Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы эргодинамики и синергетики деформируемых тел. Ч.I. Основы физической механики деформируемых тел (состояние проблемы). Монография.pdf
11
Часть I. ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ
ТЕЛ (СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ)
Глава 1. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
1.1 Состояние проблемы и основные задачи механики деформируемых тел
Исторически механика возникла как наука о движении тел природы.
Вначале это движение, по существу, представлялось как изменение во времени
положения тел в пространстве. Материальные тела при этом рассматривались
схематизированными и идеализированными в виде «твердых тел» c неизменной формой и размерами или «материальных точек», считавшихся эквивалентными точечно сконцентрированной конечной массе материи (вещества).
Начиная с XVII столетия, усилия теоретических исследователей стали
интенсивно направляться к изучению более сложных, так называемых, сплошных деформируемых сред (газов, жидкостей, деформируемых тел). Важнейшей
задачей механики таких сред явилось изучение и установление наиболее общих
свойств и законов движения деформируемых тел. При этом понятие «движение» уже рассматривается в более широком смысле, как трансформация положения и геометрической конфигурации тел.
В теоретической механике сплошных сред основное внимание отводится
рассмотрению математических методов изучения движения деформируемых
тел и разработке методов сведения механических задач к задачам математическим, т. е. к задачам об отыскании некоторых чисел или числовых функций с
помощью различных математических операций. При этом следует отметить,
что само решение конкретных задач механики сплошной среды путем математических операций также обычно относится к механике сплошной среды [18].
Спустя два столетия прогресс в познании материального мира привел к
тому, что понимание движения как изменения положения и формы элемента
тела сплошной среды стало неотделимым от его внутреннего состояния. Учитывая это обстоятельство и приведенное выше «старое» определение механики,
Морис Руа счел возможным обобщить это определение и считать «..., что механика, в результате естественно необходимой эволюции, стала наукой о трансформации положения, геометрической конфигурации и внутреннего состояния
тел природы в соответствии с обобщенными силами» или «действиями различного рода (механическими, физическими и химическими)», которые определяют эту трансформацию. И далее, «... я уже в течение 30 лет даю в Париже будущим инженерам именно такую концепцию механики, ставшей и общей динамикой сложных систем, которую я называю «эргодинамической» с целью
подчеркнуть важность энергетической точки зрения» (с. 29 [19]).
В связи с этим в настоящее время основную задачу механики сплошных
сред формулируют следующим образом. Заданы внешние воздействия на тело
12
(механические, термические и др.) как функции координат пространства и времени. Требуется дать описание состояния тела в виде некоторой системы
функций координат точки и времени [20].
Значительная часть механики сплошной среды посвящена исследованию
движения и равновесия твердых деформируемых тел. До последнего времени
основой для расчетов на прочность всякого рода деталей машин и сооружений
являлась теория упругости. В настоящее время приобретают все большее значение разделы механики, посвященные изучению усложненных упругих, неупругих и необратимых эффектов в твердых телах, таких как сверхпластичность, ползучесть и усталость машиностроительных материалов.
Существует большое количество интересных явлений и актуальных задач, которые можно и нужно решать в рамках и с помощью уже введенных,
классических моделей сплошных сред в теориях упругости, пластичности и
реологии. Однако с развитием техники, появлением и использованием в народном хозяйстве широкого класса новых материалов и расширение диапазона
условий их работы обусловливают развитие новых важных направлений в механике деформируемых твердых тел.
В последние годы отмечается значительное повышение интереса к различным проблемам механики деформируемых тел, решение которых оказалось
невозможным на основе классических представлений. Одной из причин этого
является взаимодействие на первый взгляд различных физических явлений, сопровождающих механическое поведение твердых тел, которые не позволяют
рассматривать задачу механики деформируемых тел без учета процессов другой, немеханической природы (термической, электрической, магнитной, химической и др.).
Другой причиной является все возрастающая роль термодинамических
эффектов в некоторых механических задачах. Например, такие механические
явления, как пластическая деформация, трение, разрушение твердых тел и подобные настолько тесно связаны с термодинамикой необратимых процессов,
что существенная часть механики сплошной среды в современном смысле слова уже не может быть отделена от термодинамики [21].
Л.И. Седов выделяет следующие актуальные направления в развитии механики твердых деформируемых тел [18, 22].
