Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимальный прием и обработка сигналов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

8.5. Потенциальная точность оценок параметров сигнала







































Значит, потенциальная точность оценки задержки сигнала по фазе обратно пропорциональна отношению сигнал/шум и



квадрату несущей частоты сигнала. Обычно нозначном измерении фазы дисперсия ошибок такой оценки

меньше, чем у оценки по огибающей.

Пример 8.11. Найдем потенциальную точность оценки за-

держки информации и по фазе, и по огибающей повышает точность

измерения задержки по сравнению с достигнутой в примерах

8.9 и 8.10. Следуя методике примеров 8.10 и 8.11, искомую потенциальную точность выразим как

Пример 8.12. Найдем потенциальную точность оценки не-

энергетического параметра сигнала — частоты. Подставим выражение (8.6) в выражение для

дифференцирование:

где

длительность сигнала. Видно, что потенциальная точность оценки частоты обратно пропорциональна отношению сиг-

нал/шум и

Для сигнала

λ неравенство Рао — Крамера (8.4) обобщается на систему

неравенств

смещенной оценки

радиоимпульса по огибающей и фазе сигнала. Учет



   





эфф

   

NtStdtNE q



22 2

 

tS t dt S t dt







NMytSt dt





22 2 2

2, 212,





 

,Stλ с неслучайным векторным параметром





RJ где R — матрица корреляции ошибок не-



12 .







Зэфф











с элементами



при





эфф

 



  



— среднеквадратичная



ij i i j j

 , и при од-







 



и проведем



 



 

141

8. Измерение параметров сигналов























при ,1,ij m ;

J — информационная матрица Фишера



с элементами



 

JM M





 

1

Если

RJ, оценки

TT T

ln ln ln

pY pY pY

λλ λ



00 0

 

 

ij ij



при 1,im — совместно эффективны.

Пример 8.13. При совместно эффективной оценке двух па-

раметров (

) корреляционная матрица R ошибок имеет

2m 

вид





   

DRJ H M pY





11 22 1 2 0 1



 



DRJ H M pY

   

 



22 11 1 2 0 2



 

DRRJ r DD

 

  

12 21 12 1 2

  

12 12

 



где

det



det , ln ;

J λ



det , ln ;

J λ



det , ,

JJJ ;

11 22 12

взаимной корреляции оценок



 







 











1 2 12 11 22



Сравним найденные выражения для























,rJJJ







;



— функция

 

,1 ,Hr





12 12

R с

из формулы

(8.4). В правых частях первых двух формул для

 







R второй

сомножитель дает средний квадрат ошибки эффективной оценки одного параметра. Если ошибки оценок параметров



,0r





коррелированны (



), средний квадрат ошибки со-

вместно эффективных оценок больше, чем для одного параметра.

Пример 8.14. Найдем потенциальную точность совместной

оценки частоты и задержки сигнала равенства (8.6) по огибающей. Выразим элементы матрицы Фишера

142

8.5. Потенциальная точность оценок параметров сигнала



























   

JM pY q

11 0

 

JM pY q

   



22 0

 

 

12 21 0



t tSt St dt S t dt

 

где





222

 

222

 

JM pY qt

,, ,, ,,



ЗЗЗ З

ln , 2 ;

  



ЗЗ

  



 

ln , 2 ,



 

ЗЗ







, от-

куда детерминант матрицы Фишера

det 4JJ J q t

 



11 22 12

2222



 



а элементы корреляционной матрицы ошибок совместной оценки задержки и частоты выражаются как



DJ q t







det 2 ;

 



 

 

DJ q t







det 2 ;



 

 

DJ t q t









det 2 .





222



 



222



 





 

Для сигнала заданной формы с ростом

Тогда с ростом

дает D

(растет точность оценки частоты), и наоборот. Мерой



(падением точности оценки задержки) па-















падает  [18].

точности совместной оценки частоты и задержки служит

1ЗDD



. Точность растет с увеличением отношения сиг-





нал/шум и базы



сигнала, а также при падении t (степени

корреляции между ошибками оценки задержки и частоты).

