Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы эргодинамики и синергетики деформируемых тел. Ч.I. Основы физической механики деформируемых тел (состояние проблемы). Монография.pdf
51
aa
v a J
ρ
=
0
, (2.21)
a
v
0
a
J
0
a
J
A
a
ϕ
A
∫ ∫
∫
+=
V S V
aa
dVSdJdV
t
a
0 0
00
0
0
ϕ
∂
∂ρ
dS dS n
0 0
=
0
dS
∫∫
=
00
V
0
a0
S
0
a
dVdivJS dJ
∫
=
−+
∂
0
0
0
0
V
aa
dVdivJ
dt
a
ϕ
ρ
t
a
ρ
∂
A
V
v
,x,x,x
321
∫ ∫ ∫
+−=
V S V
aa
dVSdJdV
dt
da
ϕρ
aa
Jdiv
dt
da
ϕρ
+−=
a
J
где
Плотность потока
– скорость переноса величины A.
определяется как количество полевой величины A,
проходящей через единицу площади поверхности в единицу времени, причем
положение площадки фиксировано во внешней системе координат и локальная
плотность потока
направлена нормально к ней.
Обозначая плотность внутреннего источника (стока) полевой величины
через
и используя основные положения теории поля 1 и 2, получают сле-
дующую интегральную (глобальную) форму локального уравнения баланса полевой величины
, (2.22)
равна
здесь –
, а направление определяется внешней нормалью n.
– векторный элемент поверхности, величина которого
Преобразуя поверхностный интеграл в правой части (2.22) по теореме
Гаусса в объемный
,
уравнение (2.22) записывают в виде
. (2.23)
На основании основного свойства сплошных сред – независимости их
свойств от размера внешней области, последнее равенство должно выполняться
для любого объема. Поэтому из (2.23) следует уравнение
0
J v i d
∂
a
, (2.24)
ϕ
=+
a
которое называют локальной формой дифференциального уравнения баланса
для полевой величины
Если выбранный элемент объема
скоростью
относительно системы координат
.
материальной системы движется со
фиксированной в про-
странстве, то используют субстанциональные уравнения баланса в интегральной (глобальной)
(2.25)
или в дифференциальной форме
здесь субстанциональная плотность потока
ется уравнением
, (2.26)
полевой величины A определя-
52
( )
vva v a JJ
aaa
−=−
=
ρρ
0
, (2.27)
v a
ρ
A
dt
a
dt
da
ρ
∂
a
a
...aaa ++=
21
a
J
a
ϕ
...JJJ
a
aa
++=
21
...
aaa
++=
21
ϕϕϕ
dW
dQ
dU
ua ≡
uu
divJ
t
u
ϕ
ρ
=+
∂
∂
0
dt
du
uvJJ
uu
ρ
+=
0
uv
ρ
dqddu +=
ω
где
– конвективный поток полевой величины A.
Связь между субстанциональным и локальным изменением полевой величины
определяется соотношением
ρ
=
. (2.28)
av div
ρ
+
Уравнение баланса полевой величины (2.22) и (2.24) представляют собой
при определенных условиях и законы сохранения полевой величины
. В тех
случаях, когда возникает вопрос о сохранении некоторой интегральной величины
, представляющей сумму нескольких слагаемых (компонент)
, (2.29)
необходимо точно указать условия изоляции, определяющие модель системы, с
другой стороны, чтобы ясно и корректно сформулировать законы сохранения,
необходимо плотность потока
и интенсивность внутренних источников
интегральной величины также разделить на составляющие (компоненты)
(2.30)
и
. (2.31)
2.6 Локальные формы законов термодинамики
Согласно основному закону термодинамики, если над системой производится работа
средой
, то изменение внутренней энергии
и одновременно осуществляется теплообмен с окружающей
определяется уравнением
(2.2), которое является формулировкой первого закона термодинамики или
элементарного изменения состояния системы.
