Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы эргодинамики и синергетики деформируемых тел. Ч.I. Основы физической механики деформируемых тел (состояние проблемы). Монография.pdf
21
Объемная деформация связана с нормальными напряжениями следую-
KKV
V
3
3210
0
σσσσ
∆
ε
++
===
K
( )
µ
213 −
=
E
K
===
+=
+=
+=
,G,G,G
,G
,G
,G
zxzxyzyzxyxy
zz
yy
xx
γτγτγτ
λεεσ
λεεσ
λεεσ
0
0
0
2
2
2
( )( )
µµ
µ
λ
211 −+
=
E
G
ii
G
εσ
3=
00
γτ
G=
K
0
0
σ
ε
=
( )
щим соотношением:
, (1.40)
где величина
– объемный модуль упругости,
Решая (1.37) относительно компонентов напряжений, получим выраже-
ния напряжений через деформации
где
В теории упругости
.
и λ называются постоянными Ляме.
Связь между интенсивностями напряжений и деформаций в пределах
упругости выражается зависимостью
Между октаэдрическими напряжениями и деформациями существует, со-
гласно закону Гука, следующая зависимость
. (1.44)
. (1.41)
(1.42)
. (1.43)
1.5 Зависимость между напряжениями и деформациями в упругопластической области
В теории пластичности в настоящее время наиболее простой и распро-
страненной считается теория упругопластических деформаций, в основу которой положены следующие гипотезы:
1. Объемная деформация является упругой и прямо пропорциональна
среднему (гидростатическому) напряжению
. (1.40.1)
При этом принимается, что за счет пластической деформации изменения
объема не происходит.
2. Компоненты девиатора деформаций пропорциональны компонентам
девиатора напряжений.
ψτγσσψεε
2
00
=−=−
, ,
xyxyxx
( )
( )
00
00
ψτγσσψεε
2
=−=−
ψτγσσψεε
2
=−=−
(1.45)
, ,
yzyzyy
, ,
zxzxzz
22
где ψ – некоторая постоянная величина, устанавливаемая эксперимен-
2
ψ
13
13
32
32
21
21
σσ
εε
σσ
εε
σσ
εε
−
−
=
−
−
=
−
−
3
3
2
2
1
1
τ
γ
τ
γ
τ
γ
==
( )
ii
εΦσ
=
σσ
=
i
0
εεε
−=
i
σ
3
0
σσ
=
σ
µ
εε
Ei3
21−
−=
i
σ
i
ε
i
σ
i
ε
ψ
i
i
σ
ε
ψ
⋅=
2
3
1
=
G
тально. В пределах упругости
.
В соответствии со второй гипотезой, главные угловые деформации прямо
пропорциональны главным касательным напряжениям
(1.46)
или
. (1.47)
3. Интенсивность напряжений является функцией интенсивности дефор-
маций, не зависящей от типа напряженного состояния, т. е.
. (1.48)
В соответствии с этой гипотезой, эта функция устанавливается экспери-
ментально по диаграмме деформирования в условиях одноосного растяжения.
В этих условиях
, (1.49)
, (1.50)
где
Учитывая, что при одноосном растяжении
и ε – напряжения и деформации при одноосном растяжении.
, и, используя соот-
ношения (1.40) и (1.41), получают
. (1.51)
При помощи формул (1.49) и (1.51) можно по диаграмме растяжения ма-
и
териала подсчитать величины
вания
-
.
, определяющие диаграмму деформиро-
Сформулированные гипотезы полностью определяют зависимость компонентов напряжений от компонентов деформаций (1.45), (1.49) и (1.51).
Для получения этих зависимостей в окончательной форме определяют
функцию
. В соответствии с (1.15), (1.27) и (1.45), получим
. (1.52)
В соответствии с (1.52) зависимости (1.45) принимают вид
23
( )
( )
( )
=
=
=
−=−
−=−
−=−
.
,
,
,2
,2
,2
00
00
00
zxizx
yziyz
xyixy
ziz
yiy
xix
γ∆τ
γ∆τ
γ∆τ
εε∆σσ
εε∆σσ
εε∆σσ
(1.53)
i
i
i
ε
σ
∆
3
=
i
ε
e
i
ε
p
i
ε
p
i
e
ii
εεε
+=
( )
=
−=
.2
..........................