1. Теория пластичности. Понятие о пределе упругости и возникновение
остаточных пластических деформаций тесно связаны с необратимыми физическими изменениями в микроскопической структуре твердого тела. Изучение
пластичности должно быть связано с введением дополнительных параметров,
характеризующих указанные физические процессы. Для установления законов
изменения этих параметров необходимы физические исследования или гипотезы термодинамической природы. Термодинамические теории необратимых
процессов важны не только тогда, когда тепловые эффекты, связанные с изменением температуры, существенны. Возможны случаи, когда температура постоянна вообще, но термодинамические эффекты очень важны. Кроме температуры существуют и другие термодинамические (например, структурные,
13
В.Ф.) параметры, которые могут изменяться и сильно влиять на рассматриваемые процессы.
В теории пластичности при пластических деформациях необходимо вводить дополнительные термодинамические характеристики элементов тела, которые существенны для механического анализа и которые могут меняться.
2. Теория ползучести. Настоящее понимание явлений старения и устало-
сти материалов, по-видимому, возможно только на физической основе при дополнительном введении физических параметров и дополнительных для них
уравнений, характеризующих внутренние физико-химические процессы, происходящие в твердых телах в напряженном состоянии в тесной связи с влиянием температуры (c.11-12 [22]).
3. Большое значение имеют работы, посвященные общей задаче о прочности и о разрушении конструкций из различных материалов. Это важная
практическая задача до сих пор еще не имеет ясного удовлетворительного решения (с.13 [18]).
В настоящее время механика сплошной среды быстро врастает в физику
сплошной среды. В связи с этим весьма характерно следующее высказывание
Э. Кренера [23]. «За последние тридцать лет чрезвычайно расширился круг задач, которые решает или, по крайней мере, должна решать механика сплошного деформируемого твердого тела. Это объясняется, в первую очередь, весьма
быстрым превращением физики твердого тела в отрасль физики, которая по затраченным на нее усилиям близка к физике ядра».
Внутренние потребности развития механики сплошных сред, разные разделы которой длительное время развивались в направлении решения отдельных частных задач без должной связи друг с другом, диктуют настоятельную
необходимость выработки общего, универсального подхода, пригодного для
описания механического поведения достаточно широкого класса реальных материалов в разнообразных условиях их применения. В этом направлении намечаются два пути: феноменологический, основанный на законах и методах термодинамики необратимых процессов, и статический, в основе которого лежат
законы статистической механики и физической кинетики. Эти направления до
последнего времени в значительной степени исключали друг друга и, несмотря
на многочисленные усилия, между ними все еще существует разрыв. Повидимому, наиболее целесообразным направлением развития механики и физики сплошных сред является синтез этих двух подходов [18, 24, 25].
1.2 Фундаментальная проблема механики деформируемых тел
Основные уравнения механики сплошных сред сводятся к уравнениям,
выражающим законы сохранения массы, импульсов, энергии и баланса энтропии [20, 21, 26, 27 и др.]. Однако сами по себе эти уравнения не дают возможность получить полную систему уравнений для изучения среды. Для этого
необходимо иметь определяющие уравнения (иногда их называют уравнения-
14
ми состояния или кинетическими уравнениями [28, 29 и др.]), связывающие
( )
nijijpp
qqT ,...,,,,
1
εσωω
=
( )
q,...,q,T,,uu
εσ
=
( )
nijij
qqTss ,...,,,,
1
εσ
=
σ
ij
ε
ij
ε
( )
0,,, =T
ijijij
εεσΦ
различные параметры, описывающие поведение деформируемых сред. К таким
уравнениям относятся, например, законы Гука и Ньютона и различные реологические уравнения состояния.
Для общего случая необратимых процессов деформирования сплошных
тел теория определяющих уравнений находится в настоящее время в начальной
стадии своего развития [18, 26, 28, 30, 31].
Создание общей теории определяющих уравнений, несомненно, является
актуальной и фундаментальной проблемой механики сплошных сред. «Эта
теория должна, во-первых, установить общие формы связи между полями
напряжений, деформаций, скоростей деформаций, температуры и т.д. для различных сред, классификация которых составляет одну из задач теории; вовторых, она должна установить те программы частных экспериментальных работ, которые необходимы для конкретизации общих связей между полями, характеризующими поведение той или иной конкретной среды (с. 16 [20])».
