятном стечении обстоятельств принесет доход в 280 тыс.
руб. Ее выберет ЛПР, для которого неважно, что в 50
% случа-
ев результат (доход) может быть отрицательным.
2. Максиминимум (максимин, критерий Вальда). Сна-
чала выявляются минимальные значения исходов для всех
сравниваемых альтернатив (при наименее благоприятном,
пессимистическом состоянии внешней среды). Далее сравниваются полученные минимумы исходов по всем альтернативам, и выбирается максимальное значение. Альтернатива, которой соответствует данное значение, и
будет наилучшей из
числа рассматриваемых.
Это означает, что ЛПР в данной ситуации имеет малую
склонность к риску, предполагает экстремально негативное
развитие внешней среды. И даже при самом худшем сценарии
развития ЛПР стремится максимизировать доход.
Для расчета применяются два действия: сначала минимум по
каждой строке, затем максимум во вновь образованном столбце.
n
= .
m
1i
)w(minmaxW
ij
1j==
При этом оптимальной будет считаться альтернатива
(строчка), которой соответствует значение W (максимина).
Для рассматриваемого примера применение критерия максимин будет означать следующее (табл. 11)
20
25
30
40
Расчет критерия максимин
20 25 30 40 W
140 140 140 140
50 175 175 175 50
40 85 210 210
220
95 30 280
Таблица 11
140
40
220
Глава 10. Применение метода платежной матрицы
Таким образом, для данного примера при применении критерия максимин оптимальной будет альтернатива А
(произ-
20
водства 20 тыс. шт. упаковок мыла в год), которая при неблагоприятном стечении обстоятельств (самом худшем развитии
событий) принесет стабильный доход в 140 тыс. руб. Ее выберет ЛПР, для которого неважно, что для каждой из оставшихся
альтернатив возможны более выгодные результаты, он осторожен и предпочитает стабильность.
3. Критерий безразличия.
Для расчета данного критерия
необходимо определить средние значения доходов по каждой
альтернативе и затем выбрать максимальное значение дохода.
В такой ситуации ЛПР безразличен к тому, как будет развиваться ситуация во внешней среде (благоприятно или нет), он
предпочитает руководствоваться средними значениями исходов (для него состояния внешней среды равновероятны).
Для расчета
применяются два действия: сначала средняя
арифметическая по каждой строке, затем максимум во вновь
образованном столбце:
Б
=
n
max
i
=
1
m
∑
j
=
w
ij
1
m
При этом оптимальной будет считаться альтернатива
(строчка), которой соответствует значение Б (критерия безраз-
личия).
Для рассматриваемого примера применение критерия без-
различия будет означать следующее (табл. 12).
Таблица 12
143,75
20
25
30
40
Расчет критерия безразличия
20 25 30 40 Б
140 140 140 140 140
50 175 175 175
–40 85 210 210 116,25
–220 –95 30 280 –1,25
Раздел 3. Модели и методы принятия решений
Таким образом, для данного примера при применении кри-
терия безразличия оптимальной будет альтернатива А
(про-
25
изводства 25 тыс. шт. упаковок мыла в год), которая при равновероятном наступлении событий принесет максимальный
средний доход в 143,75 тыс. руб.
4. Минимаксимум (минимакс).
Предыдущие критерии выбора альтернативы предусматривали применение в качестве критерия оценки позитивного результата (таблица доходов, платежная матрица), который необходимо максимизировать.
Однако в ситуации, когда
ЛПР не склонно к риску и предпочитает осторожные решения, а также основное внимание
уделяет возможным потерям, упущенной выгоде, издержкам, в
качестве критерия используется минимакс.
Упущенная выгода имеет место, когда объем спроса (как
состояние внешней среды) имеет более высокое значение, чем
объем производства (значение альтернативы). Другими словами, можно было бы
реализовать продукции больше, чем про-
изведено.
Для расчета критерия минимакс необходимо составить
матрицу потерь, которая получается из платежной матрицы
(таблицы доходов) нахождением максимального дохода для
каждого столбца (лучшего выбора альтернативы для данного
состояния среды) и сопоставлением его с другими доходами в
столбце матрицы доходов.
Так, для рассматриваемого в данной главе
примера при состоянии среды (объеме спроса) 20 тыс. шт., максимальное значение дохода — 140 тыс. руб. Для исхода w
значение упу-
11
щенной выгоды (потерь) можно найти как 140—140 = 0, для
исхода w
упущенной выгоды (потерь) можно найти как
12
140—50 = 90 и так далее. Фактически потери или упущенная
выгода означают недополученный доход (losses — потери),
вектор потерь L — (l
):
ij
m
ij
1j
=
wwmaxl −=
.
ijij
Глава 10. Применение метода платежной матрицы
Матрица потерь будет выглядеть следующим образом
(табл. 13).