Пример 8.15. Найдем потенциальную точность оценки уг-

ловой координаты объекта фазовым методом (рис. 8.9). Пусть плоская волна длины

—

. Расстояние между ними — d , а  — угол фронта

падает на антенну с двумя элементами

143

8. Измерение параметров сигналов













































волны с осью антенны. Обозначим

блюдение смеси сигнала и БГШ на

при

лезного сигнала на каждом элементе антенны

равна

подобия равно

и вектор полезного сигнала

тенциальная точность оценки угловой координаты фазовым методом равна

1, 2i  . Шумы на



,cos 2sinSt A t d

 (рис. 8.9). Энергия по-



Для векторного наблюдения нижняя граница Рао — Крамера

DMY





эфф

DMNStytdt





эфф

0Mntn t

  

Рис. 8.9. Схема фазового метода измерения

угловой координаты объекта

1ln

  

YNtttdt





   





A и 2A статистически независимы:

. Если

 

exp 2 , 0,5













12 2 cos .qd





Плоская волна



     

,,

tStSt

 

02 2



 





tytyty

  

A и 2A :

, тогда



yt St nt

iii

cosSt A t

, где отношение правдо-

Sy S ,







как на-





AT .

. Отсюда по-



Значит, точность оценивания растет вместе с величиной

cosd



, где cos 1d

рения фазы.

144



требуется для однозначности изме-

8.5. Потенциальная точность оценок параметров сигнала

















































Пример 8.16. Найдем потенциальную точность оценки уг-

ловой координаты объекта амплитудным моноимпульсным методом, схема которого показана на рисунке 8.10. Пусть

— направление на максимум диаграммы направленности



 i-й антенны при 1, 2i  . Диаграмма направленности



симметрична:

FF . Равносигнальное направление





определяется как

Рис. 8.10. Схема амплитудного метода измерения

Сигналы источника на входах антенн равны:

Их энергии

8.15 найдем потенциальную точность оценки угловой координаты амплитудным методом:

DMN StytdtE





эфф

        

St AF t

    



AT N Y F Y







 .

012







угловой координаты объекта

,cos



EATF





2,0,5

  









12 ,



  

  при 1, 2i  .

. По методике примера





   

 













Источник







ii i





ii i





 













145

8. Измерение параметров сигналов









































где

YFF



   .

 

iii

Если излучатель находится на равносигнальном направле-



нии (максимум точности оценки

, достигается минимум дисперсии ошибок оценки 



), равный



Чем выше скорость изменения функции

(больше

Пусть при

шагом дискретизации

nk — дискретный БГШ. Теория статистических решений



(см. п. 1.5) верна как для непрерывных сигналов, так и для дискретных. Остаются верными и основные результаты пунктов 8.1—8.5 с заменой формы записи соответствующих величин. Так, условная ПВ

pY yi S i



При оценке непрерывного параметра λ дискретного сигнала оптимальное байесовское решение для простой функции потерь найдем из формулы (8.1). С учетом формулы Байеса

DqF







 

 ), тем меньше ошибка оценки



8.6. Оценка параметров дискретного сигнала

2exp12 ,.

 

λλ





эфф

min

0,tT наблюдается выборка





 

TT T

YpYp pYλλλ



00 0



 



 













 в точке

Y отсчетов с

,yk Sk nkλ , 1,kK , где

  











имеем



  

ln , 2 0,

pyiSiE

λλ λ λ λ

     







где

  

λλ











— мощность отсчетов сигнала.







λλ

8.6. Оценка параметров дискретного сигнала















































Применяя метод максимального правдоподобия (см. формулу (8.2)), вместо формулы (8.1) найдем уравнение















yiSi E

    







,2 0

λλ λ



λλ



Пример 8.17. Возьмем дискретный сигнал

при

этого сигнала

1,iK , где



Si fit it

 . Мощность



AAE



, где

cos













,SiA AS i





. Оценку макси-

мального правдоподобия амплитуды A найдем из уравнения













yiSiA E A A

    







,2 0







как

AE yiSi





 



Пример 8.18. Оценку максимального правдоподобия на-

чальной фазы





где







,,Si AS i



010

,cos

Si fit it

 

10 0

найдем из уравнения

yiSi E





 при 1,iK ;

 ;

,2 0,

    









00 0







EAE



010



ESi



  

10 1 0











;