В общем случае определяющие уравнения могут быть даны в виде:
а) уравнений, связывающих тензор напряжений с тензором деформаций и
температурой и т.д.;
б) конкретного выражения для диссипативной функции
; (1.1)
в) конкретного выражения для плотности внутренней энергии и энтропии
1
; (1.2)
nijij
. (1.3)
Следует отметить, что при создании общей теории определяющих урав-
нений той или иной конкретной среды необходимо располагать обобщенной
физической моделью процесса деформирования этой среды, имеющей ясный
термодинамический смысл. В связи с этим следует обратить внимание на один
весьма важный вопрос принципиального характера. Каждому, кто изучал термодинамику, известно уравнение состояния идеального газа, связывающее давление, объем и температуру. Людвик [32] еще в 1909 г. и сравнительно недавно
Холломон и Зинер [33] высказывали предположение о том, что подобное механическое уравнение состояния должно существовать и для твердых деформируемых тел. При этом под механическим уравнением состояния понимается
функциональная зависимость между тензором напряжений
ций
, скоростью деформации
и температурой T:
, деформа-
ij
. (1.4)
Однако многочисленные исследования [28, 34 и др.] показали, что это
уравнение справедливо лишь для ограниченных интервалов значений, входящих в него величин, которым соответствует минимальное изменение структуры материала.
Согласно физическим соображениям, механическое уравнение состояния
не может существовать потому, что деформации и напряжения являются струк-
15
турно-чувствительными параметрами и для реальных материалов определяются
( )
n...,iq
,,,
i
321
=
( )
0,...,,,,
1
=
nijij
qqTF
εσ
F
i
q
i
q
( )
,...,,
qTqq
σ
=
дефектами и искажениями структуры, которые термодинамически неравновесны. Следует при этом подчеркивать, что изменение структурного состояния материала является результатом двух противоположных, взаимосвязанных и одновременно протекающих в деформируемых объемах твердого тела процессов: деформационного упрочнения (повреждаемости) и термического разупрочнения
(динамического возврата или отдыха), поэтому структура материала существенно зависит от температуры и времени (скорости) деформирования [35].
Следует также подчеркнуть, что функционал (1.4) является уравнением состояния только в том случае, если существует однозначная и независимая связь
между структурой материала и деформацией. Это условие может выполняться
только в случаях, когда не происходит динамический возврат (отдых) или когда
скорость динамического возврата велика, а скорость деформационного упрочнения мала (например, при стационарной ползучести, вязком течении).
В связи с вышеизложенным, в настоящее время в механике сплошных
сред структурное состояние материала можно характеризовать рядом структурных параметров
[18, 26, 28, 30], а уравнение состояния пред-
ставляют функционалом
. (1.5)
Таким образом, решение поставленной задачи заключается в раскрытии
конкретного вида функционала
метров
, которые должны отражать основные особенности развития процесса
и физического смысла структурных пара-
деформации конкретных реальных сред. При этом каждая конкретная запись
функционала (1.5) должна строго соответствовать всем известным законам физического характера и, в первую очередь, законам термодинамики [36], как абсолютным и фундаментальным законам природы.
Другая, не менее важная задача, которую необходимо решить в теории
определяющих уравнений, является получение кинетических уравнений состояния деформируемого твердого тела, описывающего кинетику изменения
структурных параметров
в ходе процесса деформирования твердого тела
. (1.6)
iijii
Решение этих задач не может быть осуществлено только методами термодинамики и относится к компетенции теории дислокаций, статистической
физики и физико-химической кинетики в их диалектическом единстве.
1.3 Краткие сведения о напряжениях и деформациях
В механике деформируемых тел среда рассматривается сплошной с непрерывным распределением вещества. Подобную среду, пренебрегая ее дискретным строением, можно рассматривать как континуум. Поэтому напряжения, деформации и перемещения считаются непрерывными и дифференцируе-
16
мыми функциями координат точек тела и времени. Предполагается, что любые
zyzxz
yzyxy
xzxyx
T
σττ
τστ
ττσ
σ
,,
,,
,,
=
.,, zyx
( )
3,2,1,, =ji
ij
σ
ijji
σσ
=
3
1
3
1
σ
D
ijijij
S
δσσ
0
−=
≠
=
=
.,0
,,1
ji
ji
ij
δ
i
σ
i
S
321
σσσ
≥≥
( )
,
2
1
321
σστ
−=
( )
132
2
1
σστ
−=
( )
213
2
1
σστ
−=
n
τ
max
τ
2max
ττ
−=
сколь угодно малые частицы твердого тела обладают одинаковыми свойствами.