Таблица 13
Матрица потерь (упущенной выгоды, недополученного дохода)
20
25
30
40
20 25 30 40
0 35 70 140
90 0 35 105
180 90 0 105
360 270 180 0
Для максимальных значений исходов в столбце платежной матрицы при переходе к расчету потерь значения возможных потерь равны нулю (в случае равного числа альтернатив и состояний среды они находятся на диагонали матрицы). Это означает, что при наступлении первого состояния и
выборе первой альтернативы возможности используются в
максимальной
мере.
Завершающим этапом оценки альтернатив по критерию
минимакса (минимума из максимально возможной упущенной
выгоды) является определение максимального значения для
каждой из сравниваемых альтернатив (ожидание самого худшего) и выбор из этих значений минимума.
Для расчета применяются два действия: сначала максимум
по каждой строке, затем минимум во вновь образованном
столбце:
n
m
)(maxminMM
= .
l
ij
1
=
j
1
=
i
При этом оптимальной будет считаться альтернатива
(строчка), которой соответствует значение MM (минимакса).
Для рассматриваемого примера применение критерия минимаксимума будет означать следующее (табл. 14).
Раздел 3. Модели и методы принятия решений
Таблица 14
Расчет критерия минимакс
20
25
30
40
20 25 30 40 ММ
0 35 70 140 140
90 0 35 105
180 90 0 105 180
360 270 180 0 360
105
Таким образом, для данного примера при применении критерия минимакс оптимальной будет альтернатива А
(произ-
25
водство 25 тыс. шт. упаковок мыла в год), которая при неблагоприятном развитии событий принесет минимальную упущенную выгоду в 105 тыс. руб.
Во всех рассмотренных случаях не учитываются вероятности наступления определённого состояния внешней среды, и
ЛПР использует только один вариант состояния внешней среды для каждой альтернативы при принятии
решения.
10.3. Критерии принятия решений
в условиях риска (с учетом вероятности)
Для рассмотрения возможных критериев выбора альтернатив в условиях риска, когда известны значения вероятностей
наступления состояний внешней среды, можно говорить о нескольких наиболее известных критериях.
1. Правило максимальной вероятности — максимизация
наиболее вероятных доходов.
Воспользуемся уже рассмотренной ситуацией (п. 10.1 и
10.2), в которой были определены
возможные вероятности на-
ступления состояний внешней среды (спроса). В принципе для
компании такие значения можно получить на основе данных
прошлого периода (аналогичных операций, позволяющих
предположить возможное поведение рынка в будущем) и по
результатам маркетинговых исследований (на основе экспертных оценок).
Глава 10. Применение метода платежной матрицы
Итак, для компании «Миранда», которая производит продукцию бытовой химии стали известны значения вероятности
спроса на мыло в наступающем году: объем спроса составит
20 тыс. шт. с вероятностью 0,1 (10
стью 0,3 (30
%), 30 тыс. шт. с вероятностью 0,4 (40 %) и 40
тыс. шт. с вероятностью 0,2 (20
%), 25 тыс. шт. с вероятно-
%).
В соответствии с правилом максимальной вероятности
можно ограничиться рассмотрением только одного состояния
среды, которое является наиболее вероятным (у которого вероятность больше). В данной ситуации 40
% — это макси-
мальная вероятность, следовательно, можно рассчитать исходы только для состояния среды с объемом спроса в 30 тыс. шт.
Та альтернатива, которая принесет наибольший доход, может
считаться оптимальной (табл. 15).
Таблица 15
Применение критерия максимизации вероятности
20
25
30
40
20
(0,1)
140 140
50 175
–40 85
–220 –95
25
(0,3)
30
(0,4)
140 140
175 175
210
30 280
40
(0,2)
210
Для данной компании оптимальной является альтернатива
производства 30 тыс. шт., которая при наиболее вероятном
состоянии среды принесет компании доход в 210 тыс. руб.
2. Оптимизация математического ожидания (крите-
рий Байеса, ожидаемый доход или ожидаемые потери).
Данный критерий является наиболее распространенным способом использования вероятностей при принятии решений.
Математическое ожидание рассчитывается для каждой
альтернативы (строки матрицы доходов или потерь). Для ЛПР
важно максимизировать ожидаемый доход (или минимизировать ожидаемые потери).