Решение этого уравнения имеет вид

yi f i t i t







arctg



i K

yi f i t i t







 

    

 

    

sin



cos







 

8.7. Оценка случайных параметров сигнала

Пусть

метр

,St — сигнал, случайный информативный пара-



которого распределен с заданной априорной ПВ

147

8. Измерение параметров сигналов





















































. Выразим смещение



параметра . Так как  — случайная величина, то и

 







некоторой оценки



—

случайная величина. Значит, оценка случайного параметра —

несмещенная в среднем:

метр

сигнала

,St по результатам наблюдений



 . Оценим случайный пара-





Y . При

незначительных ограничениях средний квадрат ошибки любой

оценки

не может быть меньше нижней границы, определяе-

мой неравенством Рао — Крамера [3]:



где





для которой



DM pY

  











   



D достигает нижней границы Рао — Крамера.



MpY D



ddYp Y



эфф

ln ,







ln , ,









;

эфф





эфф

— эффективная оценка,

Известно, что для эффективной оценки случайного параметра апостериорная ПВ должна иметь нормальное распреде-

ление

3. Так как



pY pY p

 , то









ln ,





MMM











222









 













 



Здесь первое слагаемое правой части учитывает информацию, найденную обработкой результатов наблюдений. Если параметр

— детерминированный, то это слагаемое равно J — информации по Фишеру (см. формулу (8.4)). Второе сла- гаемое учитывает априорную информацию. Если сигнал

,Stλ имеет случайный векторный параметр λ , неравенство



Рао — Крамера обобщается на систему неравенств

R — корреляционная матрица средних квадратов ошибок

где

148

1

RJ,

8.7. Оценка случайных параметров сигнала







































































с элементами

J — матрица с элементами





 

JM M

Если

тивны.

Пусть сигнал

мативный параметр метр

Полагаем, что априорная ПВ

оценки параметра отношение правдоподобия для сигнала со случайным параметром, применим методику, приведенную в пункте 2.3.

Пример 8.19. Пусть

 . Отношение правдоподобия для радиоимпульса дли-

тельностью (см. п. 2.3.2)









RJ, то оценки

,, cosSt aAt t t



YaNIaNXT







ij i i j j

ln , ln , ln ,

1

TT T

pY pY pY

λλ λ



00 0

 

 

ij ij

,,St





применим формулу (8.3). Чтобы выразить

, усредненное по начальной фазе, выразим как

exp 2 2 .



0000

ˆˆ

 

при 1,im — совместно эффек-



имеет детерминированный инфор-

и случайный неинформативный пара-









при





при

задана. Для поиска

 ,

0,tT .





 ,



,1,ij m ;









Подставив это выражение в формулу (8.3) и дифференци-

руя его, преобразуем уравнение правдоподобия:

IaXTN

где учтено тождество

Полученное для

При больших значениях отношения сигнал/шум, когда



IaXTN



Ix dI xdx и

a уравнение можно решить численно.









aXT N .



1x  ,

149

8. Измерение параметров сигналов









































найдем приближенно

aXT

 . Эта оценка



a ампли-

туды радиоимпульса со случайной начальной фазой пропорциональна значению отсчета огибающей на выходе квадра-

турного приемника (см. рис. 2.9) в момент

. Потенциаль-

ная точность оценки амплитуды определяется выражением



DM aa

  



эфф

ln ,











которое при большом отношении сигнал/шум принимает вид



эфф

Точность оценки амплитуды сигнала со случайной начальной фазой при больших значениях отношения сигнал/шум приближенно равна соответствующей точности для сигнала с известной начальной фазой. При малых значениях отношения сигнал/шум первая из этих оценок менее точна, чем вторая.

Пример 8.20. Решим задачу оценки задержки

огибаю-

щей сигнала

где

St aAt t



;





 



 ;



 ;







,, cos ,

Отношение правдоподобия получено в пункте 2.3.2, где от

зависит лишь огибающая:



,,,,

Xt X t X t



  

 



З C З S З

tyA d

,cos,

  

C ЗЗ

 

tyA d

,sin.

  

S ЗЗ







 





 



Тогда из уравнения правдоподобия







ЗЗ



ЗЗ



найдем

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]