Основные положения теории напряженного и деформированного состояния элемента твердого тела обстоятельно рассматриваются в механике сплошных сред [18, 26], деформируемых тел [37, 38], теории упругости [20, 27] и
учебниках по сопротивлению материалов [36, 39,40 и др.].
Ниже приводятся (без выводов) основные формулы теории напряжений и
деформаций [41, 42], используемые в последующих главах.
1.Напряженное состояние. Напряженное состояние в данной точке среды
характеризуется симметричным тензором напряжений
, (1.7)
отнесенным к ортогональной системе координат
Здесь использована си-
стема обозначений, обычно принимаемая в технической литературе.
При обсуждении общих вопросов более удобны тензорные обозначения.
В этом случае компоненты тензора напряжений запишутся как
причем, по закону парности касательных напряжений
.
Средним или гидростатическим напряжением называется сумма
0
Девиатор напряжений
( )
==
имеет составляющие
. (1.8)
σσσδσσ
,,
zyxijij
. (1.9)
Символ Кронекера задан соотношением
, (1.10)
Главные значения тензора и девиатора напряжений обозначают соответственно через
и
. Здесь
. (1.11)
,
В сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями и проходящих соответственно через главные оси 1, 2, 3, касательные напряжения
достигают экстремальных значений и называются главными касательными
напряжениями
Наибольшие значения касательных напряжений
мальными касательными напряжениями
ся, то
.
,
. (1.12)
называются макси-
. Если условие (1.11) выполняет-
Линейный, квадратичный и кубический инварианты (основные инварианты) тензора напряжений равны (в главных осях)
17
( )
Соответствующие инварианты девиатора напряжений
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
=
−+−+−=
=
.
,
6
1
,0
3213
2
13
2
32
2
212
1
SSSDI
DI
DI
σ
σ
σ
σσσσσσ
[ ]
2
1
( ) ( )
( )
( )
[ ]
222
222
6
2
1
zxyzxyxzzyyx
τττσσσσσσ
+++−+−+−=
0,
321
===
σσσσ
σσ
=
i
( )
τσστσ
−===
321
,0,
τσ
⋅= 3
i
[ ]
3
2
3
1
ij
T
ε
ε
=
Интенсивность напряжений, выраженная через главные напряжения,
имеет вид
TI
σ
( ) ( )
TI
σ
( )
TI
σ
=
σσσ
σσσσ
=++=
++−=
.
3213
,3
03211
σσσσσσ
1332212
(1.13)
,
(1.14)
i
( ) ( ) ( )
2
21
2
32
2
σσσσσσσ
=−+−+−=
13
. (1.15)
Для частного случая одноосного растяжения (
) имеем
. (1.16)
В случае чистого сдвига
имеем
. (1.17)
Интенсивность напряжений пропорциональна октаэдрическому касательному напряжению, т. е. касательному напряжению в площадке, равно
наклоненной к трем главным осям – октаэдрической площадке
3
1
i
( ) ( ) ( )
2
210
2
32
2
σσσσσσστ
−+−+−==
. (1.18)
13
Средние, или гидростатические напряжения, выраженные через главные
нормальные напряжения
( )
++=
. (1.19)
σσσσ
3210
Дифференциальные уравнения равновесия
2. Деформированное состояние. Деформация среды характеризуется
симметричным тензором деформации
τ∂
σ∂
x
∂
x
τ∂
∂
x
τ∂
zx
∂
x
xy
∂
y
σ∂
∂
y
τ∂
zy
∂
y
τ∂
xz
∂
z
τ∂
yzyyx
∂
z
σ∂
z
∂
z
,0
=++
(1.20)
,0
=++
.0
=++
, (1.21)
18
составляющие которого равны
i
j
j
i
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε
2
1
2
1
+
+=
+=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
ε
2
1
ij
u
i
ε
121
εεγ
−=
132
εεγ
−=
213
εεγ
−=
max
γ
( )
( ) ( )
( )
=
++−=
++=
.
,
,
3213
1332212
3211
εεε
εεεεεε
εεε
ε
ε
ε
TI
TI
TI
ε
D
.
3
1
ijijijij
l
δεε
−=
ε
D
i
l
( )
( )
( ) ( ) (
)
[ ]
( )
=
−+−+−=
=
.lllDI
;
DI
;DI
32133
2
13
2
32
2
212
1
6
1
0
εεεεεε
ε
ε
3210
εεεδε
∆
ε
++===
ijij
V
V
[ ]
3
( )
εε
=
1
2
3
0
εεε
−=
i
В случае малых деформаций
. (1.22.1)
, (1.22.2)
где
– компоненты вектора смещения u.