Раздел 3. Модели и методы принятия решений
Математическое ожидание распределения исходов рассчитывается как сумма произведений вероятностей наступления состояний внешней среды на значение исхода (доход или
потери). Данный показатель имеет различные наименования в
учебной и научной литературе по математическому моделированию в менеджменте — EV (expected value — ожидаемая
ценность), С
и другие:
ож
m
=
wpEV ,
∑
ijji
=
1j
где EVi — ожидаемая ценность (в данном случае — ожидаемая прибыль, доход) для i-й альтернативы, i = 1
÷n; n — число
альтернатив;
p
— вероятность наступления j-го состояния внешней среды,
j
÷m; m — число возможных состояний внешней среды;
j = 1
— значение исхода (дохода), получаемого при выборе i-й
w
ij
альтернативы и наступлений j-го состояния внешней среды.
Для примера рассмотрим расчет EV
для альтернативы А
4
производство 40 тыс. шт.: EV4 = 0,1 · (–220) + 0,3 · (–95) + 0,4 ×
× 30+ 0,2 · 280 = 17,5.
Выполнив расчёты, получим следующие значения ожидаемой ценности для сравниваемых альтернатив (табл. 16)
Таблица 16
Расчет критерия математического ожидания
(Байеса, ожидаемого дохода)
20
25
30
40
20
(0,1)
25
(0,3)
30
(0,4)
40
(0,2)
EV
140 140 140 140 140
50 175 175 175
162,5
–40 85 210 210 147,5
–220 –95 30 280 17,5
4
Глава 10. Применение метода платежной матрицы
Максимальное значение ожидаемого дохода достигается
при выборе второй альтернативы А
(производство 25 тыс. шт.
2
упаковок мыла в год), которая с учетом значений вероятности
принесет ожидаемый доход в 162,5 тыс. руб.
Для минимизации ожидаемых возможных потерь необходимо произвести аналогичную последовательность действий
для таблицы возможных потерь (см. табл. 13). ЛПР выбирает
альтернативу, ведущую к наименьшим ожидаемым потерям
(EL — expected losses). Расчеты приведены в таблице 17.
Таблица 17
Расчет критерия ожидаемых потерь
20
25
30
40
20
(0,1)
0 35 70 140 66.5
90 0 35 105
180 90 0 105 59
360 270 180 0 189
25
(0,3)
30
(0,4)
40
(0,2)
EL
44
При применении критерия ожидаемых потерь оптимальной
может считаться альтернатива А
(производство 25 тыс. шт.
2
упаковок мыла в год), которая с учетом значений вероятности
принесет минимальные ожидаемые потери в 44 тыс. руб.
Следующим важным этапом расчетов ЛПР по выбору оптимальной альтернативы является анализ чувствительности,
который заключается в оценке вероятности изменения решения, выбора альтернативы в зависимости от различных факторов. Часто для
компании актуальный вопрос — это определение того, насколько изменение распределения вероятностей
событий внешней среды окажет влияние на выбор альтернатив, окажется ли в новой ситуации оптимальной альтернатива,
выбранная в соответствии с другими критериями, и т.
д.
Для подобных расчетов можно использовать случайные
распределения вероятностей, моделировать различные ситуации с использованием прикладных программных продуктов
Раздел 3. Модели и методы принятия решений
или воспользоваться уже проведенными расчетами, чтобы
сравнить имеющиеся данные о вероятности и среднее распределение вероятности (критерий безразличия). Лицу, принимающему решения, важно, меняется или нет оптимальная альтернатива при переходе к предположению о равновероятностном состоянии внешней среды. Это можно определить, сравнив уже сделанный выбор с применением ожидаемого дохода
и критерия безразличия (табл. 18).
Таблица 18
Определение чувствительности выбора
оптимальной альтернативы
20
25
30
40
20
(0,1)
140 140 140 140 140 140
50 175 175 175
–40 85 210 210 147,5 116,25
–220 –95 30 280 17,5 –1,25
25
(0,3)
30
(0,4)
40
(0,2)
EV Б
162,5
143,75
Согласно данным рассматриваемой ситуации в компании
«Миранда» решение является нечувствительным, поскольку
оптимальная альтернатива (строка) не меняется при изменении значений вероятности.
Для снижения степени неопределенности при принятии
решений можно рассмотреть возможность сбора дополнительной информации, которая ограничена финансовыми соображениями целесообразности. Для ЛПР необходимо рассчитать
стоимость достоверной информации (VI — value of
information), то
есть максимальную сумму денег, которую
стоит заплатить за ее получение (за проведение маркетингового исследования и т.
п.).
Если заранее известно, какое из состояний внешней среды
может наступить, то можно принять решение, ведущее к максимальному доходу. Для каждого состояния среды в платеж-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]