,
0
zx
p
zx
x
p
x
τϕγ
σσϕε
i
p
i
σ
ε
ϕ
⋅=
2
3
( )
ii
εΦσ
=
( )
( )
( )
( )
+
=
−
−
=−=
−−+==
,
m
к
,
B
BA
,E
, eaba ,к
cn
2
1
1
1
1
1
ε
ε
σ
εεωσ
σεσ
σ
ε
( )
εω
f=
73,2=к
Здесь
.
В соответствии с теорией упругопластических деформаций, интенсивно-
сти полных (
), упругих (
) и пластических (
) деформаций обладают те-
ми же аддитивными свойствами, что и сами деформации, т. е.
. (1.55)
В соответствии с этим компоненты пластической деформации определя-
ются зависимостями:
(1.56)
Здесь
Обычно функцию
– функция, определяемая по диаграмме растяжения.
определяют на основании обработки экспе-
риментального материала в виде эмпирических зависимостей. Для аппроксимации обобщенных течений (деформирования) предложено много различных
выражений. Наибольшее распространение получили зависимости (см., например, обзор [43]).
(1.57)
где
нуля только за пределами упругости;
константы материала.
– некоторая безразмерная функция деформации, отличная от
; а все остальные коэффициенты –
24
Соотношения между напряжениями и деформациями в дифференциаль-
f d
f
H d
ij
p
ij
σ∂
∂
ε
=
f
( )
0,, ==
εεσΦΦ
yy
ε
( ) ( )
εϕσε
f=
( )
σ
y
f
( )
εϕ
y
( )
0,, =t
εσΦ
( )
tf
c
,
σε
=
( )
t
E
npe
τσ
σ
εεε
+=+=
( )
t
τ
( )
( )
0
tt
t−−=
α
τ
e
ной форме устанавливаются в теории пластического течения. В соответствии с
этой теорией, связь между тензорами напряжений и деформаций имеет вид
, (1.58)
где
– уравнение поверхности текучести; H– некоторая скалярная
функция напряжений и деформаций, зависящая от истории нагружения.
В общем случае соотношение (1.58) приводит к трудно разрешимым математическим задачам.
1.6 Феноменологические уравнения состояния
Феноменологические уравнения состояния предложены как результат
поиска таких аналитических зависимостей, которые бы наилучшим образом
описывали наблюдаемые в действительности соотношения между напряжениями, деформациями и их скоростями.
В механике сплошной среды предложено несколько феноменологических теорий (моделей), основными из них являются теории: упрочнения, старения и наследственности [28, 38, 44 и др.].
Согласно теории упрочнения, скорость деформации зависит от величины
действующих напряжений и от абсолютной величины уже достигнутой деформации. Соответствующая зависимость в неявном виде записывается так
(1.59)
или в виде, разрешенном относительно
Вид функций
и
подбирается так, чтобы наилучшим образом
. (1.60)
yy
описать экспериментальные данные для упрочняющегося материала принимается затухающая функция деформации.
В теории старения величина деформации рассматривается как функция
не только напряжений, но и времени, в виде
(1.61)
или в виде
, (1.62)
как, например,
, (1.63)
где
– некоторая функция времени, например,
и др.
В теории наследственности предложено считать, что протекание деформации материала в данный момент определяется предшествующим ходом де-
25
формирования и является результатом как бы «наследования» изменений
τ
( )
τε
τ∆
τ
>t
( ) ( ) ( ) ( )
∑
−−=
τ∆τετεεσ
tft Et,
( )
τ
−tf
( ) ( ) ( ) ( )
∑
−−=
iii
tftEt
τ∆τετεεσ
,
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∞−
−−=
t
dtftEt
ττετεεσ
,
( )
τ
−tf
E
( )
τ
−tf
E
ijij
A
εσ
2
1
=
ij
ε
ji ≠
ij
γ
2
1
свойств материала, вызванных историей его деформирования.
Обычно предполагают, что при наличии в прошлом многократных деформаций, их влияние на протекающую в данное время деформацию может
быть установлено простым суммированием соответствующих эффектов (принцип суперпозиции).
Если к некоторому времени
произошла деформация
, длившаяся
время
жение в момент времени
шение во времени влияние прошлой деформации.