Как следует из предыдущего параграфа, из общих уравнений баланса
(2.24) и (2.26) путем замены
сразу же получаются дифференциальные
уравнения баланса для удельной внутренней энергии в локальной форме
(2.32)
или субстанциональной форме
divJ
, (2.33)
ϕρ
=+
uu
здесь
, (2.34)
где
– конвективный поток внутренней энергии.
Для того чтобы дифференциальные уравнения (2.32) и (2.33) представляли собой закон сохранения энергии в локальной или субстанциональной форме, они должны быть совместными с уравнением
, (2.35)
53
которое подобно общему уравнению первого начала термодинамики (2.2), но
dt
dq
dt
d
dt
du
ω
( )
===
+−=−=
∑
n
i
iu
uu
.
dt
dx
X
dt
d
, uvJdivdivJ
dt
dq
1
0
ρω
ω
ρϕ
ρρ
du
e
du
Т
du
÷
u
J
u
ϕ
+=
+=
+=
,
,JJJ
,dududu
quu
uuu
T
T
ϕϕϕ
θ
θ
θ
θ
ϕ
u
θ
u
J
ϕ
Ò
u
J
dt
du
dt
du
dt
du
T
+=
θ
u
Θ
θθ
ϕ
ρ
θ
uu
divJ
t
u
=+
∂
∂
0
θθ
ϕρ
θ
uu
divJ
dt
du
=+
относится к удельным величинам. Из уравнения (2.35) следует
. (2.36)
+=
Из совместного рассмотрения (2.33) и (2.34) с учетом (2.12) следует
(2.37)
Таким образом, дифференциальные уравнения баланса внутренней энергии (2.33) и (2.36) при условиях (2.37) являются также законом сохранения
энергии в локальной и субстанциональной форме.
Следует, однако, отметить, что использование дифференциальных уравнений баланса внутренней энергии (2.33) и (2.36) для решения некоторых задач
в открытых системах не всегда корректно. Дело в том, что с точки зрения статистической физики изменение внутренней энергии макроскопического тела
является суммой изменения двух составляющих: потенциальной
и ки-
нетической (тепловой)
с (2.29)
(2.31) интегральные величиныdu,
(2.3) [64, 65 и др.]. Следовательно, в соответствии
,
целесообразно представить
как составляющие двух компонентов
(2.38)
где
,
– плотность источников и потоки скрытой энергии;
,
q
– плотность источников и потоки тепловой составляющей внутренней энергии
соответственно.
Как следует из опыта, коэффициенты переноса и граничные условия для
потоков тепловой и потенциальной составляющих внутренней энергии могут
быть существенно различными. Поэтому решение дифференциальных уравнений (2.33) и (2.36) целесообразно представить как сумму двух решений
, (2.39)
одно из которых относится к потенциальной составляющей внутренней энергии
и диффузионным потокам
(2.40)
или
, (2.41)
здесь
54
vuJJ
uu
θθ
ρ
θ
+=
0
, (2.42)
T
u
t
u
ρ
∂
t d
du
vuJJ
T
TT
uu
ρ
+=
0
Sa ≡
SS
divJ
t
S
ϕ
ρ
=+
∂
∂
0
SS
divJ
dt
dS
ϕρ
=+
v S JJ
SS
ρ
+=
0
0≥
S
ϕ
Sv
ρ
( )
0=
S
ϕ
( )
0>
S
ϕ
dt
dS
dt
dS
dt
dS
S
divJ
dt
dS
e
−=
ρ
а второе – к тепловой составляющей
и тепловым потокам
divJ
0
ϕ
=+
T
qu
T
∂
(2.43)
или
T
divJ
T
, (2.44)
ϕρ
=+
qu
здесь
. (2.45)
В термодинамике необратимых процессов центральная роль отводится
уравнению баланса энтропии. Хотя, формально, это уравнение не входит в число необходимых уравнений, описывающих термодинамическую систему, основные феноменологические соотношения (законы) получают лишь с его помощью. Кроме того, скорость изменения энтропии системы сама по себе рассматривается как важнейшая характеристика физических процессов.
