Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимальный прием и обработка сигналов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

2.1. Постановка задачи обнаружения сигналов





























































Байесовское решение найдем, минимизируя средний риск

ru P c pY dY P c pY dY

 





выбором области

Y Y , то

ли

все величины неотрицательные. Тогда

При выборе

одной реализации

ru минимально при



решение

110 0



ap ap

10 0 0 01 0 0



110 00

PcpY PcpY dYPc





ap ap ap

10 0 01 0 0 01

11 0 0.

cpY dY P cpY dY



10 0 0 01 0 0

ap ap



d , если



TT T T





TTT





110 0

P c pY P c pY



ap ap

10 0 01 0

TT T T



 



YY

TT T

YpY pY



00 0



YY Y

. Пусть



эти неравенства неверны хотя бы для

Y . Значит, значение среднего риска

YY. Для любой







выбрана так, что ес-





Y Y берется



, где

иначе принимается решение

жения сигнала для обобщенной функции потерь

как и формула (2.1), сводится к вычислению

нию его с порогом. Порог

ко от

разных неверных решениях. Алгоритмы (2.1) и (2.2) совпадают, если

cc .

10 01



01,

PcPch (2.2)

01 10 0

ap ap

d ; байесовское правило обнару-



если Yh











если Yh







h в формуле (2.2) зависит не толь-

, но и от значений потерь





Y и сравне-

при

2. Обнаружение непрерывных сигналов на фоне гауссовских помех















































2.1.2. Критерий Неймана — Пирсона

На практике, например в радиолокации,

часто неизвестны. Тогда применяют небайесовские решения. Получим одно из них, применив критерий Неймана — Пирсона.

Разобьем область возможных реализаций

ли принята реализация

Y Y , то сигнал есть. Вероятность ложной тревоги

если

обозначается как

ность пропуска сигнала —

PPd PY

YY , считаем, что сигнала нет, а



  Y , а вероят-

101



Pd PY

 

  Y .



000

P и

YY Y. Ес-

Вероятность верного обнаружения 1

мана — Пирсона конкретизирует выбор областей

заданном

мум

сона выражается как

где

ность того, что без сигнала

доподобия больше порога, равна вероятности ложной тревоги:

PP Y h PY

Применение критерия Неймана-Пирсона, как и байесов-

ских, сводится к поиску

рисунке 2.1 дана структурная схема обнаружителя сигнала. В

оптимальном приемнике (ОП) ищется

P оптимальное решение дает максимум DP (мини-

). Доказано [12], что решающее правило Неймана-Пир-









— порог, определяемый следующим условием. Вероят-

 





001





  Y









St на приеме отношение прав-



Y и сравнению его с порогом. На



 . Критерий Ней-

если Yh













Y. В пороговом



: при

2.1. Постановка задачи обнаружения сигналов



устройстве (ПУ)

ется решение о наличии (

Y сравнивается с порогом h и принима-



) или отсутствии (

) сигнала.

ОП

ПУ

Рис. 2.1. Структурная схема обнаружителя сигнала

Байесовские решения следуют из минимизации вероятности полной ошибки. В критерии Неймана-Пирсона вероятность ложной тревоги фиксирована, а вероятность пропуска сигнала минимизируется. Это минимальное значение не ограничено по величине и не контролируется. Так, в радиолокации пропуск сигнала может привести к серьезным последствиям, но не вызывает каких-либо действий,

ложная же тревога при-

водит к необходимости выполнения защитных действий.

2.1.3. Последовательная процедура обнаружения

Выше решение принималось для выборки ного объема

n . Изучим оптимальную процедуру обнаружения

Y фиксирован-

сигнала на основе критерия последовательного анализа [9]. Выборку сигнала анализируют после получения каждого ее элемента. Принимается одно из решений:

d — сигнал есть, 2d — необходимо продлить наблюдения.

Обнаружение завершается принятием решения

d — сигнала нет,

или

В каждый момент множество возможных реализаций Y разбивается на три области:

при 0,1, 2

соответствует решение

YY Y Y, где области

012

d . Эффективность проце-

дуры обнаружения зависит от способа разбиения Y . Оптималь-

2. Обнаружение непрерывных сигналов на фоне гауссовских помех



















ный алгоритм принятия решения реализует минимум средней

цены наблюдений

при условии, что

и  не превосходят за-

данных значений. Цена определяется средней длительностью наблюдений (средним объемом выборки). Последовательная процедура принятия решения пояснена на рисунке 2.2.