перпозиции, получают
интегралу
ла, находят либо теоретически на основе микроструктурного анализа, либо непосредственно из опыта, подобно тому, как определяют модуль
Функцию
и затем задержанная, как это имеет место при релаксации, то напря-
будет равно
,
где
При наличии в прошлом нескольких деформаций, используя принцип су-
При непрерывном процессе деформирования следует перейти от суммы к
Это выражение называется уравнением Больцмана.
Вид функции
– монотонно убывающая функция, характеризующая умень-
.
. (1.64)
, характеризующей реологические свойства материа-
или вязкость η.
называют ядром интегрального уравнения Больцмана.
Указанные выше три модуля служат основой для дальнейшего развития
феноменологических теорий, которое идет в направлении учета переменности
модулей материала (
функций, определяющих временное поведение материала.
1.7 Потенциальная энергия деформации
В соответствии с законом Гука (в линейной области) удельная (отнесенная к единице объема) потенциальная энергия упругой деформации элемента
тела равна полусумме произведений всех компонентов напряжений на сопряженные с ними деформации
Здесь под
.
,η и др.) в ходе деформирования и уточнения вида
. (1.65)
при
подразумеваются деформации сдвига, равные
26
εσ
TTA ⋅=
2
1
( )
332211
2
1
εσεσεσ
++=А
( )
[ ]
2
1
G
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
2
321
2
13
2
32
2
21
18
1
12
1
σσσσσσσσσ
+++−+−+−=
KG
А
f
A
v
A
vf
AAA +=
( )
2
0
2
0
2
2
13
4
3
62
1
2
1
τ
µ
τσ
εσ
εσ
EGG
DDA
i
iif
+
=====
2
0
2
000
2
21
2
1
2
1
2
1
σ
µ
σεσ
εσ
EK
HHA
v
−
====
σσσσ
===
321
0=
f
A
2
21
2
3
σ
µ
E
A
v
−
⋅=
σσ
=
02=
σ
σσ
−=
3
0=
v
A
2
1
σ
µ
E
A
f
+
=
В общем виде можно записать
Через главные напряжения и деформации потенциальная энергия выражается так
Заменяя в (1.63) деформации через напряжения и пользуясь обобщенным
законом Гука, получают
. (1.66)
. (1.67)
2
1
2
2
При других упругих постоянных (
2
3
и K)
( )
2
++−++=EА . (1.68)
σσσσσσµσσσ
133221
. (1.69)
Обычно удельную потенциальную энергию упругой деформации рассматривают как сумму двух слагаемых, связанных соответственно с энергией
упругого формоизменения
и энергией объемной деформации
, т. е.
. (1.70)
Энергию упругого формоизменения определяют, используя выражения
для девиатора напряжений и девиатора деформаций
. (1.71)
Энергия объемной деформации соответствует шаровому тензору напряжений и равна
. (1.72)
В частном случае равномерного всестороннего растяжения (сжатия), т. е.
при
При чистом сдвиге, т. е. при
Удельная потенциальная энергия деформации является интегральной характеристикой не только состояния элемента тела, но и мерой интенсивности
его взаимодействия с окружающей средой (телами).
имеем
;
,
,
;
. (1.73)
, имеем
. (1.74)
27
( ) ( ) ( )
[ ]
∗
≤ KTI,TI,TIF
σσσ
321
( )
∗
≤ K,,F
321
σσσ
∗
K
max
σ
max
τ
max
ε
À
f
А
1.8 Критерии эквивалентности напряженно-деформированных состояний
При расчетах деталей машин и элементов конструкций на прочность исходят из положения, что рабочие напряжения (или деформации) не должны
превышать предельных для данного материала, определяемых экспериментально в зависимости от назначения и условий работы (пределы упругости, текучести, прочности, усталости и др.). Эти характеристики материала сравнительно легко определяются для простейших напряженных состояний, например, путем испытаний на одноосное растяжение, сжатие, кручение.
Практически же детали и конструкции находятся под действием сложного напряженного состояния, для которого весьма трудно, а в некоторых случаях и невозможно определить те или иные механические характеристики, соответствующие потере ими своих служебных свойств.
Поэтому одну из основных задач теории прочности формулируют следующим образом: необходимо установить такие критерии, при помощи которых,
зная поведение материала при простом напряженном состоянии (например, одноосном растяжении) можно предсказать, когда наступит предельное напряженно-деформированное состояние (течение, разрушение, усталость и др.) при
различных сложных напряженных состояниях.