Главные значения тензора деформации (главные удлинения) обозначают
через
. Разности
,
,
(1.23)
называются главными сдвигами. Наибольший по величине сдвиг в данной точке называется максимальным сдвигом
.
Инварианты тензора деформации в главных осях равны
(1.24)
Составляющие девиатора деформации
равны
Главные значения девиатора
обозначают через
. Инварианты девиа-
тора деформации будут
Относительное изменение объема равно
Интенсивность деформаций, выраженная через главные линейные деформации,
i
Для частного случая растяжения изотропного материала (
−
εε
−==
32
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
3
εε
0
) из (1.27) получаем
2
21
2
32
(1.25)
.
2
εεεεεεε
( )
=−+−+−=
13
3
222
+++−+−+−=
2
222
γγγεεεεεε
. (1.27)
zxyzxyxzzyyx
. (1.28)
,
19
Для частного случая чистого сдвига изотропного материала
0===
zyx
εεε
γγ
=
0==
γγ
γε
3
1
=
i
[ ]
3
2
ij
ε
ε
ij
T
ε
ε
=
+=
i
j
j
i
ij
x
x
∂
ε∂
∂
ε∂
ε
2
1
εεεεε
div=
++=
3210
( ) ( ) ( )
[ ]
2
13
2
32
2
21
3
2
εεεεεεε
−+−+−=
i
i
ε
maxi
,
γε
081≅
w,v,u
+==
+==
+==
.
z
u
x
w
,
z
w
,
y
w
z
v
,
y
v
,
x
v
y
u
,
x
u
zxz
yzy
xyx
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
ε
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
ε
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
ε
(
;
xy
;
zxyz
) из (1.27) следует
. (1.29)
Октаэдрическая угловая деформация
( ) ( ) ( )
3. Скорость деформации. Обозначим через
скорости
частицы среды. Тензор скорости деформации
2
210
2
32
составляющие вектора
2
. (1.30)
εεεεεεγ
−+−+−=
13
имеет следующие компоненты (составляющие)
. (1.32)
Скорость относительного объемного расширения
. (1.33)
Интенсивность скорости деформации
. (1.34)
Между интенсивностью скорости относительной линейной деформации
и максимальной скоростью сдвига имеется приближенное соотношение
.
4. Уравнения сплошности. Формулы Каши – зависимости составляющих
линейных и угловых деформаций от составляющих перемещений
(1.35)
Уравнение совместимости деформаций (сплошности)
20
2
x z
y x
z y
y z
y x
x y
z
xy
zx
yz
y
zx
yzxy
x
yzxy
zx
zxx
z
yz
z
y
xyy
x
∂∂
ε∂
∂
γ
∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
∂
∂∂
ε∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
∂
∂∂
ε∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
γ∂
∂
∂
∂∂
γ∂
∂
ε∂
∂
ε∂
∂∂
γ∂
∂
ε
∂
∂
ε∂
∂∂
γ∂
∂
ε
∂
∂
ε∂
ijlkijij
C
εσ
=
ijkl
C
ijkl
C
CC =
E
( )
µ
+=12
E
G
2
2
2
2
2
x
y
z
y
z
x
2
2
2
2
2
2
−+
z
−+
x
−+
y
2
=+
,
2
=+
,
2
=+
,
(1.36)
=
=
=
2
,2
x
z y
2
,2
x z y
2
.2
y x z
1.4 Зависимость между напряжениями и деформациями для упругого тела
При объемном упругом напряженном состоянии для анизотропного ма-
териала связь между напряжениями и деформациями определяется обобщенным законом Гука.
, (1.37)
ли
где матрица величин
Анизотропное тело характеризуется 36 упругими постоянными
, то остается 21 постоянная. При этом направления главных
klijijkl
называется тензором модулей упругости.
. Ес-
напряжений и главных деформаций совпадают.
Для изотропного упругого материала эти зависимости имеют вид
1
[ ]
E
( )
σσµσε
+−=
zyxx
1
[ ]
где
поперечной деформации.
Между этими величинами существует следующая связь:
γ
xy
,G – модули упругости первого и второго рода; µ – коэффициент
E
1
[ ]
E
τ
xy
γ
,
yz
G
( )
( )
τ
yz
G
σσµσε
+−=
xzyy
σσµσε
+−=
yxzz
γ
===
,
zx
. (1.39)
,
,
(1.38)
,
τ
zx
,
G