Уравнение баланса энтропии нетрудно получить из общих уравнений баланса (2.24) и (2.26). Если в уравнениях (2.24) и (2.26) положить
, то по-
лучим дифференциальные уравнения баланса энтропии в локальной форме
(2.46)
и субстанциональной форме
. (2.47)
Здесь
, (2.48)
,
где
– конвективный поток энтропии.
Представленные выше уравнения баланса энтропии (2.46) и (2.47) являются локальными эквивалентами глобального уравнения баланса (2.4) и представляют собой математические выражения второго закона термодинамики в
локальной (2.46) и субстанциональной (2.47) форме, справедливые как для обратимых
, так и необратимых
процессов. Из уравнения (2.4)
следует выражение
ie
+=
, (2.50)
которое должно быть совместимым с уравнением баланса энтропии (2.47). Из
совместного их рассмотрения следует
, (2.51)
55
dt
dS
i
÷
dS
S
J
S
ϕ
T
dSdSdS +=
θ
T
SS
S
JJJ +=
θ
T
SS
S
ϕϕϕ
θ
+=
θ
dS
θ
S
J
θ
ϕ
S
T
dS
T
S
J
T
S
ϕ
dt
dS
dt
dS
dt
dS
T
+=
θ
t
dt
vS JJ
SS
θ
ρ
θθ
+=
0
ϕρ
. (2.52)
0≥=
S
Формулы (2.4), (2.5), (2.6) и (2.9), выражающие теорему КарноКлаузиуса, применимы для замкнутых систем, которые могут обмениваться с
окружающей средой только тепловой энергией [60]. Для открытых систем, которые могут обмениваться с окружающей средой веществом (атомами, молекулами), необходимо, чтобы в (2.4) и (2.5) содержались члены (слагаемые), связанные также с диффузионными потоками.
Для деформируемого элемента твердого тела они связаны с зарождением,
взаимодействием и перемещением (миграцией) элементарных дефектов (вакансий, атомов внедрения и замещения, дислокаций и др.). Поэтому, в соответствии с основными положениями классической теории поля (см., например,
(2.29)
тока
(2.31)), полное изменение энтропии системы
и интенсивности внутренних источников
, также плотности по-
и их составляющие, необ-
ходимо представить как суммы слагаемых (компонент)
, (2.53)
, (2.54)
. (2.55)
где
,
,
– изменение плотности, потока плотности и интенсив-
ности источников энтропии соответственно, связанных с зарождением, взаимодействием и диффузией элементарных дефектов (атомов);
,
–
,
изменение плотности, плотности потока, интенсивность источников энтропии
соответственно, связанных с аннигиляцией и уничтожением элементарных дефектов на стоках (трансформация потенциальной энергии взаимодействия атомов в тепловую) и потоками тепловой энергии.
В соответствии с этим, решение дифференциальных уравнений баланса
энтропии (2.46) и (2.47) следует представить как сумму решений двух уравнений
, (2.56)
одно из которых относится к диффузионной составляющей энтропии
θ
ρ
S
∂
∂
divJ
0
=+
, (2.57)
ϕ
θθ
SS
или
θ
dS
divJ
=+
. (2.58)
ϕρ
θθ
SS
Здесь
, (2.59)
а второе – к тепловым потокам
56
T
S
T
S
T
divJ
t
S
ϕ
ρ
=+
∂
∂
0
(2.60)
dt
vS JJ
T
T
S
T
S
ρ
+=
0
+=
+=
+=
,
,JJJ
,
t
S
t
S
t
S
T
T
SS
S
T
SS
S
ϕϕϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
θ
θ
θ
000
===
===
⋅=⋅=⋅=
.TJ ,T ,T
,TJJ ,TJJ ,TJJ
,
t
u
Tt
S
,
t
u
Tt
S
,
t
u
Tt
S
q
S
u
S
uS
u
u
u
T
T
T
S
S
S
T
T
ϕϕϕϕϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
θ
θ
θθ
θ
θ
00000
111
a
J
a
ϕ
a
∑
=
n
ii
XLJ
1
κκ
n,...,,i 21=
или
T
dS
divJ
=+
T
S
. (2.61)
ϕρ
T
S
Здесь
. (2.62)
Необходимость подобного разделения компонентов дифференциальных
уравнений баланса энтропии (2.46) и (2.47) на составляющие обусловлена, как
отмечено выше, тем, что коэффициенты переноса и граничные условия для
тепловых и диффузионных потоков существенно различаются.