Рис. 2.2. Последовательная процедура принятия решения

На рисунке 2.2

Tit, 1,2,...i  , и t

d ) берется в первый же момент iT , когда

(





d (0d ). Пороги ищутся по заданным значениям вероятно-

ния

стей

Y , 2Y , и 1Y пространства выборок.

Решение

P и

(





. Областям C , B, и A соответствуют области

d справедливо, если верно неравенство

YpY pY h





для любой выборки

ство, найдем

сюда следует оценка сверху для порога

Y — принятая реализация,

— шаг дискретизации. Решение

 ), где

TT T

ii i

 

00 0

TT T T

ii i i

YdYhpY dY



00 0 0



h (нh ) — порог принятия реше-

Y . Преобразуя последнее неравен-



 

h в виде

tT ,



. От-

2.1. Постановка задачи обнаружения сигналов



























































где

Тогда

бой выборки

Учтем, что

PpYdY

Решение



  

pY hpY





d берется в том случае, если

TT T

ii i

YpY pY h





00 0



  . Это условие верно для лю-

Y Y

TT T T

ii i i

YdYhpY dY





00 0 0







Отсюда следует оценка снизу порога

hPPP

 

н FDF

hPPP

в FDF



 .



  ,

PpY dY









. Интегрируем его:



 

YdY



111.



PpY dY

 

, и







При малых значениях отношения сигнал/шум распределе-





ния

нять приближенно

 и

в F

— близкие, что позволяет при-





. Проце-

н F



дура Вальда оптимальна, если элементы выборки сигнала статистически не зависимы, и сигнал не имеет случайных параметров [9]. Для независимых событий имеем

Ykpyyyk pyk



  



012



, ,...,





, 0,1k

[13].

Логарифм отношения правдоподобия





ln ln ln .



  

YZ z



Верхний порог ln







, а нижний — ln

условные вероятности ошибок





0,5

. Тогда 0a  и 0b







. На практике



2. Обнаружение непрерывных сигналов на фоне гауссовских помех





























































Процедура Вальда характеризуется средней длительностью или МО числа шагов, требуемых для принятия решения

d или 1d . Момент iT , когда это происходит, заранее неизвес-

тен, поэтому

T — случайная величина. Пусть выборка

нородна, то есть статистика всех ее элементов

y одна и та же.

Y од-

Тогда решающая статистика ния — сумма случайного числа

величин

решения

z , 1,ji . МО числа шагов, требуемых для принятия

d и 1d , равно соответственно

iMi MZ Mz

  

000



   

 

 

111



 

в момент

T принятия реше-

i одинаково распределенных



;







где МО приращения решающей статистики за шаг наблюдения равно



zkz pz pz pzkdz



   



при 0,1

, 1,ji и можно показать, что



ln 1 0

kjjjj







0z  [7].



При малом отношении сигнал/шум верхний порог

ln (1 )

 , а нижний —





ln 1





. Если сиг-



нала нет, принятая выборка достигает окрестности верхнего (нижнего) порога приближенно с вероятностью



если есть — с вероятностью

 



ZPaPb



iFF

(). Отсюда

Zab

 



P (1FP



), а

Комбинируя полученные выражения, получим



iMi Pa Pbz

 

iMi a bz





Для близких распределений

имеем

zz , так что при 1















 и 1









 найдем





ii ab

 .

2.1. Постановка задачи обнаружения сигналов

















Среднее число шагов i процедуры Вальда меньше постоянного размера выборки нала по любому иному критерию (при тех же

 , объем выборки в процедуре Вальда в среднем прибли-

i , требуемого для обнаружения сиг-

P и

). Если

зительно в два раза меньше, чем в процедуре Неймана — Пирсона [9]. При

12 4

~10 10

наблюдения составляет

 выигрыш значительно больше: если



 и ~0,1 0,5

ln ln ~ 15 20

, выигрыш в среднем времени

2.1.4. Оптимизация последовательной процедуры обнаружения в многоканальных системах

При нарушении условий оптимальности процедуры Вальда

(см. п. 2.1.3) найти эффективную (по минимуму среднего объ-

ема выборки) процедуру сложнее. Последовательная процедура относительно иных дает выигрыш лишь в среднем по времени. В многоканальных системах ее продолжительность может быть слишком велика. Если в каждом из

каналов решение принимается независимо, длительность процедуры определяется каналом, где решение принято последним. С ростом

затраты времени растут быстрее, чем в процедуре Неймана

— Пирсона [14].