Начиная с семидесятых годов прошлого столетия, предложено много
различных гипотез прочности. Обстоятельный обзор и анализ этих гипотез
рассмотрен в многочисленных работах (см., например, [43, 45–47 и др.]). Остановимся лишь на нескольких наиболее важных критериях.
Вопрос о том, что понимать под предельным (опасным) состоянием, решается по-разному в зависимости от типа материала и предъявляемых к нему
требований. Для хрупких материалов (состояний) опасным является состояние
разрушения («на пределе прочности»). Иногда опасным считается переход к
пластическим деформациям (состояние «на пределе текучести»). При таком
подходе критерии предельных состояний аналогичны условиям пластичности.
Предполагая, что прочность материала зависит только от напряженного
состояния, определяемого тензором напряжений, условие прочности в общем
виде можно выразить неравенством
, (1.75)
которое можно в трехмерном пространстве интерпретировать как предельную
поверхность, ограничивающую область безопасных напряжений.
Можно рассматривать предельную поверхность в пространстве главных
напряжений
В уравнениях (1.75) и (1.76) величина
но имеет определенную физическую интерпретацию: максимальное нормаль-
ное
тенциальная энергия деформации
прочности не имеют прямого физического смысла.
или касательное
. (1.76)
– критерий прочности – обыч-
напряжение, максимальное удлинение
или энергия
и т.д. Иногда критерии
, по-
28
Прочность материала можно также оценивать параметрами, характери-
( )
TI
1
( )
σ
DI
2
прi
σσ
≤
321 , ,i =
пр
σ
Т
σ
σ
σ
2
прi
εε
≤
321 , ,i =
( )
пр
σσσµσ
≤+−
321
321
σσσ
>>
прmax
στ
2
1
≤
пр
σσσ
≤−
31
321
σσσ
==
зующими деформированное состояние. Однако следует иметь в виду, что если
в упругой области эти параметры являются однозначными функциями компонент тензора напряжений, то в неупругой области они зависят не только от конечного напряженного состояния, но и от пути нагружения.
Большинство гипотез прочности представляют частные случаи более общих зависимостей, содержащих первый инвариант тензора напряжений
и второй инвариант девиатора напряжений
, а образующие соответ-
σ
ствующих предельных поверхностей являются поверхностями вращения и
представляются кривыми второго порядка.
Рассмотрим некоторые конкретные критерии прочности (предельных состояний), получившие распространение в инженерной практике:
1. Критерий наибольших нормальных напряжений. В предельном состо-
янии наибольшее главное напряжение достигает предельного значения
где
– предельное напряжение, полученное из опыта при одноосном
растяжении (предел текучести
Предельная поверхность ограничивается кубом со стороной
,
или предел прочности
, (1.77)
).
B
. Крите-
пр
рий (1.77) дает более или менее удовлетворительные результаты для хрупких материалов при напряженных состояниях, близких к одноосным. Переход материалов в пластическое состояние рассматриваемый критерий описывает плохо.
2. Критерий наибольших удлинений. В предельном состоянии наиболь-
шее удлинение достигает предельной величины
,
(1.78)
или в напряжениях
. (1.79)
Критерий (1.79) учитывает влияние на предельное состояние всех трех
главных напряжений (
). Он удовлетворительно объясняет случаи
хрупкого разрушения материала, но не пригоден для определения начала текучести.
3. Критерий наибольших касательных напряжений. В опасном состоянии
максимальное касательное напряжение достигает предельного значения
(1.80)
или
. (1.81)
Это условие в пространстве главных напряжений определяет область,
ограниченную поверхностью правильного шестигранника с осью
Критерий (1.80) и (1.81), в общем, правильно характеризует переход ма-
териала к пластическому деформированию, хотя имеются некоторые систематические отклонения от опыта, связанные с неучетом в (1.81) промежуточного
.
29
главного напряжения
2
σ
max
τ
max
τ
А
пр
А
пр
АА ≤
пр
А
( )
пр
σσσσσσσµσσσ
≤++−++
133221
2
3
2
2
2
1
2
пр
ff
AA ≤
( ) ( ) ( )
[ ]
2
2
13
2
32
2
21
2
1
пр
σσσσσσσ
≤−+−+−
321
σσσ
==
31
σσ
−=, 02=
σ
Т
Т
Т
,
σ
σ
τ
57703==
. Разрушения пластичных материалов, происходящие
путем среза, также удовлетворительно описываются критерием
Поведение хрупких материалов описывается критерием
.