Между параметрами дифференциальных уравнений баланса внутренней
энергии (2.32)-(2.45) и баланса энтропии (2.46)-(2.62) существует взаимная
связь. Разделив правую и левую часть уравнений (2.38) и (2.39) на абсолютную
температуру Т получим
(2.63)
здесь
(2.64)
2.7 Феноменологические уравнения
Уравнения баланса и сохранения различных полевых величин (массы,
количества движения, энергии, энтропии и др.) недостаточно для полного описания различных необратимых процессов, так как еще неизвестны выражения
для плотности потоков
личных полевых величин
и интенсивности (плотности) источников
. При использовании только этих уравнений число
раз-
искомых переменных превышает число уравнений и математически задача некорректна. В качестве недостающих уравнений в термодинамике необратимых
процессов используются так называемые феноменологические уравнения Онзагера [66],
,
, (2.65)
57
которые в линейном приближении выражают наиболее общую связь между не-
J
X
κ
i
L
LLκκ=
J
Ò
u
J
T
u gradDu gradDJ
Tu
θθθ
θ
−−=
TTT
T
u gradDu gradDJ
u
−−=
θ
θ
θ
D
D
θθ
TT
D,D
θθ
TT
DD =
D
θ
u
T
u
S
J
S
J
T
SS
J ,J
θ
T
T
S
S gradDS gradDJ
θ
θ
θθ
−−=
зависимыми потоками
и термодинамическими силами
i
. Под термодина-
κ
мическими силами в теории Онзагера понимаются величины, измеряющие степень отклонения системы от ее термодинамически равновесного состояния.
Так, в случае теплопроводности, сила пропорциональна градиенту температуры, в случае электропроводности – э.д.с. источника или отрицательному градиенту поля и т.д.
Согласно выражению (2.65), каждый поток является линейной функцией
всех действующих в системе термодинамических сил, т. е. учитывается взаимное влияние различных потоков.
Величины
в равенстве (2.65) называются феноменологическими (ки-
нетическими) коэффициентами, или коэффициентами переноса, определяемыми экспериментально. Важнейшим элементом теории Онзагера является вывод
условия о равенстве перекрестных коэффициентов
, (2.65)
ii
называемом соотношением взаимности.
Для большинства реальных необратимых процессов (особенно деформационных), следует различать два взаимосвязанных потока – диффузионный
и тепловой
u
θ
. В соответствии с (2.65) имеем
, (2.67)
, (2.68)
где
(теплопроводности) составляющих внутренней энергии;
,
– коэффициенты переноса скрытой (диффузии) и тепловой
T
– перекрест-
ные коэффициенты, учитывающие взаимное влияние диффузионных и тепловых потоков.
В соответствии с соотношениями взаимности Онзагера (2.66)
. (2.69)
Учет влияния только двух потоков – теплового и диффузионного, применим также для описания локальных необратимых процессов химических реакций, в растворах, электрических, магнитных и других явлениях, так как они
обычно разделяются на экзотермические (с выделением тепла) и эндотермические (с поглощением тепла).
В линейной теории коэффициенты переноса
принимаются постоян-
ными, однако в наиболее общем случае они зависят от потоков и термодинамических сил (
и
).