Оптимизировать процедуру Вальда можно, перейдя от постоянных к переменным порогам, зависящим от номера шага. В радиолокации и радионавигации часто применяют усеченную процедуру Вальда (рис. 2.3) [15]. Обнаружитель сначала

работает как последовательный, находя значения

i  , в блоке ОП . Через переключатель

1, 2 ,...

они поступа-

ют в двухпороговое устройство принятия решения



У , рабо-

при

тающее по последовательной процедуре. Если за заданное число шагов

m не принято решение

(сигнал есть), выход блока

ОП переключается на однопорого-

d (сигнала нет) или 1d

2. Обнаружение непрерывных сигналов на фоне гауссовских помех









вое устройство

принятия решения, работающее по кри-

терию Неймана — Пирсона. Обнаружение завершается принятием решения

d или 1d в блоке

У . Эта процедура часто не

обеспечивает заданных вероятностей ошибочных решений — в этом ее недостаток.











ОП



Рис. 2.3. Структурная схема последовательного

обнаружителя с усечением времени наблюдения

Изменяя решающее правило и условия наблюдения можно повысить эффективность последовательного обнаружения. В двухэтапном радиолокационном обнаружении на первом этапе разрешающую способность по дальности уменьшают, увеличивая длительность зондирующего сигнала. Если на первом этапе сигнал обнаружен, начинается второй этап, где обеспечивают нужную разрешающую способность и измеряют дальность.

2.2. Обнаружение детерминированного сигнала

2.2.1. Обнаружение при некоррелированной помехе

Пусть параметры детерминированного сигнала

вестны и он аддитивно взаимодействует с БГШ

тая реализация сигнала выражается как

yt St nt

St из-



nt . Приня-





.



2.2. Обнаружение детерминированного сигнала































При дискретной обработке решение принимают на основе вы-

борки

tT . Так как помеха — БГШ, эти отсчеты статистически



независимы. Отсчеты полезного сигнала

Y значений отсчетов

yyt , где 1,in и

St . С учетом



теоремы перемножения вероятностей независимых событий

[13], найдем условные ПВ выборки

когда нет сигнала

pY y s

когда сигнал есть (



 



02 exp0,5

 

 

St, и



12 exp0,5

  



— дисперсия шума отсчета БГШ).



222



Y :

















Выразим отношение правдоподобия для байесовского решения и простой функции потерь:

TT T

nn n

YpY pY





00 0

222



exp 0,5 .











ys s

ii i



(2.3)

Получим алгоритм работы оптимального обнаружителя с порогом h : решение



zysh sz



 

иначе считается, что сигнала нет (решение

d о наличии сигнала принимается, если:

222







ln 0, 5 ,

ii i

d ).

(2.4)

Так как функция корреляции БГШ

дисперсия

  





ys Mn



ii i



Mtntdttnd



  



tMntndtdNt

    

   











  













отсчета выборки









2Rt M ntn N t

Y равна

2. Обнаружение непрерывных сигналов на фоне гауссовских помех

















где t — интервал дискретизации;

Подставим выражение для к пределу при 0t

 и фиксированном

tt t

 .

в формулу (2.4) и перейдем

1ii

T . Найдем алгоритм

работы оптимального обнаружителя непрерывного сигнала:

где

zNytStdthENz

— энергия сигнала,

2ln,



000



Stdt





(2.5)

Отношение правдоподобия для непрерывного сигнала получается как предел выражения (2.3) при 0t

ванном значении

Y N St yt St dt











exp 2 0, 5

    







exp 2 .

   









ytStdt EN

 и фиксиро-

(2.6)

Найдем показатели качества обнаружения — вероятности ложной тревоги

нала нет

zNntStdt





P и правильного обнаружения DP . Если сиг-



 , из выражения (2.5) имеем



. Величина z — линейное преобразо-

вание БГШ. С учетом центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей заключаем, что величина z распределена нормально [13]. МО величины z равно





zMNntStdt



 





 

 

Mnt Stdt





а дисперсия той же величины (с учетом того, что корреляци-

онная функция БГШ

nt nt N t t

12 0 21



 



) равна



<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]