значитель-
но хуже.
4. Энергетические гипотезы прочности. Наряду с упомянутыми гипоте-
зами предельных состояний предлагаются многие другие, среди которых заслуживают внимание энергетические гипотезы.
Идея о том, что опасное напряженно-деформированное состояние наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия деформации
некоторого предельного значения
, впервые была высказана в 1885 г. Бель-
достигает
трами. Энергетический критерий и условие наступления предельного состояния записывается в виде
, (1.82)
где
– удельная потенциальная энергия деформации растяжения, со-
ответствующая наступлению предельного состояния.
Если удельные значения потенциальной энергии деформации выразить
через главные напряжения, то условие (1.82) можно представить в виде
. (1.83)
Уравнение (1.83) в пространстве напряжений интерпретируется эллипсоидом вращения с центром в начале координат. Замкнутая форма предельной
поверхности указывает на непригодность гипотезы применительно к хрупким
материалам.
Чтобы согласовать эту гипотезу с тем фактом, что материал выдерживает
значительные гидростатические напряжения, не разрушаясь и не приходя в состояние текучести, Губер в 1904 г. предложил за критерий прочности принимать не полную величину удельной потенциальной энергии деформации, а
только ее часть, которая идет на изменение формы, т.е. условие прочности записывается в виде
(1.84)
или с учетом напряженного состояния
. (1.85)
Условие (1.85) близко к критерию наибольшего касательного напряжения. В пространстве главных напряжений условие (1.85) соответствует поверхности кругового цилиндра с гидростатической осью
При чистом сдвиге, когда
, из (1.85) следует
.
что хорошо подтверждается экспериментально.
Следует отметить, что критерию (1.85) можно дать различную физическую трактовку. Условие (1.85) можно получить, принимая за критерий любую
, (1.86)
30
величину, которая формально эквивалентна энергии формоизменения. К таким
V
А
SVV
LAА
пр
⋅=≤
ρ
( )
12
ρ
S
L
E,201≅
σ
0
τ
( )
00
στ
f=
( )
0
σψσ
=
i
321
σσσ
,,
( )
0
σ
f
AAA
vf
=+=
величинам можно отнести: касательные напряжения в октаэдрической площадке; «среднее» касательное напряжение; площадь трех кругов Мора, определяющих данное напряженное состояние; максимальное среднеквадратичное отклонение главных напряжений исследуемого напряженного состояния от
напряжения, характеризующего ближайшее гидростатическое напряжениесжатие. Наконец, критерий (1.85) пропорционален второму инварианту девиатора напряжений (интенсивности нормальных напряжений) (см. [43]). Критерий (1.85) хорошо описывает переход к пластическому деформированию, а
также разрушение пластичных материалов. Разрушение же хрупких материалов
критерий (1.85) описывает плохо.
В отличие от гипотезы Губера, Н.Ф. Лашко [48] предложил принимать за
критерий разрушения ту часть потенциальной энергии деформации, которая
связана только с изменением объема
. В этом случае условие разрушения
представляется в виде
(1.87)
или с учетом напряженного состояния
++
2
σσσ
321
ρ
, (1.88)
LK⋅≤
S
где
– плотность;
– скрытая теплота плавления.
Предложение Н.Ф. Лашко о том, что изменение объема в предельном состоянии, отвечающем разрушению, должны равняться изменению объема при
нагревании до плавления, приводит к преувеличенному значению теоретической
прочности (
), как и другие известные до сих пор теории прочности.
Дальнейшее развитие энергетических гипотез прочности шло по пути
развития идеи А. Надаи [49] о том, что в предельном состоянии октаэдрическое
касательное напряжение
является функцией октаэдрического нормального
напряжения, т.е.
(1.89)
или
. (1.90)
В системе координат
эти уравнения описывают поверхность
вращения, равнонаклоненную к осям.
Первая энергетическая гипотеза вида (1.89), (1.90) была предложена в
1925 г. Ф. Шлейхером [50]. По мнению Шлейхера, предельное состояние материала наступает при определенном значении полной удельной потенциальной
энергии, критическое значение которой является функцией шарового тензора.
В предположении, что эта зависимость является линейной
(1.91)
или для линейно-упругого изотропного тела