Аналогичные феноменологические уравнения можно получить и для
плотности потоков энтропии
. В соответствии с (2.64) и учитывая (2.67) –
(2.68), линейные феноменологические уравнения для плотности потоков энтропии
и ее составляющих
получим в виде
, (2.70)
58
T
TT
T
S
S gradDS gradDJ −−=
θ
θ
Здесь
T
u
S
θ
θ
=
T
u
S
T
T
=
D
t a ∂∂
ρ
,J
a
0
a
ϕ
0
ϕ
a
ϕ
a
0=
a
ϕ
0>
a
ϕ
0<
a
ϕ
Sd
i
. (2.71)
,
. (2.72)
Из линейных феноменологических уравнений для потоков внутренней
энергии и ее составляющих (2.67), (2.68), а также из линейных феноменологических уравнений для потоков энтропии и ее составляющих (2.70), (2.71) следует, что и в том, и в другом случае коэффициенты переноса
адекватны.
Таким образом, разделение большого многообразия различных потоков в
реальных необратимых процессах только на два обобщенных потока – диффузионный и тепловой потоки, намного упрощает и облегчает решение разнообразных прикладных задач.
2.8 Фундаментальные проблемы термодинамики необратимых процессов
Справедливость полученных выше дифференциальных уравнений баланса внутренней энергии и энтропии и других величин нельзя проверить непосредственно. Лишь в некоторых случаях их следствия можно сравнить с экспериментом. Строго говоря, любое дифференциальное уравнение баланса есть
ничто иное, как одновременное определение величин
,
и их
взаимосвязи. Значение этих уравнений состоит в том, что по двум известным
величинам можно определить любую другую [60-62].
Рассматриваемый вопрос имеет важное значение с точки зрения формулировок законов сохранения в физике. Вопрос заключается в том – можно ли
считать величину сохраняющейся для данного континуума? Мы в состоянии
ответить только в том случае, когда
Если в локальной области плотность источника
равна нулю (
или
), можно говорить о локальном сохранении a. Если же
, то говорят о локальном возникновении или поглощении a
и
J
a
определены однозначно.
a
некоторой величины
[62]. Решение этого вопроса для таких абстрактных величин, как внутренняя
энергия и энтропия, дело не очень простое. Поэтому в работе тщательно рассмотрены вопросы, связанные с определяющим характером уравнений баланса
внутренней энергии и энтропии.
В литературе уравнения баланса для внутренней энергии и энтропии
формулируются по-разному, и иногда неверно. Это объясняется недостаточно
тщательным анализом условий, накладываемых моделью системы и необратимого процесса.
Суть проблемы заключается в следующем. В неравновесной термодинамике одна из главных задач состоит в том, чтобы связать производство энтропии
с различными необратимыми процессами [60]. Обычно полное изме-
нение энтропии представляют как сумму двух слагаемых (компонент) (2.4)
59
SdSddS
ie
+=
, (2.73)
Sd
e
Sd
i
Sd
i
0≥Sd
i
Sd
e
0=Sd
e
0≥dS
T
dq
dq
Т
T
dq
Sd
e
≥
Sd
e
dq
Sd
i
ϕ
Sd
dS
Sd
e
где
– энтропия, поступающая в систему из окружающей среды;
– энтропия, возникающая в самой системе.
Уравнение (2.73) в общем виде было сформулировано еще Клаузиусом.
Второй закон термодинамики утверждает, что величина
должна быть
равна нулю для обратимых (равновесных) процессов и положительной для необратимых процессов в системе
. (2.74)
Поступающая в систему энтропия
, напротив, может быть положи-
тельной, равной нулю или отрицательной в зависимости от рода взаимодействия системы с окружающей средой. Так, для адиабатически изолированной
системы, которая не может обмениваться с окружающей средой ни теплотой,
ни веществом,
, так что из (2.73) и (2.74) следует
. (2.75)
Это – известная форма записи второго закона термодинамики.
Для замкнутых систем, которые могут обмениваться с окружающей средой только тепловой энергией, согласно теореме Карно-Клаузиуса,
Sde= , (2.76)
где
ды (или из нее);
– тепловая энергия, поступающая к системе из окружающей сре-
– абсолютная температура, при которой эта тепловая энер-
гия воспринимается системой.
Из (2.73) и (2.74) следует для замкнутых систем
. (2.77)
Для открытых систем, которые могут обмениваться с окружающей средой, как тепловой энергией, так и веществом,
содержит также член, свя-
занный с передачей вещества. Однако формулы (2.73), (2.74) и (2.76), выражающие теорему Карно-Клаузиуса, для закрытых систем не применимы, так как
учитывают только перенос тепловой энергии
термодинамике прирост энтропии
в связи с различными необратимыми
. Поэтому в неравновесной
процессами, протекающими в системе, связывают с производством энтропии
, т. е.
S
dt
i
dV
ϕ
∫
S
V
. (2.78)
≥=
0
Таким образом, в термодинамике необратимых процессов, в соответствии с теоремой Карно-Клаузиуса, молчаливо принимается (без достаточного
обоснования), что полное изменение энтропии в необратимых процессах
складывается из внешнего (или обратимого) изменения энтропии
, связан-
60
ного с обратимым обменом теплотой dq между системой и окружающей сре-
0≥Sd
i
S
ϕ
0=
ϕ
Sd
e
e
u
T
u
u
Sd
e
Sd
i
q
eee
SdSd
Sd +=
θ
q
iii
SdSd
Sd +=
θ
θ
ϕ
θ
S
i
dt
Sd
=
θ
θ
S
Jdiv
dt
Sd
e
−=
q
dt
dt
q
q
θ
q
ii
Sd,Sd
θ
θ
ϕ
S
θ
ϕ
S
T
dududu +=
θ
дой, и положительного изменения энтропии
, (2.79)
обусловленное необратимыми процессами с плотностью источников
ри системы, которые равны нулю (
) в обратимом и равновесном процес-
внут-
се. Подобные представления о необратимых процессах развиваются не только
в ранних [60], но и поздних работах. Однако при таком подходе игнорируются
диффузионные потоки, связанные с обменом веществом в открытых системах,
которые во многих реальных процессах играют существенную роль. В открытых системах составляющая
в уравнении (2.73) должна учитывать измене-
ние энтропии, происходящие вследствие обмена веществом [61, 67]. Кроме того, во многих реальных системах при необратимых процессах их изменения,
плотность источников энтропии является интегральной величиной, отражающей совокупность различных физико-химических процессов в реальных системах. Тем более это важно, если учесть, что граничные условия и коэффициенты переноса для диффузионных и тепловых потоков могут быть существенно
различными.
В термодинамике неравновесных процессов приведенные соотношения
(2.73-(2.75), отражающие теорему Карно-Клаузиуса, справедливы в общей
форме. Они выражают тот непременный факт, что необратимость реальных
процессов связана, по меньшей мере, с двумя факторами: не только с потоками
энергии и вещества, а также с воспроизводством и трансформацией (преобразованием) потенциальной
и тепловой
составляющих внутренней энергии
. Особенно это относится к необратимым процессам деформации. Нетрудно
представить адиабатически изолированную (закрытую) систему, которая деформируется необратимо. Это связано с микроскопической неоднородностью
строения реальных сплошных сред.
В связи с вышеуказанным интегральные величины
и
в соот-
ношении (2.73) следует представить как сумму двух слагаемых (компонент)
, (2.80)
. (2.81)
Здесь
где
,
Sd
,
– энтропия, поступающая (вытекающая) в систему из
Sd,Sd
ee
e
,
−=
Jdiv
T
S
Sd
i
=
, (2.82)
ϕ
T
S
окружающей среды за счет диффузионных и тепловых потоков соответственно;
– энтропия, возникающая в самой системе за счет источников по-
тенциальной
(
и тепловой
) соответственно.
составляющих внутренней энергии